Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

16.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3932 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

мулах (5.21):

8Г1 = 8Га = 85 = 0,

и выражая деформации е , через кривизны х „ — найденные значения еж можем подставить в формулы (5.22) для изгибающих моментов и собрать подобные члены. В результате этих преобразований получим:

	i 8 ^ ) =	----- (1 — * W +			(1 - * - * )	V ,	(5.94)
	± W	----- - \|( 1	— ), +		( ! - * —		,
где обозначены:
	4 (1 — X)		_	4	^
	4 (1 — X)		_		de,		(5.95)
	(1 +	У Т —it)*					(5.95)
	(1 +	У Т —it)*
					Т $	’
—	( ‘ - V*)4	[ О - T	V * ) P т+				96)
—	( ‘ - V*)4	[ О - T	V * ) P т+

Сравнивая величину k с модулем Кармана К (3.18), видим полную аналогию, поэтому называем его обобщённым относительным моду лем Кармана

Е ’

поскольку вместо осевого напряжения Oj и осевой деформации ех

бруса в эту		величину входит интенсивность напряжений о* и интен
сивность	деформаций е{. Параметр ф обращается в нуль вместе с а>
и потому	в	случае, если пластинка лишь незначительно выходит за
предел упругости, его можно отбросить.
Подобно		тому как это делается в теории изгиба анизотропных

упругих пластинок, разрешим уравнения (5.94) относительно момен

тов и результат запишем	в виде:
S M j = —	£>,!*! —	D iax „ - f 2 D 18Xs ;
8ЛГ2 ~	-£>31*1	(5.97)

ЬН АцХ, I ^82*8 2Dg8Xj.

Величины Dmn можно назвать жёсткостями при потере устойчивости пластинок за пределом упругости. Они имеют следующие выражения:

Du “ D [ l — ф— (1 - ф — к) Щ ,
D n =	D [ 1 —		\| ( 1 - ф		— А) У2„] ,
D 12 = Z)2i=		О Г		з	- - 1 >	(5.98)
D 12 = Z)2i=		f [1 — 4-- у ( 1 - Ф — k)XxYy\ ,
Dn =	D 31 =	\|- D ( 1		— ф — k)XxX y ,
D 23 =	/>82 =	T	О	-	A)

Формулы (5.98) показывают, что жёсткости зависят как от механи ческих свойств материала пластинки, а именно, от обычной упругой цилиндрической жёсткости Z), модуля Кармана К и степени пласти ческой деформации ш, так и от действующих перед потерей устой чивости напряжений х » _ _ _

Внося значения Dmn в уравнения (5.97), получим:

^ ■ 1= — (1 — ♦)(*! 4 - J xi) +	T ^ 1 — Ф —
---------- ( 1 - Ю ( Ч + Y x i ) + 4	( 1 — V - * ) V ,	(5.99)

•^г = —- J (! —Ф) хз + ТС1 — $~А) Х у *-

Отсюда заключаем, что моменты имеют потенциал:

W = Y w ' =

=	[ (1—	Ф) (; + 1Х2 +	ха + * 8 ) ~ т			( 1— Ф — А) х2] , (5 .Ю 0 )
так что
	Ьм, = - ! * ■ ,		*	=	дха’	(5.101)
	1	д!	*		дха’	2 дх3

Метод Тимошенко, широко применённый им в исследованиях упругой устойчивости пластинок и оболочек, вполне применим и в задачах устойчивости пластин за пределом упругости, поскольку зависимости (5.99) между моментами и кривизнами являются линей ными, и работа внутренних сил при изгибе согласно (5.100) является однородной квадратичной формой параметров хи х2, х8. Метод со

стоит в следующем: пусть под действием заданной системы контур ных сил, действующих в плоскости (х, у ), пластинка находится в плоском напряжённом состоянии, определяемом напряжениями:

Хх = о<Хх, Yy = o%Y y, Ху = а,Ху.

Пусть по каким-либо причинам пластинка получила бесконечно ма

лое выпучивание,	определяемое	прогибом	w (х, у) и кривизнами:
	d^w	d^w	d^w
**	’ *a =	‘dy3'’	= a3cdy *

При этом внутренние силы (моменты) совершают работу:

W dxdy.

