Математическое моделирование в естественных науках.-1

ВТОРИЧНЫЕ СТРУКТУРЫ ДЛИННОВОЛНОВОЙ КОНВЕКЦИИ МАРАНГОНИ В ТОНКОЙ ПЛЕНКЕ ЖИДКОСТИ

А.Е. Самойлова

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, annsomeoil@gmail.com

Проведен слабонелинейный анализ системы нелинейных уравнений, описывающих эволюцию толщины и осредненной температуры в тонкой пленке жидкости в рамках двухслойного подхода. Отбор структур на квадратной и гексагональной решетках показал наличие области параметров, в которой может наблюдаться надкритический режим возбуждения монотонной и колебательной конвекции Марангони. Для обеих конвективных мод обнаружены разнообразные устойчивые вторичные структуры.

Ключевые слова: длинноволновая неустойчивость, конвекция Марангони, тонкая пленка, отбор структур, квадратные структуры, гексагональные структуры.

Работа посвящена изучению конвекции Марангони в подогреваемой снизу тонкой пленке жидкости со свободной деформируемой поверхностью. Система находится в поле тяжести, однако считается, что плотность жидкости практически не меняется по толщине слоя. Возобновившийся интерес к этой классической задаче гидродинамики связан с тем, что сравнительно недавно в ряде теоретических работ было впервые предсказано существование колебательной моды конвекции Марангони для случая подогрева снизу. Аналитически в длинноволновом пределе в работе [1], а также численно для произвольных значений волнового числа в работе [2] определены значения параметров задачи, при которых в эксперименте может наблюдаться колебательное возбуждение конвекции. Для этого свободная поверхность должна иметь возможность для деформирования, а теплоотдача с неё должна быть очень малой.

В настоящей работе эта задача рассматривается в рамках двухслойной модели: решается сопряженная задача о конвекции

331

в тонком слое жидкости и о теплопереносе в газе. В длинноволновом приближении в работе [3] получены амплитудные уравнения в безразмерной форме, описывающие крупномасштабную эволюцию осредненной по вертикали температуры Θ (x, y, τ) и толщины пленки h (x, y, τ):

относительная толщина слоев газа и жидкости, Ga = gh03 νχ и Ma = αT Θh0 ηχ – числа Галилея и Марангони. Значение параметра капиллярности Ca = α0h0 ηχ считается достаточно большим,

а отношение теплопроводностей газа и жидкости κ – малым. Поэтому в амплитудных уравнениях фигурируют перемасштабированные параметр капиллярности C = δ2Ca и отношение теплопроводностей = δ−2 κ . Роль малого параметра δ играет отношение толщины слоя жидкости к характерному горизонтальному масштабу конвективного движения. Линейный анализ данных амплитудных уравнений подтвердил существование аналога новой колебательной моды для случая двухслойной системы, а также позволил обнаружить существенное ограничение на условия обнаружения колебательной моды при нагреве со стороны подложки: слой газа над пленкой должен быть порядка толщины пленки (см. работу [3]).

Проводится слабонелинейный анализ вышеприведенных амплитудных уравнений, применяются метод малых масштабов и метод амплитудных функций. Находясь вблизи критической точки, раскладываем поле температуры, толщину пленки и число Марангони в ряд по малому параметру:

332

h = 1+ δξ1 + δ2ξ2 + ,

Θ = 1+ δθ1 + δ2θ2 + ,

Ma = Ma0 + δMa1 + δ2Ma2 + ,

где Ma0 = Mac (kc ). Вводим медленные и быстрые времена:

Из условий разрешимости неоднородных систем уравнений высших порядков получается амплитудное уравнение Гинзбурга– Ландау, описывающее развитие вторичных возмущений. Построены карты отбора стационарных и колебательных вторичных структур. Показано, что на квадратной решетке при различных значениях параметров устойчивыми оказываются стационарные возмущения в виде двумерных валов или квадратов, а колебательные – в виде бегущих двумерных валов, бегущих квадратов, стоячих квадратов или перемежающихся валов. Для возмущений на гексагональной решетке в зависимости от значений параметров задачи устойчивыми могут оказываться стационарные структуры в виде гексагонов или двумерных валов, колебательные вторичные структуры – в виде бегущих двумерных валов или бегущих прямоугольников.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ

№ 14-01-00148.

Список литературы

1.Shklyaev S., Khenner M., Alabuzhev A.A. Long-wave Marangoni convection in a thin film heated from below // Phys. Rev. E. – 2012. – Vol. 85. – P. 016328.

2.Samoilova A.E., Lobov N.I. On the oscillatory Marangoni instability in a thin film heated from below // Phys. Fluids. – 2014. – Vol. 26. – P. 064101.

333

3. Samoilova A.E., Shklyaev S. Oscillatory Marangoni convection in a liquid-gas system heated from below // Eur. Phys. J. Special Topics. – 2015. – Vol. 224, № 2. – P. 241–248.

