Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfОна представляет однородную кубическую форму вторых и третьих производных от F. Таким образом дифференциальное уравнение для функции напряжений в области пластических деформаций является линейным относительно четвёртых производных и кубическим отно сительно всех входящих в него производных от функции напряжения. За исключением простейших слу чаев, а именно: задачи о растяже нии-сжатии полосы, когда функ
ция F зависит только от одной
переменной, |
задачи |
о чистом из |
||||
гибе |
и |
|
других |
простейших |
||
задач, |
никаких |
решений плоской |
||||
задачи |
для |
пластинок, |
материал |
|||
которых |
обладает |
упрочнением, |
||||
нам не |
известно. |
|
|
|||
Рассмотрим |
теперь |
задачу о |
||||
несущей |
способности |
пластинок |
||||
в их плоскости. Так как при этом имеет место условие пластичности
Мизеса или Кулона-Сен-Венана, деформации являются неопределён ными и, в частности, неопределённой является функция <р в форму лах (4.90). Предположим, что напряжения в пластинке, удовлетво ряющие уравнениям равновесия (4.86), условию пластичности и некоторым условиям на границе пластической области, найдены. Тогда из условия совместности деформаций (4.90) можно составить следующее дифференциальное уравнение для функции ср:
с |
*3L |
— ЪХ, |
д> |
д2у , |
д<р |
dSu |
дХ„ |
|
*Удх8 |
|
У д х д у ~ ^ х |
ду2 |
|
дх |
v )+ |
||
|
дер |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
^ду( 2 ^ |
- |
3 ^ ) + |
< 1+ |
f ) ( ^ |
' - 3 ^ |
+ ^ ) = 0-<4-96') |
|
Поскольку для данных напряжений легко найти функцию напряже ний F , мы можем упростить дифференциальное уравнение (4.96') и написать его в виде
с £ ? |
— ЗХ, |
-(-5 |
дх* |
У.дхду |
* дл* t |
+ 2| r ^ ('7!IFi+ <l+'f)v‘f= 0 О-9*)
Чтобы выяснить тип этого уравнения, напишем дифференциальное уравнение для характеристик 1б1:
Sy { j x ) + ЗА у^ + 5* ==0-
Отсюда находим корни:
•^ • = - ^ ( ^ ± ^ 9 4 - 4SeS„ ) • |
(4.97) |
|
Л ’гко видеть, что под корнем в правой части находится выражение, инвариантное относительно преобразования осей координат. Введём главные напряжения:
|
|
|
°i> ®а> |
вз = |
= О |
|
||
и главные касательные |
напряжения |
(1.10): |
|
|
||||
*13 = |
|
*38 |
въ— |
^ |
2"’ |
|
|
(4.98) |
|
2 |
|
|
|
||||
Напряжение |
т12 |
через компоненты |
Х х> Уул |
Х у выражается |
известной |
|||
формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\'4t\ = y r |
|
|
|
Ху |
|
|
Выражение, |
стоящее под корнем в правой части уравнения (4.97), как |
|||||||
легко видеть, |
может быть выражено |
через |
3 |
(1.20): |
||||
т12 и = |
||||||||
|
|
Д = |
9Ху — 4S xSy = |
1 2 т?2 — о?, |
(4.99) |
|||
откуда следует, что А есть инвариантная величина.
Предположим сначала, что максимальным касательным напряжением
является именно т1а. Это будет |
при условии 0j02 < |
0, т. е. когда at |
|
и ой различны по знаку. Теперь из неравенства |
(1.22) следует: |
||
12t?2( l — 1 ) < |
Д < 1 2 т ? а (1 — |
i ) , |
(4.100) |
и потому А не только положительно, но и почти постоянно, поскольку вместо условия пластичности Мизеса можно с известной точностью взять условие постоянства максимального касательного напряжения:
тшах |
(4.101) |
Характеристики уравнения (4.96) будут действительными и имеют следующее уравнение:
dyt _ |
Ху ± 2са„ |
(4.102) |
||
dx ~ |
2Yy |
— Xw » |
||
|
||||
где величину с можно считать постоянной, поскольку она изменяется в пределах:
0,914 s у Г | < с < у /~ 7 . » 0,935. |
(4.102') |
Уравнение (4.96) будет при этом гиперболического типа.
