Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfЭто ясно также из (4.38) и (4.37'), так как, вследствие четности функции et по г имеем:
Г з
(4.320)
и потому А0= 0, |
Л „ = |
0 и J2 — 0. |
|
|
|
|||||
Для того чтобы |
выразить |
силу Г9 и моменты Ми М 9 через де |
||||||||
формации, найдём величины В0, С0 (4.37'): |
|
|
|
|||||||
*« |
|
|
|
|
|
= 2 J af |
|
|
|
|
Вя |
J |
Qjdej |
|
|
|
\ Z e l - e l det, |
(4.321) |
|||
после чего на основании (4.38) |
и |
(4.26), (4.27) |
имеем: |
|
||||||
т |
|
л |
г |
|
|
® ЗоУ^З |
|
|
|
|
T l- 0 , |
Га -------H |
J y f ; ' |
|
|
|
|||||
м |
_ |
_ |
<**ю |
Q |
/ 3 |
|
1 |
|
(4.322) |
|
|
|
|
||||||||
Ml |
|
|
dx* 2pt Y K |
’ уИа — 2 |
|
|
||||
Поскольку согласно |
(4.319), |
(4.317) |
|
|
|
|||||
|
|
Р х |
/d% Y |
|
р |
|
|
(4.323) |
||
|
|
W |
v |
’ |
4 \ а |
/ |
* |
|||
и потону eilt а следовательно, и В0, С0 зависят только от един ственной неизвестной функции w (x), то формулы (4.322) дают зави симость силы Га и момента Mt от прогиба.
Дифференциальные уравнения равновесия элемента (рис. 83) имеют вид:
|
|
^ + |
^ + / > |
= |
0, |
(4.324) |
поэтому для |
прогиба |
w получается |
уравнение: |
|||
|
|
|
Ъ Г + 7 Ъ + Р ~ 0- |
(4-524') |
||
Зависимость |
|
представим в |
виде ломаной |
|
||
|
о, = |
Ее,, |
|
<о = |
0, |
|
|
о< = |
£<?4(1 — Ч |
ш= |
X ( I — |
е< > е „ |
|
и найдем явные |
выражения |
Afj через прогиб w. Чтобы упростить |
||||
дальнейшие |
вычисления, введем безразмерные |
переменные: |
||||
и безразмерные функции:
|
II k |
|
. " |
19 |
v1- |
•Is II |
|
|
00 |
4M±
m
= e.
(4.326)
В зависимости от характера нагрузки q(x) по длине оболочки может возникнуть некоторое число упругих, упруго-пластических и пласти
|
ческих областей, |
причём Ме |
||||||
|
жду |
двумя соседними |
упру |
|||||
|
гими |
областями, |
заклю чав |
|||||
|
щими |
пластическую, |
сле |
|||||
|
дует |
различать |
три |
участка |
||||
|
(рис. 84): I — пластически^ |
|||||||
|
в |
котором |
при |
|
любом |
|||
|
г *»> *8;11— упруго-пласти |
|||||||
J ___ |
ческий, |
в котором |
некото |
|||||
рая |
часть толщины |
стенки, |
||||||
Рис. 84. |
примыкающая к поверхности, |
|||||||
деформируется |
пластически |
|||||||
|
(ei > |
е8\ |
часть |
же, |
|
вклю |
||
чающая серединную |
поверхность, |
деформируется упруго |
(et < е8), |
и потому их разделяет поверхность |
е€ = е8; III — упругий, |
в котором |
|
для любого г, е{ < |
еа. |
|
|
В новых обозначениях интенсивность деформаций имеет выражение:
е
где две точки наверху w означают вторую производную по и момент т представим в виде:
t — — -и; + -|-Х8/,
2 - |
2 |
m = |
(- уХ8/я, |
(4.327)
х. Силу t
(4.328)
и тогда, вычисляя квадратуры (4.321), |
получим: |
