Математическое моделирование в естественных науках.-1

рукции ЗПК возникает необходимость в исследовании свойств отдельно взятого резонатора (ячейки). Поэтому проведение численных экспериментов по расчету звукопоглощающих свойств ячеек ЗПК является актуальной задачей.

В рамках данной работы осуществляется расчет величины демпфирующего эффекта, производимого биконическими [1, 2] ячейками, которые представляют собой резонаторы Гельмгольца с одинаковым объемом и формой в диапазоне рабочих частот

100–600 Гц.

Для проведения вычислительных экспериментов были построены геометрические модели. Базовая модель представляет собой канал конечной длины 1 (рис. 1) квадратного сечения, по центру на одной из продольных граней расположена ячейка 2 биконической формы, соединенная с каналом «узким» горлом 3 цилиндрической формы. Расстояния между резонаторами варьировалось в интервале 140–1400 мм.

Рис. 1. Общий вид базовой геометрической модели

Сеточная модель: структура расчетной сетки принималась следующей. Для лучшей сходимости решения и снижения погрешностей получаемых результатов применялась расчетная сетка, ячейки которой имеют форму, близкую к форме равностороннего тетраэдра [3]. Максимальный размер элемента определялся как

Nmax = 343[m/s]/6[kHz]/10 = 0,0057 м, минимальный размер элемен-

281

та принимался Nmin = 0,001 м, общее количество элементов составило 17 млн.

Анализ результатов показал, что при расстояние 140 мм наблюдается значительное снижение коэффициента потери акустического давления (TL) – в 5,5 раз, по сравнению с результатами, полученными для одной ячейки (рис. 2).

а

б

Рис. 2. Зависимости коэффициента потери акустического давления (TL) от частоты ν: а – одна ячейка; б – 2 ячейки B = 140 мм

282

Это объясняется тем, что соседние ячейки на резонансной частоте оказывают влияние друг на друга, при этом происходит увеличение коэффициента прохождения основной акустической волны вдоль канала (рис. 3). При этом коэффициент потери акустического давления на совместной резонансной частоте в 10 раз меньше, чем на частоте единичного резонатора.

а

б

Рис. 3. Поля распределения акустического давления по продольному сечению модельного канала при расстоянии между биконическими ячейками: а – 140 мм; б – 210 мм

Также было обнаружено, что увеличение расстояния между ячейками приводит к изменению (уменьшению) их совместной резонансной частоты. Так, например, при изменении расстояния от 140 до 210 мм происходит уменьшение резонансной частоты на 0,3 Гц с ν140= 201,3 Гц до ν210= 201 Гц.

283

При дальнейшем увеличении расстояния между ячейками наблюдается почти линейное увеличение коэффициента потери акустического давления. При достижении расстояния между ячейками величине длины полуволны 800 мм значение коэффициента потери акустического давления принимает максимальное значение 177 Дб.

Таким образом, обнаружен эффект бинарного резонансного взаимодействия биконических ячеек на расстояниях, кратных полудлине акустической волны, в канале и ячейках с варьированием геометрической формы и взаимного расположения ячеек вдоль канала.

Результаты получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России по проекту № 1969 «Акустико-механическое моделирование перспективных звукопоглощающих контуров из полимерных композиционных материалов для авиационных двигателей».

Список литературы

1.Резонансная ячейка для гашения акустических волн: пат. RU № 2015109509\28 (105089) / Аношкин А.Н., Паньков А.А.,

Писарев П.В.; опубл. 18.03.2015 г.

2.Писарев П.В., Аношкин А.Н., Паньков А.А. Биконическая ячейка («Biconical cell»): св-во о гос. регистр. программы

№2016616458, дата гос. регистр. в Реестре программ для ЭВМ

14 июня 2016 г.

3.Писарев П.В., Паньков А.А., Аношкин А.Н. Анализ

влияния формы резонатора Гельмгольца на акустическое давление в модельном канале // Тезисы докл. Четвертой откр. Всерос. конф. по аэроакустике; 29 сент. – 1 окт. 2015 г. / Центр. аэрогидродинам. ин-т им. проф. Н.Е. Жуковского. – М.: Изд-во ЦАГИ, 2015. – С. 81–82.