Если напряжения Oj, о, одного знака, так что их произведение положительно
о1о8> 0 ,
то |
максимальным будет одно из нэпряжений |
т^ . |
Предположим |
|||||
для |
определённости, что |
| « , | > | о , | . Тогда |
из |
(4.99) |
имеем: |
|||
|
|
|
Д = |
2о? |
|
|
|
|
откуда |
следует, что, если |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 < - ^ < 0 , 5 , |
|
|
(4 Л 03) |
|
то |
А > |
0, и уравнение (4.96) будет гиперболического |
типа, а харак |
|||||
теристики |
(4.97) будут действительными. Если |
же |
|
|||||
|
|
|
|
1 > ~ |
> 0.5, |
|
|
(4.104) |
то |
А < |
0, |
характеристики будут |
мнимыми, |
а |
уравнение (4.96) для |
||
функции <р будет эллиптического типа. Для определения деформаций в любой точке той области пластинки, где имеет место условие (4.104), величина <? или интенсивность деформаций е{ или любая из дефор маций ета, еуу, е^у должна быть задана на всей границе этой области, причём это может быть совершенно произвольная однозначная функция дуги контура.
Соотношения между напряжениями и деформациями (4.90) в главных
осях эквивалентны пропорции: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
<1 — ? i ____ Зе2 |
|
|
|
(4.105) |
|||
|
|
|
— ffj |
2di — о2 |
2аа— <ух |
||||
На |
основании (4-98), |
(4.103) и |
(4.104) мы заключаем, что |
уравне |
|||||
ние |
(4.96) будет эллиптического |
типа в том случае, если |
|
||||||
|
|
|
|
eie9 > 0 , |
|
|
(4.106) |
||
и |
гиперболического типа, если |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
eiea < 0. |
|
|
(4.107) |
||
В |
случае е,еа = 0 оно |
будет |
иметь |
параболический тип. |
|
||||
|
|
Покажем теперь» что дифференциальные уравнения равновесия: |
|||||||
|
|
дХв |
I дХу ___ |
|
дУт , |
дУу |
|
||
|
|
|
ду |
|
|
~ д Г ' |
ду' = 0, |
|
|
при условии пластичностиМизеса |
|
|
|
|
|
||||
тип их совпадает с типом уравнения (4.96). Для этого, дифференцируя условие Мизеса по л: и по у :
О у дХу о дХдв I о d Yy
■3X« - d T ==S^ ~ d T + S v - d f дХу ду
и подставляя значения производных напряжения Ху в уравнения равновесия, перепишем их в виде:
дХ„ |
■з х |
А |
|
S . дх |
|||
у |
ду |
||
|
■зх |
(4.108) |
|
дХт |
дХ„ |
||
S*~dy |
У |
дх |
Отсюда видно, что уравнение характеристик совпадает с (4.97'); исключая же, например, уравнение, аналогичное (4.96):
с № |
д*Хл |
|
ЪХ,У дхду |
||
дха |
системы (4.108) точно Yy из (4.108), получим
F = 0,
где F зависит от напряжений и их первых производных.
Таким образом уравнения, определяющие несущую способность пластинок и деформации её, будут эллиптического типа, если макси мальный сдвиг частиц материала происходит по поверхностям, наклонённым под углом 45° к пло скости пластинки, и, наоборот, они будут гиперболического типа, если максимальные сдвиги проис ходят по поверхностям, пересе кающим пластинку под прямым углом, причём сами максимальные сдвиги происходят параллельно плоскости пластинки. Решение ура внений пластичности при t max= T w, когда они имеют гиперболический тип, будут рассмотрены в главе VI, в связи с изучением плоской
деформации тел.