|
||
В области I |
(пластической): |
|
|
|
й/ = 4 ,7 ,_ 85 | n V # + |
|
+ |
||
|
Ц у з |
|
2 w sign w |
|
Ьт = |
w — ¥ т- л/ |
w9-f- 4 да9 -f- |
(4.329) |
|
|
w * |
” |
|
|
|
in уз(я> + |
ю Ч у й » ) |
5* УЗ |
2wSign «7 |
|
На границе области I минимальное по толщине значение интенсивности деформаций равно е8; обозначая через х 0 координату этой границы, имеем из (4.327) при г « 0:
|
|
|
|
|
х = |
|
х 0, |
е = 1 . |
|
|
|
|
(4.329') |
||||
В области II (упруго-пластической) интегралы (4.321) вычисляются |
|||||||||||||||||
по участкам: |
1) |
от |
г = 0 до г = г0 (т. е. |
от е = |
|то| до е = |
1) при |
|||||||||||
of = Eet ; и 2) от |
г = г 0 до г = 1 |
при |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
с< = |
£ ( 1 |
— X) *< + |
Хо,; |
|
|
|
|
|||||
в результате |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8 / = 4 т о — rr—z Y |
1 — то2 sign то— |
|
|
_________ |
) |
|
|||||||||||
|
да У з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
8да |
^ |
|
УЗ (да -f- у/~ да2 + |
-д- да2) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( l + V |
l |
— w |
sign да) |
|
(4.330) |
||
8/га = то -{- ^ (I+2да |
) -у/- j — |
sign то— |
|
|
то2- |
-4з то2+I |
|||||||||||
до |
|
|
|||||||||||||||
|
ЗУ З |
да2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4 w* |
In |
|
Y%{w + |
|
|
ДО2 -f" |
Ш-) |
|
|
|||
|
|
|
|
w * V 3 |
|
|
2 (1 Н- V l — te;2 sign те;) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Граница |
этой |
области |
с пластической |
есть |
х = |
х 0, граница |
же её |
||||||||||
с упругой областью (III) определяется тем условием, |
что максимальное |
||||||||||||||||
по толщине значение интенсивности деформаций (при г = |
1) равно е8: |
||||||||||||||||
|
|
x==xlf е = 1 , |
|
|
wQ-l~-^-w2= 1 |
|
|
(4.330') |
|||||||||
В области III |
(упругой) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
t, — — w, |
|
|
т = |
- - j2w- , |
|
|
(4.331) |
|||||
причём |
она примыкает |
к области |
II. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Дифференциальное |
уравнение |
(4.324) |
на |
основании |
обозначений |
||||||||||||
(4.326) |
и уравнений |
(4.328) |
перепишем |
в |
виде: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
^ |
|
+ 4то = |
Н - Х 8 / + Х |
^ , |
|
|
(4.332) |
|||||||
причём через р обозначена величина, пропорциональная нагрузке:
Если вместо it, im в уравнение (4.332) внести их значения (4.329) или (4.330), получится' довольно сложное нелинейное дифференциаль ное уравнение 4-го порядка относительно w. Как бы ни была
проста нагрузка р, проинтегрировать его в конечном виде не удаётся, и оно специально написано в форме, удобной для применения метода упругих решений.