(5.102),

Поскольку за пределом упругости потеря устойчивости сопрово ждается деформациями серединной поверхности е1У е2, е3) то силы Т» Г» *5 совершат работу:

v i = f f ( ТуЧ +	+ 2Ss3) dx dy,
которая согласно вариационному	уравнению равновесия равна ра

боте Лг внешних сил на перемещениях контура, соответствующих

деформациям	еи	е2,	е3. Кроме работы	Av	контурные силы	совер
шают работу	А	на	перемещениях точек	контура в плоскости		(х, у)
за счёт выпучивания			пластинки. Последняя,		как известно, равна:

А =		-4/ J К£/+
		-	т	f	f	+
Здесь wX9 wy суть частные производные от w по х и у.
Если		работа	внутренних		сил V -\|- Vx больше работы внешних
сил	А -{-А 1У то		плоское состояние пластинки является устойчивым;
если	меньше — то			неустойчивым. Таким		образом критическое значе

ние внешних сил определяется равенством этих работ. Так как Ах= Vx> то уравнение, определяющее критические силы, имеет вид:

V = A,

или, согласно	(5.102)	и (5.103):
/ J [ ^	+ т °<	( X™ + V v +	dx dy = 0. (5.104)

Обозначим через / какой-нибудь характерный размер				пластинки
в плане и назовём гибкостью пластинки i величину
При v =	0 эта величина представляет собой обычную гибкость балки*
толоски	длиной / и толщиной А, причём ширина её равна 1. Умно
жим уравнение (5.104) на		и,	замечая, что перед а4	образуется
множитель		H t - L n
		H t - L n
		D	Е 1 9
разрешим	его относительно	гибкости:

Р= — sbLi------------ -------- ---------- - i ---------------i-------. (5.105)

—f f a<lX*wl + yvw\ + 2X«wxwy\ dx *y

Это и есть основное уравнение, определяющее критические нагрузки или критическую гибкость по методу Тимошенко. Оно очень удобно для решения задач и особенно в тех случаях, когда имеется прибли жённое решение. Задавая прогиб w в виде ряда

■w = 2 , C J n(x, у),

который	удовлетворяет		граничным условиям	на контуре пластинки,
и вычисляя		величины:
* - V	c	n Ас* ’
xi ~ Z d		n Ас* ’
после подстановки их в (5.105) получим:
		.а	атпСтСп	(5.106)
			ЪЫтпСтСп

причём в числителе и знаменателе находятся однородные^положительные квадратичные формы по коэффициентам C w , a amnJ — определённые постоянные величины, выражающиеся через размеры пластинки в плане, через механические характеристики материала и через внешние силы. Разыскивая минимум величин Р из уравнений:

# - = 0 ( * = 2 , 3 , . . . )

и^т

Если разыскивать минимум гибкости i согласно выражению (5.105), то можно получить дифференциальное уравнение устойчивости плфстинок. Для этого перепишем его на основании (5.100) и (5.103) следующим образом:

РЕ j j	W'dxdy
г —	Т'	(5.107)
	Т'

и вариацию /2 приравняем нулю:

b W 'd xd y — 8Л'* J J W 'd xd y ) = 0 ,

или, согласно (5.107):

РЕ f f b W 'd x d y - РЬА' = 0.

(5.108)

Но согласно (5.100) и (5.101) имеем:

bW = ^ b W = - * ~ [(Ш х) ЬН + (8Л*а) 8ха + 2 {ЬН) 8х3] ;

при этом знак вариации, о которой идёт речь, относится к кривиз нам, у моментов же символ 8 связан с принятыми выше обозначе ниями моментов, вследствие чего для определённости величины мо ментов ЬМ19 8Л1а, 8Н и взяты в скобки.

Знаки варьирования и дифференцирования по координатам можно переместить:

а	<4d2w д* *
8*> =	° -d JP = d Jp SW>

после чего уравнение (5.108) перепишется в следующем развёрнутом виде:

f	f[ W ^ s 8«' + (8/Wa) ^ 8 « ; + 2 ( 8 / 0 ^ 8 v ] d x d y +

+ X v ( ^ £ b w + T % W bw) ] dxdy = 0 - (5109)

Интегрируя эти выражения по частям и принимая во внимание уравнения равновесия сил, действующих в серединной плоскости (5.33), получим:

+ / { (М „ ) 8 ® ,-Ь (8Жу2) bwv — 1(ЪЫХ) / + (8Д7а) т +

+ Ач< ^Xywx -\-Y ywy)\ 8w} ds = 0,

где /, т — направляющие косинусы нормали к контуру, по которому распространён второй интеграл и

(5Жу1) =	( Ш 1)/+ ( 8 Я ) /и ,	( 8 ^	) = - ^	+	^	,
(8Ж,а) =	( 8 /0 /+ ( 8 Ж а) т ,	( 8 ^ )	= ^	+	- ~	s .

