Математическое моделирование в естественных науках.-1

симметрийной идентификации упругих характеристик, форму-

лируемой следующим образом [3, 4]:

В лабораторной системе координат (ЛСК) для исследуемого материала полагаются известными все компоненты макроскопического тензора упругих констант Π . Требуется определить, к какому из известных классов симметрии могут быть отнесены его упругие свойства.

При решении задачи идентификации предполагается, что симметрийная классификация задана на основе структурной формулы для тензоров упругих констант (здесь и далее по повторяющимся индексам, не заключенным в круглые скобки, ведется суммирование):

некотором векторном базисе {ki } , называемом каноническим. Указанный базис, как и базис {li } ЛСК, принимается правым ортонормированным, так что тензор O = kili взаимной ориентации

ихвекторов оказываетсяортогональным.

Вывод о возможности отнесения исследуемого материала с тензором упругих констант Π к конкретному классу симметрии s делается на основе следующей величины, называемой ме-

рой симметрийного несоответствия [3]:

261

несоответствия представляет собой неотрицательную непрерывную функцию тензора-аргумента Π для конкретного класса s,

равную нулю тогда и только тогда, когда указанный тензор имеет вид (7), т.е. допускает разложение в линейную комбинацию базис-

ных тензоров Kα(s) . Величина этой меры дает верхнюю абсолютную оценку нормы невязки напряжений в упругом линейном зако-

грань в выражение (8). Относительная оценка строится на основе следующего равенства, определяющего относительную меру симметрийного несоответствия:

где Πa – собственные числа тензора Π , определяющиеся из

вательность величин (9) для различных классов симметрии позволяет сформировать иерархию симметрийных приближений, каждое из которых может быть принято с той или иной степенью погрешности.

Аппарат симметрийной идентификации был приложен к исследованию упругих характеристик моделей ПО однофазных поликристаллов. При агрегировании для вычисления макроскопического тензора ΠM упругих констант использовалось ос-

262

гих констант фазы, o(m) – ориентационные тензоры кристаллитов, M – число кристаллитов, входящих в ПО. Величина ПО, необходимая для симметрийной идентификации поликристалла, может быть оценена на основе относительной меры несоответ-

ствия ψ(Miso) = ψ(iso) [ΠM ] упругих свойств агрегата классу изотро-

пии при статистически однородном распределении ориентаций (соответствующие зависимости представлены на рис. 1).

Рис. 1. Зависимостьреализацийотносительноймерынесоответствия упругихсвойствполикристаллическогоагрегатаклассуизотропии отчислакристаллитовприравномерномраспределенииориентаций: а– медь; б – альфа-титан; ········· реализация; ––– выборочноесреднее

263

С применением многоуровневых моделей [6], основанных на физических теориях упруговязкопластичности, анализировалось изменение симметрийных свойств макроскопических упругих характеристик поликристаллической меди (упругие константы фазы, ГПа: п1111 = 168, 4, п1122 = 121, 4, п1212 = 75,4 ) при интенсивном неупругом деформировании. Рассматривались опыты на квазиодноосное растяжение (рис. 2, а, 3, а) и осадку (рис. 2, б, 3, б) с начальным равномерным распределением ориентаций кристаллитов. На приведенных рисунках в качестве параметра деформи-

скорости деформации. Идентификация свойств осуществлялась вклассах изотропии, трансверсальной изотропии, кубической симметрии и ортотропии.

а

б

Рис. 2. Изменение прямых полюсных фигур для направлений 111

поликристаллической меди при неупругом деформировании: а – квазиодноосное растяжение; б – осадка

Для представленных случаев нагружения характерно образование выраженной кристаллографической текстуры (см. рис. 2). Наблюдаются возможности немонотонного изменения мер несоответствия некоторым классам симметрии (см. рис. 3, б) и иерар-

264

хии симметрийных приближений, обусловленных процессом деформирования (рис. 3, а). Также получено, что появление заметной на прямых полюсных фигурах неоднородности распределения ориентаций (см. рис. 2, б) может быть недостаточно для возникновения существенной анизотропии макроскопических упругих свойств, о чем свидетельствует возможное уменьшение относительной меры изотропийного несоответствия от первоначального значения (рис. 3, б).

Рис. 3. Изменение мер симметрийного несоответствия упругих свойств поликристаллической меди при неупругом деформировании: а – квазиодноосное растяжение; б – осадка;

Работа выполнена в Пермском национальном исследовательском политехническом университете с использованием результатов работ по гранту Правительства Российской Федерации (Постановление № 220 от 9 апреля 2010 г.), договор № 14.В25.310006 от 24 июня 2013 г.