Рассмотрим некоторые свой ства решения уравнений равнове сия при условии пластичности тшах = const, в том случае, когда главные
напряжения о1# оа имеют одинаковый знак, так что ох о2 > 0. В таком случае максимальное касательное напряжение действует по площадкам,
наклонённым |
к плоскости пластинки под углом |
45°, и оно |
лежит |
||
в плоскости, |
перпендикулярной к |
пластинке. |
Проведём траектории |
||
главных нормальных напряжений |
(рис. 56); |
они |
образуют |
ортогр- |
|
нальную |
криволинейную |
систему координат |
(Slf у » причём |
будем |
считать, |
что координаты |
Е1? Еа изменяются |
соответственно в |
напра |
влениях действия главных напряжений ох, а2. Пусть элемент дуги dS имеет следующее выражение:
d ? = dS\-\-d& = A \d l\-\-A t d&> |
(4.109) |
так что коэффициенты первой квадратичной формы Аи А2 суть известные функции координат ?j, ?а. Кривизны линий ?lt 5,, очевидно, определяются уравнениями:
“ dS'a'd£ (dS^ d^> ~ ~dSl (dS**d^'
или, поскольку dSt = At div dS2 = A2dl2
|
|
1 ^ |
1 |
dAt |
1 _ |
,1 |
дАг |
|
|
Ri |
AiAa |
d£a ’ |
Ri |
A\A2 |
(4.110) |
„ |
dSt |
dS* |
представляют |
изменения |
углов наклона, каса |
||
Величины |
-щ |
- , |
|||||
тельных к |
линиям $!, |
при переходе из точки 0 по соответствующей |
|||||
координате. Поэтому легко непосредственно вывести уравнения
равновесия |
элемента dSlt |
dS2; |
проектируя |
силы |
на направления ^ |
|||
в точке |
0, |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
анало(Ично |
на направление €3: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
$ ) - 0. |
|
|
После некоторых преобразований получаем: |
|
|
||||||
|
|
|
dat |
( <Ji— a* |
n |
|
|
|
|
|
|
доз |
, |
---°1 |
f\ |
|
(4.111) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
d s l - T - R T ^ 0- |
|
|
|||
Условие |
пластичности тШ11; = const. = k |
в рассматриваемом нами слу- |
||||||
чае |
имеет вид: |
al = |
± 2 k , |
|
|
(4.112') |
||
|
|
|
|
|
|
|||
если |
| |
| > |
| oa I, или |
°a = |
=t2A , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.112") |
||
если |
| oa | > |
| ох | . Предположим для определённости, |
что | о, | > [ о91; |
|||||
тогда из |
первого уравнения |
системы (4.11) |
имеем: |
|
||||
=t 2* — а.
откуда получаем два решения. Первое даёт:
оа = о, = ± 2k. |
(4.113') |
В этом случае оба уравнения равновесия удовлетворяются тожде ственно. Решение (4.113') соответствует равномерному всесторон нему растяжению или сжатию пластинки, причём растягивающее или сжимающее напряжение о на контуре имеет проекции:
Х^ = ± 2 kl, Y, = ± 2 k m .
Второе решение |
|
/?2 = о о |
(4.113") |
означает, что траектории, на которых действует постоянное главное напряжение, суть прямые линии, а линии, вдоль которых оно дей ствует, суть ортогональные траектории к этим прямым.
Таким образом, если вся пластинка полностью находится в пла стическом напряжённом состоянии, и главные напряжения Oj, о9 всюду' имеют одинаковый знак, 'несущая их способность опреде ляется элементарно с по мощью уравнений (4.113')
или (4.113"); одна из систем траекторий главных напря жений представляет семей ство прямых линий, причём нормальное к этим прямым напряжение постоянно и рав но ± 2 k . Величина 2k за ключена в пределах
^ > 2 А > о „ (4.114)
поскольку условие пластич ности Мизеса
2 |
I 2 |
2 |
Ох |
OjOg-f- 02 |
О» |
в плоскости о1э о2 изобра жает эллипс (рис. 57), а вписанный и описанный около него шестиугольники изображают
условие 2тшах = 2£. Несущая способность пластин, рассчитанная по описанному шестиугольнику, для которого:
2<j*_
2k = Уз ’
является завышенной, а по вписанному (2k = as) — заниженной.