Контурный интеграл обращается в нуль на основании граничных


условий,			и потому двойной интеграл, распространённый, как				и во
всех	предыдущих случаях, по всей площади пластинки, равен						нулю.
Но	при		произвольной вариации 8x0 такое равенство возможно				лишь
в том случае, если подинтегральное						выражение равно нулю,	т. е.
если	имеет место			уравнение (5.32). Таким образом эквивалентность
условия			минимума	выражения (5.105)		и дифференциального уравне
ния	устойчивости (5.32) доказана.
Если напряжённое состояние пластинки перед потерей устойчи
вости		не	является	однородным, то	величины го, ф, k и напряжения
зависят		от координат х, у и потому			жёсткости D ^n являются		пере

менными. Подстановка выражений моментов (5.99) в уравнение (5.32) приводит к линейному дифференциальному уравнению четвёртого порядка с переменными коэффициентами почти общего вида, поскольку в него входят все возможные производные по двум переменным от второго до четвёртого порядка включительно.

Рассмотрим наиболее простой и интересный случай, когда напря жения ХХУ Yy, Х у всюду постоянны. Согласно (5.32) и (5.99) полу чаем следующее дифференциальное уравнение с постоянными коэф фициентами :

	3	1__ ф—£	, 0 Г1		3	1	<j> k	/ у	у \| 9	8*10
о -	4	1 — ф	Хх) д х * 1 2 [ 1		I	T	T			J д Ж д р
		3 1—ф—		3 1 — Ф — k -y (-у-					d*w	0*10
			k ТгЛд^т	3 1 — Ф — k -y (-у-					d*w	0*10
+(■ -		т - —	г Y« ) w	2	1—4-		V \	x d x * d y ' Y V д х dys,h

Так как рассматриваемое напряжённое состояние пластинки перед потерей устойчивости является однородным, главные оси напряжений всюду имеют одинаковые направления, и потому образуют декартову систему координат. Если в качестве осей х , у взять именно глав ные оси, то уравнение (5. 110) упростится, поскольку касательное напряжение Ху в этих осях равно нулю; члены, содержащие нечётные степени дифференциалов координат, исчезают, и уравнение устойчи вости становится вполне аналогичным известному уравнению Брайана.

Множитель, стоящий перед последним трёхчленом уравнения (5.110) на основании (5.104) можно выразить через гибкость /:

h<Ji	(5.111)

и принять за параметр, критическое значение которого определяется при решении задачи устойчивости пластинок. Рассмотрим несколько частных примеров.

1. Устойчивость сжатой полосы. Полоса, длина которой I зна чительно больше ширины b, сжата в направлении оси х напряже нием— Хх ; два других напряжения равны нулю, и потому

а< = — Х х; Х х = - 1 , X y = Yy = 0.

Так как крутящий момент 8Н и поперечный изгибающий ЬМ2 равны

нулю на длинных сторонах полосы, то,						вследствие малости ширины Ьу
они равны	нулю всюду,		и потому из			(5.99)		имеем	( х =	— х2):
			1				з
	*2 = — -2 xi>				bMt = --^kD % v
Из уравнения (5.32)		получаем:
		d*w		.	4(1/ д-w		п
				ЫЕР дх2
Подчиняя	решение этого		уравнения:
	w — A cos		+	5 sin ух,			Т =	у ] / Г ^
граничным	условиям	на	концах		полосы,		находим критическое значе
ние параметра ^ =		Ткр > а отсюда получаем						и критическую гибкость
			* =	Т«р '		]		/	~	(5. 112)

Эта формула соответствует результату Кармана и отличается от него лишь постольку, поскольку вместо жёсткости балки здесь входит цилиндрическая жёсткость пластинки. Для полосы со свободно опёр

тыми краями, как известно, критическое значение т равно у , и фор

мула (5.112) даёт:

‘• = ^ - = ” У г - V -

<»•»»)

2. Цилиндрическая форма потери устойчивости прямоугольной пластинки. Если размер b прямоугольной пластинки длины / (рис. 93) соизмерим или больше I, и она сжата в направлении оси х напря жением— Хх, постоянным в направлении оси у , то основная форма потери устойчивости будет цилиндрической, и потому w = w(x). Полагая в (5.110):

Х а =

- ° с

Х а , —

—

1 ,О,

X v =

Y y =

получим дифференциальное уравнение:

At*	•*__— l	/	а<
At*	Ас* ~ и> ‘ ~ /	Г	£ (1 — ф + 3 /r) '

Подчиняя решение этого уравнения граничным условиям, находим f Kp, мосле чего определяем критическую гибкость:

(5.114) Для пластинки со свободно опёртыми концами, как и в предыдущем

случае,	== тг//э и потому	критическая		гибкость будет:
	*■= 2	V	я{	(5.115)

3. Устойчивость равномерно сжатых пластинок произвольной формы в плане (рис. 92). Полагая в (5.110):

