Математическое моделирование в естественных науках.-1

получения и обработки. Возникает необходимость использовать материалы, которые можно использовать при высоких, в том числе экстремальных нагрузках. Повысить диапазоны внешних нагрузок, в которых может эксплуатироваться материал, можно путем увеличения предела текучести материала, например, при финишной обработке при изготовлении детали.

В процессе деформирования существенным образом меняется как макро-, так и мезо- и микроструктура материала. Эволюция мезо- и микроструктуры материала является фактором, определяющим свойства и поведение материала на макроуровне [1]. Эти свойства определяют рабочие характеристики готовых деталей и конструкций. Увеличение предела текучести материала на макроуровне обычно называют упрочнением, при этом на уровне дислокационной структуры причины, приводящие к упрочнению, весьма разнообразны: упрочнение связывают с взаимодействием дислокаций между собой, со скоплениями дислокаций, с другими видами препятствий [2]. Также существенное влияние на величину предела текучести оказывает наличие границ зерен в поликристаллическом агрегате. Под границей понимается поверхность малой толщины, разделяющая части материала с различной ориентацией кристаллической решетки. Также влияние границ зерен при деформировании материала определяется, например, законом Холла–Петча [3], связывающим предел текучести материала со средним размером зерна в поликристалле, иначе говоря, с относительной долей границ в объеме материала. В связи с этим возникает необходимость физически корректного описания взаимодействия дислокаций между собой, а также с границами зерен.

Известно, что чистые металлы обладают меньшей прочностью по сравнению, например, с многофазными материалами. Поэтому наибольший интерес в исследовании может представлять изучение структуры и поведения многофазных материалов при их неупругом деформировании, поскольку такие материалы имеют широкое применение в промышленности, в том числе используются для создания современных нанокомпозитов.

251

Вработе используется двухуровневая упруговязкопластическая математическая модель неупругого деформирования поликристалла, в которой элемент макроуровня представляет собой представительный объем поликристалла, состоящий из элементов мезоуровня – отдельных монокристаллических зерен определенной фазы. Под фазой понимается однородная (в смысле состава, строения и состояния) часть кристалла, отделенная от остальных частей поверхностью раздела (границей). Структура и соотношения используемой модели подробно описаны во многих работах

(например, [1, 2]).

Вработе проведено исследование влияния среднего размера зерна, а также вида распределения зерен по размерам на деформационное поведение материала. В качестве исследуемого материала использовался ГЦК-поликристалл, характеристики которого соответствуют чистой меди, состоящий из 1000 зерен,

снормальным распределением зерен по размерам (согласно экспериментальным данным, приведенным в [4]). В экспериментах математическое ожидание распределения зерен по размерам составляло 50 мкм, дисперсия имела значение 5 мкм. Характерная диаграмма распределения зерен по размерам в объеме поликристалла представлена на рис. 1, а.

Рис. 1. Характерная диаграмма распределения зерен по размерам в объеме поликристалла (а) и диаграмма распределения отношения среднего напряжения в группе зерен к интегральному напряжению по всем зернам (б)

252

Результаты, представленные на рис. 1, а, удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными [5]. На диаграмме, представленной на рис. 1, б можно заметить, что наибольший вклад в увеличение напряжений, требуемых для продолжения деформирования, вносят самые мелкие зерна. Это можно объяснить тем, что вблизи мелких зерен увеличивается доля границ зерен в материале, значит, образуется все большее количество дислокаций ориентационного несоответствия на границах зерен, которые своими упругими полями препятствуют дальнейшему продвижению других дислокаций из зерна к границе. Таким образом, необходимо прикладывать большие внешние усилия для продолжения деформирования.

Проведено сравнение кривых деформирования модельных материалов, соответствующих по характеристикам отдельным фазам дуплекс-стали, и самой дуплекс-стали, характеристики фаз которой приведены в работе [4] (рис. 2). Основываясь на данных, представленных в работе [4], отнесение кристаллита к той или иной фазе определялось случайно по равномерному закону.

Рис. 2. Кривые деформирования для 1 дуплекс стали и модельных материалов, соответствующим по характеристикам отдельным фазам дуплекс стали: 2 – ОЦК фаза, 3 – ГЦК фаза

Из кривых деформирования, представленных на рис. 2, видно, что многофазный материал (кривая 1) обладает большим пределом текучести по сравнению с чистым металлом (кривые 2 и 3).