Общее решение задачи о деформации цилиндрической оболочки по методу упругих решений можно получить через функции Крылова I1*]:
|
К, = |
ch х cos х ; |
|
|
Y%— — (ch ~xsin x -f- sh x cos x), |
||
|
Y9= |
shjcsln x, |
(4.334) |
|
|
||
|
V4= |
(ch x sin x — cos x sh x). |
|
При |
нулевом значении |
аргумента (х = 0) |
значения этих функций |
и их |
производных до |
третьего порядка определяются таблицей 17, |
|
|
|
Т а б л и ц а 17. |
причём они обладают сле- |
|
Значення функций (4.334). |
дующими свойствами: |
|
|
|
||
п
1
2
3
4
Если
цией
|
|
|
|
|
dYt _ |
y |
|
|
Гп (0) |
К (0) |
К ( о) Г» (0) |
1 x ~ |
Yu |
|
|
|
|
|
|
|
d Y * _ Y |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
H ~ |
Y* |
(4.335) |
|
dYt _ |
y |
|||||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
dx |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
^dx = |
- 4 Г4, |
|
|
|
|
|
|
|
||
бы |
правая |
часть |
уравнения |
(4.332) |
была |
известной функ |
|
х , |
его решение определялось |
бы формулой |
|
|
|||
|
+ /( ? + * * * + * |
о * - |
П=1 |
о |
|
Поскольку момент |
т и перерезывающая |
сила, пропорциональная |
22?, непрерывны на границах различных областей, интегрированием dx
по частям формулу можно преобразовать. к виду:
|
а |
c / , W |
+ J р Ю М * — 5>* + |
|
О |
|
9 |
+ x |
j [ i f Y 4 (* — 5 )-f- 8m Y 9 ( х — 5)Jd l |
о
Здесь Ся — произвольные постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями на торцах оболочки. Заметим, что функции Крылова К9 и Yi удовлетворяют тождествам:
= к2 (х) Y1J l ) - Y l (X) ка (5) +
+ 4К8( * ) М |
5 ) - 4 М * ) М Э , |
(4i337) |
Y< ( x - l ) = Y, (x) Y ^ ) - |
Kj (x) М О + |
|
+ r 2 w r e ( ) ) - r , w y s ( 0 . |
|
|
Внося вти значения в (4.336), запишем прогиб w в следующей форме:
w = ^ A n (x) Yn{x). |
(4.338) |
i |
|
Тогда функции Ап будут иметь следующие выражения через 8/ и Ьт:
X _
A l = C l - \ j [(8/+ К4 + bmYj]
О
х__
4 , = Q + A J [ ( « + f )
Ш |
_ |
(4.339) |
|
||
С8 — AJ Г(8/+ f ) К9— 48mK4] Л, |
|
|
О |
|
|
+ Х/ [ ( 8' + f ) у| — 48ш К ,] л . |
|
|
Дифференцируя (4.338) два раза пр х, найдем: |
|
|
то= А8от—4Л1У3 — 4Л2К4 + Л,}^ + Л4К9. |
(4.340) |
|
Соотношения (4.338), и (4.340) по существу представляют собой интегро-дифференциальные уравнения вида:
X
•“>= |
J / i (w, |
w, х, 5)<Й +/1(Зё), |
|
О |
|
« = |
/ / * ( » , |
w, х, t)d \- \- fb(x), |
|
о |
|
Поскольку моментное напряженное состояние существенно отли чается от безмоментного только в том случае, если нагрузка р{х) су щественно изменяется при изменении х на величину / = 0 (|/д /г ), т. е. меньше радиуса а, постольку представляет HHfepec Случай, когда
нагрузка р вообще распространяется только на небольшой участок. Впрочем, формулы (4.338), (4.340) позволяют построить решение и в общем случае. Для этого достаточно определить призвольные постоянные Сп из граничных условий и затем последовательно приме нить метод упругих решений.