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМА ДЕЙСТВИЯ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ НА НАГРЕТЫЙ ЦИЛИНДР В ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

И.О. Сбоев, А.Н. Кондрашов, П.Д. Дунаев

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, ivan-sboev@ya.ru

Рассматривается система из двух соосных цилиндров разного диаметра, оси которых перпендикулярны вектору g. Задача о подогреве внутреннего цилиндра решается численно в двумерной постановке – теплоперенос рассчитывается в кольцевой области между цилиндрами, заполненной несжимаемой жидкостью. В ходе моделирования рассматриваются поля температуры и скорости в жидкости при подогреве внутреннего цилиндра. Особое внимание уделяется изучению механизма изменения действующей на внутренний цилиндр подъемной силы, обусловленного появлением внутри слоя жидкости тепловой конвекции.

Ключевые слова: тепловая конвекция, подъемная сила.

Вподавляющем числе работ, посвященных исследованиям тепломассопереноса от локализованных источников тепла

вограниченных объемах, внимание в основном уделяется закономерностям передачи тепла на стенках и вблизи поверхности источника [1–9]. При этом в меньшей степени остается изучен механизм взаимодействия конвективного потока и локализованного нагревателя.

Всвязи с этим в настоящей работе рассматривается тепловая конвекция между двумя бесконечно длинными цилиндра-

ми радиусом r1 = 2 мм и r2 = 10 мм, оси симметрии которых лежат на одной прямой, перпендикулярной вектору силы тяжести. Уравнения тепловой конвекции в приближении Буссинеска решаются численно. Двумерные поля температуры и скорости рас-

334

считываются внутри кольцевой области, ограниченной поверхностями цилиндров. Поверхность внешнего цилиндра находится при постоянной температуре T0, а внутреннего– при T0 + T. Также на боковых границах задается условие прилипания, согласно которому скорость течения жидкости у стенки u = 0. Управляющими параметрами задачи выбраны число Рэлея Ra = gβΔTr3/νχ и число Прандтля Pr = ν/χ. Расчеты выполняются на сетке с общим числом элементов порядка 12 000.

Путем численного моделирования показано, что нагрев внутреннего цилиндра приводит к появлению подъемной силы вдоль вертикальной оси. В задаче проведено исследование изменения средней подъемной силы при различных значениях управляющих параметров. В результате расчетов в жидкостях с различными числами Прандтля было установлено существование некоторого критического значения числа Рэлея Rac, при котором наблюдается смена знака подъемной силы, действующей вдоль вектора g. Таким образом, при подогреве круглого цилиндра в жидкости имеют место два механизмаизменениясреднейподъемнойсилы.

Список литературы

1.Amato W.S., Chi T. Free convection heat transfer from isothermal spheres in water // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 1972. – Т. 15, № 2. – С. 327–339.

2.Natural convection from a horizontal cylinder in a rectangular cavity / G. Cesini, M. Paroncini, G. Cortella, M. Manzan // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 1999. – Т. 42, № 10. – С. 1801–1811.

3.Yoo J.S. Dual free-convective flows in a horizontal annulus with a constant heat flux wall // International journal of heat and mass transfer. – 2003. – Т. 46, № 13. – С. 2499–2503.

4.De A.K., Dalal A. A numerical study of natural convection around a square, horizontal, heated cylinder placed in an enclosure // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2006. – Т. 49,

№23. – С. 4608–4623.

335

5.Koca A., Oztop H.F., Varol Y. The effects of Prandtl number on natural convection in triangular enclosures with localized heating from below // International communications in heat and mass transfer. – 2007. – Т. 34, № 4. – С. 511–519.

6.Chen W.R. A numerical study of laminar free convection heat transfer between inner sphere and outer vertical cylinder // International journal of heat and mass transfer. – 2007. – Т. 50, № 13. – С. 2656–2666.

7.A numerical study of natural convection in a square enclosure with a circular cylinder at different vertical locations / B.S. Kim, D.S. Lee, M.Y. Ha, H.S. Yoon // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2008. – Т. 51, № 7. – С. 1888–1906.

8.Sairamu M., Chhabra R.P. Natural convection in power-law fluids from a tilted square in an enclosure // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2013. – Т. 56, № 1. – С. 319–339.

9.Effect of a circular cylinder’s location on natural convection in a rhombus enclosure / C. Choi, S. Jeong, M.Y. Ha, H.S. Yoon // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2014. – Т. 77. – С. 60–73.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРНЫХ ДЛЯ ДЕФЕКТА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ

В КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ

Г.С. Сероваев, А.П. Шестаков, Д.А. Ошмарин

Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, serovaev@icmm.ru

Работа посвящена численному исследованию собственных форм колебаний для обнаружения местоположения дефекта в виде расслоения в композитной конструкции, в частности, использованию особых форм колебаний, соответствующих собственным частотам, характерным для дефекта.

Ключевые слова: дефектоскопия, композитные материалы, формы колебаний, расслоение.