253

Таким образом, подтвердилась гипотеза, о том, что многофазные материалыбудутобладатьбольшей прочностью, чемчистые.

Таким образом, в работе исследовано явление зернограничного упрочнения в двухфазном поликристалле. Изучено влияние распределения зерен по размерам в поликристалле на деформационное поведение материала. Выявлено, что многофазные материалы имеют более высокие прочностные характеристики, по сравнению с чистыми металлами.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Пре-

зидента РФ № МК-4917.2015.1, РФФИ (грант № 14-01-96008

р_урал_а).

Список литературы

1. Trusov P.V., Volegov P.S. Internal variable constitutive relations and their application to description of hardening in single crystals // Physical Mesomechanics. – 2010. – T. 13. – № 3–4. –

C.152–158.

2.Constitutive relations and their application to the description of microstructure evolution / P.V. Trusov, V.N. Ashikhmin, P.S. Volegov, A.I. Shveykin // Physical Mesomechanics. – 2010. – T. 13. – № 1–2. – C. 38–46.

3.О существовании закона Холла–Петча в металлах / О.Н. Игнатова, А.В. Кальманов [и др.] // Физическая мезомеха-

ника. – 2013. – Т. 16, № 6. – С. 89–93.

4.Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Описание упрочнения систем дислокационного скольжения за счет границ кристаллитов в поликристаллическом агрегате // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университе-

та. Механика. – 2012. – № 3. – С. 78–97.

5.Кадикова М.Б., Гателюк О.В. О влиянии статистики распределения размеров зерен на оценку структуры металла ультразвуковым методом // Омский научный вестник. – 2007. –

№ 3 (60). – С. 32–34.

254

ПОТЕНЦИАЛ АТОМА УГЛЕРОДА, ОПИСЫВАЮЩИЙ ИЗГИБНУЮ ЖЕСТКОСТЬ ГРАФЕНА

Р.С. Окатьев, И.Ю. Зубко

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, okatjevrs@gmail.com

Классические потенциалы межатомного взаимодействия в ряде случаев позволяют достаточно точно описать упругие модули листа графена в его плоскости, однако при этом дают заниженные значения изгибной жесткости, для корректного прогнозирования которой требуется явным образом учитывать в потенциале строение ковалентной связи атомов углерода в графене. С помощью инвариантов системы трех векторов, задающих направления ковалентных связей, строится новый потенциал, учитывающий структуру sp2-гибридизованной оболочки атома углерода в графене и содержащий независимый энергетический параметр, который отвечает за изгиб связей. Полученный потенциал позволяет получать реалистичные значения изгибной жесткости графена.

Ключевые слова: графен, изгибная жесткость, инварианты системы векторов, энергетический подход.

Графен – двумерный углеродный материал с гексагональной решеткой, свойства которого в последнее десятилетие интенсивно изучаются как экспериментально, так и теоретически [1–4]. Это связано с интересом к его уникальным механическим характеристикам и необходимостью прогнозировать свойства композиционных материалов, армированных углеродными нанотрубками и другими наночастицами со структурой графена. Подходы механики микронеоднородных материалов опираются на понятия сплошной среды и не всегда применимы к наночастицам. Экспериментальное определение механических свойств наночастиц также не всегда возможно. Альтернативой является дискретно-атомистическое моделирование поведения наночастиц при различных воздействиях.

Для описания ковалентной связи атомов углерода в графене, находящихся в состоянии sp2-гибридизации, используется

255

множество различных подходов – от задания разнообразных межатомных потенциалов до описания ковалентной связи с помощью системы стержней. Но в большинстве работ не удается получить совпадение расчетных значений упругих модулей графена с экспериментальными данными [4]. В работе [4] показано, что с помощью модификации феноменологического потенциала семейства Ми, содержащего безразмерные параметры, можно получить точное соответствие расчетов и экспериментов для упругих модулей графена, но при этом получается заниженное значение изгибной жесткости.

В данной работе развивается подход [4] и строится потенциал атома углерода с помощью инвариантов системы трех векторов a, b, c, задающих направления ковалентных связей [5]. Учет симметрийных свойств графена приводит к комплексам аргументов вида:

φ(a,b,c) = φ(a (b c),a b + a c + b c,a a + b b + c c) .