Рассмотрим случай сосредоточенного кольцевого давления, прило женного по внешней окружности в сечении * = 0 . Пусть Р будет интенсивность этого давления, т. е. сила, приходящаяся на единицу
длины |
окружности |
сечения х = 0 . |
Безразмерные |
прогиб и кривизну |
|||||||||
образующей |
в сечении JC = 0 |
обозначим соответственно: |
|
|
|||||||||
|
|
— |
S ( o ) - £ , |
р-=--«•>— щ ё ),- |
f*-34» |
||||||||
Считая |
оболочку |
безграничной в обе |
стороны, |
мы' можем |
написать |
||||||||
граничные условия, |
определяющие |
произвольные |
постоянные, |
в виде |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
* = |
w — а, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w — 0, |
|
|
|
(4.342) |
||
|
|
|
|
|
|
|
w = |
0, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
х = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w — 0, |
|
|
|
|
||
причём |
связь |
между |
прогибом а и |
силой Р найдём |
из того условия, |
||||||||
что |
перерезывающая |
сила |
N в сечении х = 0 равна половине силы Р |
||||||||||
с обратным знаком. Интегрируя уравнение (4.324') |
по х от |
0 |
до оо |
||||||||||
и замечая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
J ‘£ d x - N „ - N ll- r , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
так |
как |
= 0, |
а |
также, |
что для |
JC> 0, р = |
0 |
получим |
связь |
||||
между Р и л |
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
р = |
J (w _ |
I X 8/) dx, |
|
|
(4.343) |
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
где |
величина |
Р связана с |
силой Р соотношением: |
|
|
|
|
||||||
Полагая в |
(4.338) |
да(0) = а, а |
также |
после |
дифференцирования |
■ы>(0)=0, |
находим |
две постоянные: |
|
|
|
|
|
С1== а, |
С2= |
0. |
(4.345) |
Условия (4.342) на бесконечности позволяют определись и две другие
произвольные |
постоянные. |
Для этого заметим, что при х > х 1г ко |
||
торое определяется из (4.330') 8 ^ = 8 т = |
О, и потому при |
вели |
||
чины Av А2, |
Аа, A i будут |
постоянными. |
Отметим штрихом |
наверху |
эти постоянные значения функций Ап и перепишем формулу (4.338)
для х > х , в виде:
=— ^ A!S - \ - \ A '^ COS x-f-
+ (-J |
— |
\ А 'з+ |
Т А '*) sin * ] + |
— 7 |
^ |
) C0S* |
-i-zujsin x j . |
Для того чтобы условия_при х = _ со выполнялись, необходимо, чтобы
коэффициенты |
при |
cos х |
и |
sin х |
второго |
слагаемого обращались |
|||
в нуль. Отсюда |
и |
из (4.345), |
(4.339) имеем: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
*1 |
|
|
|
|
|
At = |
a — А |
[ |
(8/К4 + 8тУ 2)<Л, |
||||
|
|
|
|
_ |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
*1 |
|
|
|
|
(4.346) |
|
|
А а= Х |
f (ofKa-fom Kj)^, |
||||||
|
|
Аз = |
~ 2 (А '1 + |
А2), |
|
||||
|
|
A; = 2(2A’ + |
A J. |
|
|||||
Постоянные С8, |
С4 теперь |
исключаются, и функции А„ становятся |
|||||||
вполне определёнными: |
|
|
|
|
*i |
|
) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Л , = |
л : + |
х |
/ |
(8t Y 4 -J- Ът К2) |
|||
|
|
|
As — X f |
°1 |
|
|
|||
|
Аа = |
(8/Kj - f 8m К,) dl, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
(4.347) |
|
|
|
|
|
|
|
*1 |
|
|
|
A3= |
A3+ |
X J( 8 ^ — 48m У4) dl, |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
= A* — X J*(8/Kj — 48m K9) d\.
Величина р |
опущена, так как она отлична от |
нуля только при |
дг= 0, но эта |
точка исключена из рассмотрения. |
Теперь формулы |
(4.338), (4.340) позволяют строить последовательные приближения решения задачи.
1. Первое |
приближение и упругое решение. Полагая |
в первом |
||||
приближении |
\ = |
0, что соответствует упругому изгибу оболочки, ив |
||||
(4.346) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
М = а, А2= 0, |
А з= — 2а, |
/4i = 4«; |
(а) |
|
ив (4.338), (4.340) имеем: |
|
|
|
|||
|
w = |
в (cos х —J- sin х) е~х = аК6 (дс), |
(«) |
|||
|
w = |
— 2а (cos х — sin х) е~т= |
— 2аКв (х). |
|||
|
|
|||||
Переход |
материала оболочки |
за предел упругости происходит при |
||||
том значении а, при котором условие (4.330') выполняется в сечении
л?“ 0. Поскольку К6 (0) = 1 |
и |
К9 (0) = 1, условие (4.330') даёт: |
4а1 = |
1, |
а = - у , |
а из (4.343) находим для |
|
|
р = |
|
(4.348) |
2а. |
||
Это — известное решение задачи об упругом изгибе оболочки кольце вым давлением.