Список литературы

1.Трусов П.В., Келлер И.Э. Теория определяющих соотношений: курс лекций. Ч. 1: Общая теория. – Пермь: Изд-во Перм.

гос. тех. ун-та, 2006. – 173 с.

2.Ляв А. Математическая теория упругости. – М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. – 674 с.

265

3. Остапович К.В., Трусов П.В. Об анизотропии упругих материалов: идентификация симметрийных свойств // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2016. – Т. 22,

№1. – С. 69–84.

4.Остапович К.В., Трусов П.В. Об идентификации симметрийных свойств упругих материалов // Математическое моделированиев естественныхнауках. – 2015. – Т. 1. – С. 319–323.

5.Трусов П.В., Дударь О.И., Келлер И.Э. Тензорные алгебраи анализ. – Пермь: Изд-воПерм. гос. техн. ун-та, 1998. – 131 с.

6.Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева, П.С. Воле-

гов // Физ. мезомеханика. – 2012. – Т. 15, № 1. – С. 33–56.

МУЛЬТИМОДАЛЬНОЕДЕМПФИРОВАНИЕКОЛЕБАНИЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХСИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ПЬЕЗОЭЛЕМЕНТЫИВНЕШНИЕПАССИВНЫЕЭЛЕКТРИЧЕСКИЕЦЕПИ

Д.А. Ошмарин, М.А. Юрлов

Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, oshmarin@icmm.ru

Целью данной работы является исследование возможностей одновременного демпфирования колебаний на нескольких модах с помощью внешней последовательной RL-цепи, присоединенной к электродированным поверхностям одного пьезоэлемента, на основе решения задач о собственных и вынужденных колебаниях электроупругих систем с внешними электрическими цепями.

Ключевые слова: электроупругие системы с пьезоэлементами, внешние электрические цепи, собственные колебания, вынужденные колебания, мультимодальное демпфирование.

Развитие современных технологий в различных отраслях техники часто требует проектирования и создания конструкций, к которым предъявляются требования отсутствия колебаний

266

в определенных частях, например, в местах расположения оптическихприборовпри любыхвнешних динамическихвозмущениях. Использование для такой цели smart-конструкций позволяет обеспечить демпфирование колебаний в требуемом диапазоне частотвнешнеговоздействия.

В настоящее время для изготовления smart-конструкций могут быть использованы любые материалы, обладающие способностью изменять свое термомеханическое состояние при немеханическом (электрическом, магнитном или температурном) воздействии: сплавы с памятью формы, пьезоэлектрические материалы, магнито- и электрострикционные материалы, магнитные и электрореологические жидкости и т.д. Для решения ряда технических проблем, связанных с подавлением акустического шума, вибраций конструкций различной природы и повышением порога динамической устойчивости, большое распространение получило применение пьезоматериалов (пьезокерамика, пьезополимеры), обладающих сильным пьезоэффектом.

Пьезоэлектрический эффект обеспечивает преобразование части энергии колебаний в электроэнергию, которая может быть просто рассеяна через шунтирующую цепь, представляющую собой механизм пассивного демпфирования. Поэтому, применяя соответствующие электрические цепи, можно рассеять внутреннюю энергию и, как следствие, подавить колебания посредством добавления пассивного демпфирования [1–2]. С механической точки зрения пьезоэлемент и резонансная шунтирующая цепь подобны динамическому демпферу.

Ключевой проблемой демпфирования колебаний с помощью шунтирующих внешних электрических цепей является нахождение самой простой шунтирующей цепи, с помощью которой наиболее эффективно осуществляется демпфирование колебаний конкретной конструкции [3].

На сегодняшний день среди шунтирующих цепей самыми простыми и самыми распространенными являются резистивные (R), в состав которых входит только сопротивление, и резонанс-

267

ные (LR), в состав которых входят соединенные последовательно или параллельно резистор и катушка индуктивности. Резонансные цепи позволяют настраиваться на любую демпфируемую частоту [1–4], однако они имеют существенный недостаток – очень чувствительную к изменениям параметров системы степень демпфирования колебаний. В этом случае сбивается настройка резонансных шунтов, и они перестают эффективно работать.

Поэтому развитие подходов к мультимодальному демпфированию колебаний конструкции, которому уделяется достаточно большое внимание исследователями во всем мире, является актуальным.

Развиваемые подходы к мультимодальному демпфированию можно разделить на две основные группы [5–6]: с использованием одного пьезоэлемента и сложной внешней электрической цепи, в которой реализована тем или иным способом возможность демпфирования нескольких мод колебаний, либо использование нескольких пьезоэлементов, образующих единую сеть, соединенных тем или иным способом с одной внешней электрической цепью или же каждый пьезоэлемент имеет свою отдельную электрическую цепь, которые в единую не объединяются.

Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки. С одной стороны, сложная электрическая схема, в которой большое количество элементов, работающих по алгоритмам, которые не всегда показывают удовлетворительные результаты, и громоздкое техническое исполнение таких резонансных шунтов. С другой стороны, не только увеличение веса, что само по себе может оказаться нежелательным, но также и изменение исходного спектра собственных частот колебаний исходной конструкции. Для снижения нескольких конструкционных мод колебаний может быть применено и одномодовое демпфирование, при этом используются несколько пьезоэлементов, каждый из которых имеет свою внешнюю цепь (шунт). Однако во многих случаях это может не иметь практического решения, из-за большого числа пьезоэлементов и соответствующих им электрических цепей.

268

Это заставило исследователей разрабатывать шунтирующие цепи для мультимодового демпфирования, используя при этом только один пьезоэлемент.

В рамках данной работы на ряде плоских и пространственных объектов с присоединенными к ним пьезоэлементами и внешними резистивными (R) внешними электрическими цепями была проведена серия численных экспериментов, в ходе которых утверждение, приведенное в работе [2], что при присоединении к электроупругой конструкции внешней электрической цепи, состоящей только из одного резистора, ее поведение становится аналогичным поведению такой же конструкции, но выполненной из вязкоупругогоматериала, ещераз получилоподтверждение.

Показано, что в результате решения задачи о вынужденных колебаниях на амплитудно-частотных характеристиках рассматриваемой системы наблюдается конечное значение пиков всех резонансов, а при решении задачи на собственные колебания получаемые собственные частоты являются комплексными. В данном случае мнимая часть комплексной частоты – это показатель демпфирования колебаний. Таким образом, для упругой конструкции можно снизить амплитуды колебаний всех или некоторых из определенного диапазона резонансов, если ввести в систему резистор определенной величины сопротивления R.

При этом в [2] отмечалось, что использование последовательной резонансной RL-цепи позволяет более существенно снизить амплитуду колебаний, только для какой-либо одной конкретной частоты.

На этих же плоских и пространственных объектах с присоединенными к ним пьезоэлементами и внешними последовательными резонансными (RL) внешними электрическими цепями серия численных экспериментов позволила провести анализ величин мнимых частей комплексных собственных частот колебаний (показателей демпфирования), полученных в результате решения задачи о собственных колебаниях в зависимости от ряда параметров системы (геометрических, компонент внешних электрических це-

269

пей ит.п.) и обнаружитьихнемонотонноеповедение. Данный факт иллюстрирует существование областей в пространстве параметров R и L, в которых возможно одновременное демпфирование нескольких мод колебаний одним пьезоэлементом, зашунтированным самой простой внешней электрической RL-цепью при определенныхпараметрахвнешней электрическойцепи.

Численные расчеты позволили получить новые данные о закономерностях поведения комплексных собственных частот электроупругих конструкций с внешними электрическими цепями, позволяющих предсказывать возможность реализации мультимодального демпфирования с помощью одного пьезоэлемента и одной последовательной RL-цепи.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 16-31-00094 мол – а).

Список литературы

1.Forward RL. Electronic damping of vibrations in optical structures // Journal of Applied Optics. – 1979. – Vol. 18, №5. – Р. 690–697.

2.Hagood NW, Von Flotow A. Damping of structural vibrations with piezoelectric materials and passive electrical networks // Journal of Sound and Vibration. – 1991. – Vol. 146, №2. – Р. 243–268.

3.H.-J. Lee, D. Saravanos. Layerwise finite elements for smart piezoceramic composite plates in thermal environments // NASA TM-106990 AIAA-96-1277. – 1996. – 48 p.

4.Wu S.Y. Piezoelectric Shunts with Parallel R-L Circuit for Structural Damping and Vibration Control // Proc. SPIE Smart Structures and Materials, Passive Damping and Isolation; SPIE, 1996. – Vol. 2720. – P. 259–269.

5.S.Y. Wu. Method for multiple-mode shunt damping of structural vibration using a single pzt transducer // Smart Structures and Materials: Passive Damping and Isolation. – 1998. – Vol. 3327. – P. 159–168.

6.Moheimani S.O.R., Fleming A.J., Behrens S. Dynamics, stability, and control of multivariable piezoelectric shunts // IEEE/ASME Transactions on Mechatronics. – 2004. – Vol. 9, № 1. – P. 87–99.

270