получать верхнюю и нижнюю границы несущей |
способности |
пла- |
||||||||
стинки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пусть геометрическое место центров пересечения семейства прямых |
|||||||||
дано кривой LM (рис. 58), а само семейство |
|
прямых — линии, |
||||||||
нормальное |
напряжение |
|
|
|
|
|||||
на |
которых |
Oj постоянно |
|
|
|
|
||||
и |
равно |
± 2 k . |
Тогда |
|
|
|
|
|||
каждая |
кривая |
ортого |
|
|
|
|
||||
нального |
к |
прямым |
се |
|
|
|
|
|||
мейства |
будет эвольвен |
|
|
|
|
|||||
той |
кривой |
LM, |
Всё |
се |
|
|
|
|
||
мейство эвольвент состоит |
|
|
|
|
||||||
из параллельных |
кривых. |
|
|
|
|
|||||
Если задана одна из эволь |
|
|
|
|
||||||
вент, |
например, |
кривая |
|
|
|
|
||||
1т, |
то простым геометри |
|
|
|
|
|||||
ческим построением мож |
|
|
|
|
||||||
но |
найти |
геометрическое |
|
|
|
|
||||
место |
центров кривизны |
|
|
|
|
|||||
её (эволюту), а также и |
|
|
|
|
||||||
всё семейство эвольвент. |
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим пластинку, ограниченную замкнутым контуром (/), |
||||||||||
имеющим |
всюду |
положительную кривизну (рис. 59), и пусть, отвер |
||||||||
|
|
|
|
|
|
стие в ней образовано кри |
||||
|
|
|
|
|
|
вой (II) параллельной (/). |
||||
|
|
|
|
|
|
Построим |
эволюту |
этих |
||
|
|
|
|
|
|
кривых |
LM и обозначим |
|||
|
|
|
|
|
|
через R ' и R" радиусы |
||||
|
|
|
|
|
|
кривизны кривых (Г) и (//) |
||||
|
|
|
|
|
|
в точках М ' и М" |
|
|||
|
|
|
|
|
|
R ' = M M \ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
R" = MM,/, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
так что |
H = R r— R" |
|||
|
|
|
|
|
|
представляют постоянную |
||||
|
|
|
|
|
|
всюду |
ширину |
кольца. |
||
|
|
|
|
|
|
Радиусы R ' и R |
следо |
|||
|
|
|
|
|
|
вательно, |
известны в |
ка |
||
|
|
|
|
|
|
ждой точке внутреннего и |
||||
|
|
|
|
|
|
наружного контуров, |
ре |
|||
|
|
|
|
|
|
шим следующую |
задачу: |
|||
каковб должно быть давление р (или растягивающее нормальное напряжение— р) по внешнему контуру (/) пластинки, чтобы при свободном от нагрузок внутреннем контуре (//) пластинка полностью перешла в пластическое состояние? Согласно рисунку 59 имеем
Oj = — 2k. |
Условие |
равновесия |
элемента м ' м [ М{ М" даёт непо |
|
средственно: |
|
|
||
|
|
РМ 'М [ = 2k (М ’М[ — М "М Ц |
||
и, |
так как |
|
м 'м [ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м"м1 |
R" ’ |
то |
искомое |
давление |
равно: |
|
И -П » )
Если аналогичное уравнение написать для кривой, параллельной контуру и имеющей в точке М эволюты радиус кривизны /?, то для напряжения оа получим:
° a = - 2 ^ ( l — |
(4. 116) |
откуда убеждаемся, что напряжение о9 действительно имеет тот же знак, что и о, в любой точке пластинки. Давление р, как видим,
вообще говоря, не является постоянным по контуру (/) и должно изменяться обратно пропорционально радиусу кривизны R'. Однако, если размер пластинки весьма велик, и в бесконечности она сжи мается давлением р, то максимальное значение этого давления будет равно 2k, какова бы ни была форма отверстия (II). На рис. 60 показаны некоторые примеры определения несущей способности пластинок, не требующие особых пояснений. Заметим ещё, что если на внутреннем контуре (II) также действует давление q, то вместо формулы (4.115) получим:
p - q ( l - % ) = 2 k jfit |
(4.1150 |
а вместо (4.116) — следующий закон распределения тангенциальных напряжений оа:
° ^ - 4 ^ - 2 k { l - - T r ) = - ™ - \ - ( 2 k - q ) * L . (4.1160
Наио^льшее значение давления q будет 2k, так как |
мы |
предпола |
||||||
гаем |o i|> |o a l* |
|
Если q отрицательно, т. е. на' внутреннем контуре |
||||||
приложено растяжение, то |
на |
|
|
|||||
пряжение о2 становится положи |
|
|
||||||
тельным при любом q, и по |
|
|
||||||
тому формулы (4.115) и (4.116) |
|
|
||||||
не имеют смысла. |
|
|
|
|
|
|||
Так |
же |
просто |
решаются |
|
|
|||
задачи |
о несущей |
способности |
|
|
||||
пластин, находящихся под дей |
|
|
||||||
ствием |
массовых |
сил опреде |
|
|
||||
лённого характера. Пусть мас |
|
|
||||||
совая |
сила, |
действующая |
на |
|
|
|||
каждую точку пластинки, имеет |
|
|
||||||
постоянный знак |
|
и направлена |
|
|
||||
по касательной к эволюте кон |
|
|
||||||
тура, |
например |
|
от |
эволюты |
|
|
||
(растягивающая |
сила). Обозна |
|
|
|||||
чим её |
через |
gy а |
плотность материала — через р. Из |
рис. |
61 имеем: |
|||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
2М |
db — o2tf fifO— У pgR db d R + qR"db = |
О, |
|
||||
o9= 2 k t ] L - ± f p g R d R + q 2 L , |
(4.117) |
R "
где q — растягивающее напряжение o2 на внутреннем контуре. Если растягивающее напряжение оа на внешнем контуре равно р, то имеем такое уравнение, определяющее несущую способность:
|
J2' |
|
|
P + ^ j p g R d R = 2 k - ^ + q ^ r . |
(4.1 IS) |
|
R n |
|
Рассмотрим ещё некоторые частные задачи о несущей способности |
||
круглого диска постоянной толщины с отверстием. |
|
|
1. |
Диск вращается в своей плоскости около |
центра с угловой |
скоростью а), на внешнем контуре приложено растягивающее напря жение р, на внутреннем — q. Массовая сила g в этом случае равна
g=aR<tfl,
и потому из (4.118) имеем:
Ь— а
Ь |
(4.119) |
|
где а, b внутренний и наружный радиусы. В частности, для сплошного диска находим:
Если к нему не приложено растягивающее |
напряжение р, то ско |
||||||||||||
рость |
® = |
К |
при |
которой |
|
весь |
он |
переходит |
в |
пластическое |
|||
состояние, |
равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Диск с отверстием растягивается внешним напряжением оа = р, |
||||||||||||
(R = |
b),- и |
на внутреннем контуре действует давление |
q:a2= — q, |
||||||||||
(R == а). Поскольку |
на |
внутреннем |
контуре |
ох о2 < |
0, |
то условие |
|||||||
пластичности принимает |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
— оа = |
2А, |
|
|
(4.120) |
|||
и из уравнений' равновесия |
имеем: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dat |
I |
R |
__n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dR ^ |
— U* |
|
|
|
||||
Решая |
это уравнение |
при условии (4.120), получаем: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
аа = |
2 А 1 п ^ — |
q. |
|
|
(4.121) |
|||
Если наружный |
радиус Ь удовлетворяет |
неравенству |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
_ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь ^ а е 2к , |
|
|
|
|
|||
то из |
условия |
оа = р |
при |
г = Ь имеем |
формулу для несущей спо |
||||||||
собности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р = |
2&1п — -\-q, |
|
|
|
||||
по существу, совпадающую с формулой для несущей способности |
|||||||||||||
трубы. Если |
же |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ > а Д |
, |
|
|
|
(4.122) |
||
то решение |
(4.121) при |
/? > Я * , |
где |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
R* — ae2k ,