336

При создании образцов современной гражданской, промышленной и военной техники используются самые передовые технологии и научные разработки. Данная техника эксплуатируется при высоких статических и вибрационных нагрузках, а также в условиях высоких температур и т.д. При этом на нее возлагается большая ответственность как с экономической точки зрения (любая поломка может вывести объект из эксплуатации на долгий период времени, требуя экономических затрат на ремонт), так и, что самое важное, сточки зрения безопасности жизнедеятельности. Поэтому создание системы мониторинга, позволяющей производить контроль конструкции во время ее работы, позволит не выводить объект из эксплуатации во время контроля и обнаруживать повреждения идефекты на ранней стадии их развития, не допуская поломки конструкции и снижая угрозу аварии. Материалы с пьезоэлектрическими свойствами могут иметь широкое применение при создании систем мониторинга благодаря возможности их использования как в качестве воздействующих элементов (актуаторы), так ивкачествечувствительныхэлементов(сенсоры).

Задачу дефектоскопии принято разбивать на несколько этапов [1]:

1)Определение наличия дефекта или повреждения в исследуемом объекте.

2)Определение местоположения дефекта.

3)Оценка размера дефекта.

4)Определение остаточного ресурса изделия.

На сегодняшний день существует большое количество различных методов контроля изделий. Можно выделить два основных класса методов дефектоскопии: разрушающий и неразрушающий контроль. Методы неразрушающего контроля должны обеспечивать оценку целостности конструкции, не изменяя ее структуры, что делает данный класс методов контроля наиболее подходящим для организации системы мониторинга конструкций в процессе их эксплуатации. К методам неразрушающего контроля можно отнести различные визуальные методы, ос-

337

новной недостаток которых заключается в том, что они не позволяют обнаруживать повреждения, находящиеся за пределами зоны визуального обследования. Кроме того, на эффективность данных методов существенно влияют навыки специалиста, проводящего инспекцию. Одним из важнейших подвидов неразрушающего контроля являются вибрационные методы, использующие колебательные процессы для обнаружения повреждений [2]. Вибрационные методы, в свою очередь, можно разбить на несколько подгрупп: 1) Класс методов, использующих модальные параметры (собственные частоты, собственные формы, кривизна собственной формы и т.д.) для оценки состояния исследуемого объекта [3–4]; 2) методы, анализирующие волновые процессы, происходящие в исследуемом объекте [5].

Развитие измерительных систем дало возможность применять уже хорошо известные методы для контроля конструкций вовремя их эксплуатации. В то время как прогресс в развитии численных методов моделирования позволяет изучать процессы, протекающие в телах при применении того или иного метода дефектоскопии, и давать ответы на многие вопросы, не прибегая к множеству дорогостоящих экспериментов. Кроме того, именно спомощью численных методов можно отследить эволюцию различных параметровприпостепенномизменении размеровдефекта.

В работе проводится численное исследование изменения собственных форм колебаний с ростом дефекта в виде расслоения и особых, локализованных в области расслоения форм колебаний, для установления местоположения дефекта в композитной конструкции.

Численное исследование проводилось на квадратной пластине с размерами 150×150 мм, выполненной из слоистого композитного материала. Толщина одного слоя составляет 0,3 мм, всего имеется 15 слоев по толщине пластины, таким образом, общая толщина составляет 4,5 мм. Между 6-м и 7-м слоями располагается расслоение квадратной формы. Задача нахождения собственных частот и форм колебаний решается в рамках ли-

338

нейной теории упругости. Композитный материал моделируется как однородное тело со следующими ортотропными эффективными механическими характеристиками (направление армирования слоев не учитывается): Ex = 24 ГПа, Ey = 18 ГПа, Ez =

= 6 ГПа, Gxy = 4 ГПа, Gyz = 3 ГПа, Gxz = 3 ГПа, vxy = 0,15, vyz = 0,18, vxz = 0,42, ρ = 1800 кг/м3.

Один из подходов к решению первого этапа задачи дефектоскопии (определение наличия дефекта или повреждения в исследуемом объекте) заключается в анализе сдвига собственных частот колебаний. Наличие дефекта приводит к локальному снижению жесткости конструкции в данной области, что может привести к снижению ряда собственных частот. При этом следует учитывать чувствительность собственных частот к местоположению дефекта и большую чувствительность высоких частот колебаний к дефектам меньшего размера. При сдвиге собственных частот меняется соответствующий данной частоте вид формы колебаний. Анализируя данные изменения, можно определить местоположение области предполагаемого дефекта.

С появлением дефекта возникают особые собственные частоты, которым соответствуют специфические локализованные формы колебаний. Особенность данных форм колебаний заключается в том, что наибольшая амплитуда колебаний достигается в зоне дефекта, в то время как неповрежденная область практически остается в покое. На рисунке представлена локализованная форма колебаний для композитной пластины с центрально расположенным квадратным расслоением размером 10 мм.

В силу малости размера дефекта такие частоты обычно достигают нескольких десятков кГц. Проведение модального анализа для определения значения соответствующей собственной частоты и анализа вынужденных установившихся колебаний с частотой вынуждающей силы (в качестве источника внешней вынуждающей силы может быть использован пьезоэлемент), равной найденной частоте, с учетом диссипативных свойств материала, показали, что амплитуда колебаний в области дефекта

339