284

АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ТЕРМОВЯЗКОУПРУГИХ СРЕДАХ

И.Е. Полосков1, C. Soize2

1Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, polosk@psu.ru,

2Université Paris-Est Marne-La-Vallée, Champs-sur-Marne, France

Рассматриваются проблемы, связанные с приближенным вероятностным анализом поведения одной динамической механической системы с учетом термовязкоупругости среды. Для изучения указанной системы, описываемой линейными стохастическими интегродифференциальными уравнениями, использовались модификации итерационного метода аппроксимации функций Грина и полунеявого метода Эйлера–Маруямы в сочетании с методом статистического моделирования. Представлены общее описание модели, схема использования пакета Mathematica для подготовки вычислений, алгоритмы и методология применения параллельных вычислений, приведены некоторые результаты расчетов на компьютере с четырехядерным процессором, полученные выводы и рекомендации.

Ключевые слова: моделирование, стохастическая механика, термовязкоупругость, линейные интегродифференциальные уравнения, параллельные вычисления.

Хорошо известно, что современные задачи науки и техники, включая проблемы механики деформируемого твердого тела (МДТТ), требуют для своего решения удобного и эффективного теоретического и прикладного аппарата. Такой прикладной аппарат включает принципы использования компьютерной техники различной производительности для реализации вычислительных алгоритмов.

В настоящее время существует немало примеров, когда анализ объекта в чисто детерминированной постановке не является достаточным, так как во всякой реальной динамической системе существуют случайные флуктуации различного характера. Математический аппарат для исследования таких объектов дает теория случайных процессов и полей и, в частности, теория стохастических дифференциальных уравнений (СДУ).

285

Очевидно, что для решения современных задач МТДТ необходимо искать эффективные способы решения систем стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегродифференциальных уравнений (СИДУ), обыкновенных и в частных производных.

В настоящей работе представлена техника применения параллельных вычислений для приближенного вероятностного анализа поведения динамической механической системы (рис. 1) [1] с учетом термовязкоупругости среды [2, 3], описываемой линейными СИДУ:

где t (0, T] – время, Új (t) = dUj (t) /dt – скорость, а Üj (t) = d2Uj (t) /dt2 – ускорение тела j (j = 1, 2), γ0 (t,τ; Q) – положительно оп-

ределенная функция, которая задана при 0 < τ # t # T и предполагается бесконечно дифференцируемой по t и τ;

γ(t, τ;Q) = ∂γ0 (t, τ;Q)

∂τ

– отрицательно определенная функция, которая задана при 0 < τ # t # T и поэтому интегрируема по τ на (0, t] для любого t из (0, T]; Q – случайный векторный параметр, представляющий неопределенности в структуре функций γ0 и γ.

Ускорение Üs (t) подвижного основания моделировалось нестационарным случайным процессом {Üs (t), t (0, T]} так: Üs (t) = g (t) V (t), где g (t) – действительная функция, определенная на [0, T], а {V (t), t [0, T]} – стационарный центрированный гауссов случайный процесс второго порядка.

286

Рис. 1. Структура исследуемой механической системы:

1 – абсолютная система координат; 2 – относительная система координат, связанная с подвижным основанием; 3 – подвижное основание; 4 – термовязкоупругая компонента; 5 – первое тело; 6 – упругая диссипативная механическая компонента;

7 – второе тело

Структура ядра γ0 (t, t; Q), выбранная в форме

была разработана вторым из авторов на основе модели из [4]. Вправой части формулы для γ0 (t, t; Q) присутствуют: θt – темпе-

ратура механического компонента, K0 (θt) > 0 – начальная упругая характеристика, зависящая от температуры, T1 (θt) – большое время релаксации, μ1 (θt) – безразмерный параметр, не зависящий от θt, T2 (θt) – малое время релаксации, μ2 (θt) – безразмерный параметр, зависящий от θt, причем в соотношения для перечисленных величинвходят компонентывектораслучайныхпараметровQ.