Первое приближение значений координат х 0, х 1г определяющих границы между I — II и II— III областями, при упруго-пластической
деформации (в > 0,5) находим из условий (4.329'), (4.330'):
|
|
|
> б ( * о ) = т ’ |
|
|
|
оо |
||
Кроме |
значений |
а < 0,5 |
ниже |
мы |
рассмотрим ещё три значения |
||||
а : 1 ; |
2; 3; |
при |
этом |
каждое |
а |
при |
трёх различных значениях X |
||
(кроме |
Х = 0 ) : Х = з 0 , 5 ; |
X = 0,75; |
Х = |
1. Каждому числовому зна |
|||||
чению |
а соответствует |
первое приближённое значение х 0, x v полу |
|||||||
чающихся из (в). Формулы (4.348) для этих значений а представляют |
|||||||||
первое |
приближение решения задачи. |
|
|
||||||
2. |
Второе приближение. |
На |
|
основании формул (б) и (4.329), |
|||||
(4.330) при |
числовом |
значении |
а строим графики изменения вели |
||||||
чин |
и Вт |
в |
зависимости от |
х |
(в |
пределах от 0 до х0 и от х 0 |
|||
ные А'п) одновременно строим графики функций Ап(х) согласно (4.347). После этого по формулам (4.338), (4.340) строим графики для про
гиба |
w |
и кривизны w и, графически вычисляя квадратуру (4.343)э |
||||||||||||
находим |
второе |
|
приближение |
значения |
силы |
Р , соответствующей |
||||||||
взятому |
а. |
После |
этого |
из (4.329') и (4.330') |
находим |
второе при |
||||||||
ближение |
|
значений |
координат |
границ л:0, x v |
Второе |
приближение |
||||||||
кривизны |
|
находим |
из |
|
|
|
|
|
|
|||||
(4.340) |
при лг = |
0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(3 = |
X 8 m (0 )-f Л8(0). (г) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
Третье |
и |
|
после |
|
|
|
|
|
|||||
дующие |
|
приближения. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычисление третьего при |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ближения |
|
отличается |
от |
|
|
|
|
|
|
|||||
предыдущего только тем, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
что функции w |
и w, |
со |
|
|
|
|
|
|||||||
гласно |
второму |
|
прибли |
|
|
|
|
|
|
|||||
жению, |
|
заданы |
|
графи |
|
|
|
|
|
|||||
чески, |
тогда как |
прежде |
|
|
|
|
|
|
||||||
они |
определялись форму |
|
|
|
|
|
||||||||
лами (б); |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
мы снова строим графики |
|
|
|
|
|
|
||||||||
величин 8f, 8m, при новых |
|
|
|
|
|
|
||||||||
пределах |
|
JC0, х 1 |
вычис |
|
|
|
|
|
||||||
ляем квадратуры (4.346), |
|
|
|
|
|
|
||||||||
находя |
постоянные |
Ап » |
|
Рис. 85. |
|
|||||||||
и строим |
графики |
функ |
|
|
|
|
|
|||||||
ции |
Ап |
по формулам (4.347). Поскольку |
с |
графиками прихо |
||||||||||
дится |
совершать |
лишь |
алгебраические |
операции |
и интегрирование, |
|||||||||
но не дифференцирование, вычисления производятся с большой сте пенью точности. Формулы (4.338) и (4.340) позволяют построить
графики w и w в третьем приближении, после чего из (4.343)
находим третье приближение силы Р .
Сходимость процесса вычисления последовательных упругих ре
шений получается |
очень |
сильная. |
Так для |
любого а при Х==0,75 |
||||
и |
меньше |
третье приближение |
практически не отличается от второго |
|||||
и |
только |
при X = |
1 |
оно |
даёт |
заметную поправку величин Р и р для |
||
больших |
значений |
а |
(2 |
и 3). |
Но |
случай X = |
1 относится уже к за |
|
даче о несущей способности оболочки, и для него будет дано_точное решение; оно показывает, что третье приближение величины Р , най денной по методу упругих решений, хорошо совпадает с точ ным.