Тогда вариант потенциальной энергии системы атомов углерода в графене по аналогии с потенциалами семейства Ми может быть представлен в виде

весное расстояние и энергия связи для изолированной пары атомов, γ – параметр, отвечающий за выход атома из плоскости соседних атомов, a – период решетки, Bij – вектор, соединяю-

щий i и j атомы, отнесенный к a, k (0;2) , m, n и p – степенные

параметры, отвечающие за убывание интенсивности взаимодействия атомов при увеличении расстояния между ними.

256

В случае расположения четырех атомов в искаженной структуре графена (рис. 1, а) введенные векторы суть:

Bi1i = {cos ψcosθ;sin ψcosθ;sin θ} ,

Bi2i = {− cos ψcosθ;sin ψcosθ;sin θ},

Bi3i = {0;− cosθ;sin θ} ,

где углы ψ [0; π / 2) и θ (−π / 2;π/ 2) . Подстановка этих век-

торов в предложенный потенциал дает функцию от углов ψ и θ, абсолютный минимум которой достигается при {ψ = π/ 6;θ = 0}

и {ψ = 5π / 6;θ = 0} , чему соответствует расположение Bi1i , Bi2i и Bi3i в одной плоскости при том, что все углы между ними рав-

ны 120° (неискаженная решетка графена).

Для той конфигурации (см. рис. 1) обычный потенциал Ми дает качественно иную картину со смещенными минимумами (рис. 2, б). Вариант потенциала из работы [4] дает качественно верную картину с минимумами в точках ψ = π/ 6 и ψ = 5π / 6 .

Рис. 1. Строение искаженной элементарной ячейки графена

257

Таким образом, предложенный потенциал учитывает структуру sp2-гибридизованной оболочки атома углерода в графене, описывает зависимость энергии связи от расстояния как потенциал Ми и содержит независимый энергетический параметр, отвечающий за изгиб ковалентной связи. Показано, что такой потенциал позволяет получать реалистичные значения изгибной жесткости и всех упругих модулей листа графена.

Список литературы

1. Гольдштейн Р.В., Ченцов А.В. Моделирование механических свойств композита графен-углеродные нанотрубки в рамках дискретно-континуального подхода: препринт / Рос. акад. наук; Учреждение Рос. акад. наукИн-т проблем механики им. А.Ю. ИшлинскогоРАН. – М., 2011. – Сер. № 949.

2.Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Континуальная модель деформации графена // Вестник Санкт-Петербург. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. – 2014. –

Т. 1, № 1. – С. 134–143.

3.Беринский И.Е., Кривцов А.М., Кударова А.М. Определение изгибной жесткости графенового листа // Физическая ме-

зомеханика. – 2014. – Т. 17, № 1. – С. 57–65.

4.Зубко И.Ю. Вычисление упругих модулей монослоя графена в несимметричной постановке с помощью энергетического

подхода // Физическая мезомеханика. – 2015. – Т. 18, № 1. –

С. 37–50.

5. Жилин П.А. Модифицированная теория симметрии тензоров и тензорных инвариантов // Известия вузов. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, – 2003 (Спецвыпуск). – C. 176–195.

259

СИММЕТРИЙНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ ПОЛИКРИСТАЛЛОВ

К.В. Остапович

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, ostkirvad@gmail.com

Рассматривается подход к установлению симметрии физико-ме- ханических характеристик анизотропных материалов. На основе данного подхода исследуются упругие свойства представительных объемов однофазных поликристаллов. С применением многоуровневых моделей, описывающих эволюцию микро- и мезоструктуры, анализируется изменение упругой симметрии поликристаллов при неупругом деформировании.

Ключевые слова: анизотропный материал, упругие константы, симметрия, однофазный поликристалл, многоуровневая модель, физические теории пластичности.

Существующие процессы механической обработки материалов, как правило, реализуются большими пластическими деформациями. В поликристаллах при таких деформациях происходит активация ротационных мод неупругого деформирования, приводящих к возникновению той или иной кристаллографической текстуры. В свою очередь, текстурированность материала обусловливает анизотропию его макроскопических физикомеханических характеристик. При этом выделение определенной симметрии указанных свойств, а также возможность их отнесения к одному из известных симметрийных классов имеют важное практическое значение при дальнейшей эксплуатации изделий из этих материалов. Кроме того, учет симметрии играет существенную роль на стадии проектирования деталей и при проведении сопутствующего ему прочностного анализа.

В настоящей работе теоретически исследуются представительные макрообъемы (ПО) [1] однофазных поликристаллов, упругое деформирование которых описывается обобщенным законом Гука [2]. Развивается [3] подход к решению задачи

260