Для изучения указанной системы использовались разработанные модификации: а) итерационного метода аппроксимации функций Грина [5] для общей системы СИДУ:

287

Список литературы

1.Полосков И.Е., Полосков И.И., Soize C. Параллельные вычисления в задаче анализа движения механической системы в случайной термовязкоупругой среде // Вестник Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2015. – Вып. 4 (31). – С. 46–57.

2.Drozdov A.D. Viscoelastic structures. – San Diego: Academic Press, 1998. – XV. – 596 p.

3.Leitman M.J., Fisher G.M.C. The linear theory of viscoelasticity // Encyclopedia of Physics. – Vol. VI-a/3. Mechanics of Solids III (ed. C.Truesdel). – Berlin: Springer-Verlag, 1973. – P. 1–123.

288

4.Drozdov A.D. A constitutive model in thermoviscoelasticity // Mech. Research Comm. – 1996. – Vol. 23, №5. – P. 543–548.

5.Полосков И.Е. Об одном методе приближенного анализа линейных стохастических интегродифференциальных систем // Дифференциальныеуравнения. – 2005. – Т. 41, №9. – С. 1276–1279.

6.Лоу А., Кельтон В. Имитационное моделирование. Класси-

каCS. – 3-еизд. – СПб.: Питер; Киев: Изд. гр. BHV, 2004. – 847 с.

7.Kloeden P.E., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations. – Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1992. – XXXV, 632 p.

8.Маланин В.В., Полосков И.Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах: учеб. пособие. – Ижевск: РХД, 2005. – 296 с.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ ДВУХ СМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ В ПОЛЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ВИБРАЦИЙ

Д.М. Попов, Т.П. Любимова

Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, d.m.popov@yandex.ru

Исследуется устойчивость плоскопараллельного пульсационного течения двух смешивающихся жидкостей, заполняющих плоский горизонтальный слой, совершающий высокочастотные горизонтальные вибрации. Рассмотрение ведется в рамках высокочастотного приближения, в пренебрежении вязкостью и диффузией. Устойчивость квазиравновесного состояния, в котором имеется лишь плоскопараллельное пульсационное течение, а среднее течение отсутствует, исследуется аналитически по отношению к длинноволновым возмущениям и численно по отношению к возмущениям с конечной длиной волны.

Ключевые слова: смешивающиеся жидкости, плоскопараллельное течение, вибрации, устойчивость

Введение. Вибрации оказывают существенное влияние на поведение неоднородных по плотности гидродинамических сис-

289

тем. Воздействие вертикальных вибраций на поведение жидкости изучалось еще в пионерских работах Фарадея и Рэлея, где было обнаружено, что на свободной поверхности жидкости возбуждаются параметрические волны. В экспериментах Вольфа [1] обнаружено, что под действием высокочастотных горизонтальных вибраций на поверхности раздела жидкостей возникает неподвижный волновой рельеф. Теоретическое объяснение этого явления было дано Любимовым и Черепановым [2], которые показали, что возбуждение рельефа связано с неустойчивостью Кельвина–Гельмгольца на границе осциллирующих встречных потоков. В настоящей работе изучается устойчивость плоскопараллельного течения двух смешивающихся жидкостей в поле высокочастотных горизонтальных вибраций.

Постановка задачи. Определяющие уравнения. Рассмот-

рим горизонтальный слой толщиной h , заполненный двумя смешивающимися жидкостями. Слой находится в поле тяжести. Границы слоя совершают вибрации в горизонтальном направлении счастотой ω и амплитудой a . Предполагается, что толщина сто-

ксовских слоев δ = 2ν / ω ( ν – кинематическая вязкость) много меньше толщины слоя. В этом случае можно пренебречь вязкими слагаемыми вуравнениях, т.е. вести рассмотрениеврамкахмодели идеальной жидкости. Характерное диффузионное время считается большим по сравнению с периодом вибраций и временем наблюдения, так что диффузию можно не учитывать. В этом случае удобно моделировать поведение системы смешивающихся жидкостей, рассматривая поведение одной жидкости с плотностью, зависящейотвремениикоординат.

В системе отсчета, связанной с сосудом, уравнения, описывающие движение стратифицированной по плотности жидкости в пренебрежении вязкой диссипацией, имеют вид:

290