у		Хх = У у = - о {,			Ху = 0,
у		x m= Y y = -
[ b 'xf °		x m= Y y = -			1.
[ b 'xf °		получим:
н Lt	-Хг*ЛI	V*w -J“		=	О,
		V*w -J“		=	О,
в		_ 11	/	^	“~
в		I	V	£(1 — ф+ЗА:) •

Рис. 94. Это дифференциальное уравнение совпадает с дифференциальным уравнением упругой устойчивости равномерно сжатых пластин, отли

чаясь лишь выражением 7. Поскольку кинематические граничные условия, а также все основные статические условия для упругих и пластических деформаций пластинки одинаковы, то и характеристи ческие числа 7кр одинаковы и потому непосредственно получаем выражение критической гибкости*.

( 5 . и е )

Например, для круглой пластинки радиуса /, защемленной по контуру,

известное упругое решение дает	=		— « поэтому:
1 . 9 1 5 8 £ ( 1		- 4	+ 3*) .	(5.117)

4. Свободно опёртая прямоугольная пластинка, сжатая в одном направлении (рис. 94). В этом случае имеем:

Уу= Х у = О, Хх = — Ха = — 1,


и потому уравнение (5.110)			преобразуется			к	виду:
1— ф-4-3k d*w		,	0	дЧю \|	d*w	. <цр d2w			(5.118)
4	дх* +		^	дхду ^	ду*	'	ЕР дх* ~	и

Сравнивая это уравнение		с	применяемым обычно уравнением (5.91)»

обнаруживаем разницу в первых двух слагаемых» причём она является

яринципиальной, поскольку	при £ = 0	в (5.91) они исчезают»
а в (5.118) остаются, что	означает, что	при напряжении, равном

пределу текучести, жёсткость пластинок не обращается в нуль и нотому существует отличная от нуля критическая гибкость. Для разнообразия критическую гибкость найдём по методу Тимошенко. В соответствии с граничным условием положим:

			.		пу		,	mnx
	w = c sin				- го-		sin	а			(5.119)
и, подставляя в уравнение		(5.105) значения:
/я я \2	» пу	.	тпх			,	xa = - c		/ г с \ а	пу	, тпх
( — )	s i n f	sin —				,	xa = - c		( T j	S i n f	sin — ,
ттР	ny	mnx		,		w m=		mn	ny	mnx
c°sT cos—				,		w m=		c —	sin -±- cos------

после сокращения с и вычисления простых квадратур, найдём:

<5 1 2 0 >

Рассмотрим сначала бесконечно длинную пластинку (а = оо); так как число волн в направлении оси х будет бесконечно велико, а длина полуволны конечна, обозначим её через а':

« ' = ( - )	,
W	e=00а о о
т	— о о

и в качестве характерного размера возьмём 1— Ь. Переходя в (5.120) к пределу (а -+ со, m —> оо), получим:

Это выражение имеет минимум при

(5.121)

причём критическая гибкость бесконечно длинной пластинки равна:

'. = « ]

(5.122)

Если размеры а и b соизмеримы, то наименьшее				значение /, со
гласно (5.120),	получается	при	числе полуволн т , определяемом
неравенством
	« + 1 > % > т ,			(5.123)
где а' имеет значение (5.121). В частности, для				квадратной пла
стинки, полагая	а = &= /,	имеем	т = 1, поэтому
		\| - [ 1 3 ( 1 - ф ) + ЗЛ1.		(5-124)

Устойчивость опёртой пластинки, сжатой в двух направлениях, можно получить аналогичным образом, полагая

«, = Cs i n - ^ . Sin — .
о	а

Заметим, что указанные решения не изменятся, если вместо метода Тимошенко воспользоваться для их определения дифференциальным уравнением (5.110), поскольку в пределах исходного предположе ния (5.92) они являются точными.

§38. Устойчивость цилиндрической оболочки.

1.Цилиндрическая форма потери устойчивости цилиндрической оболочки, сжатой внешним давлением р и осевой силой Q (рис. 95).

Выберем оси координат х, у , как показано на рис. 95. Ввиду того, что внешние силы постоянны по оси х и оболочка является круго вой цилиндрической, напряжения в ней всюду постоянны и равны:

(5.125)

Задача об устойчивости такой оболочки может

быть

точно решена:

прогиб

w является

функцией

только

угла 6, и

потому I4*•

= х

_ о

)

—

(d%w

а ) .

(5.126)

*а—

Кроме

того,

из уравнения

равновесия

вариаций

сил,

действующих

на элемент

вдоль

оси

х у

и условия

неизменности

напряжённого

состояния по

оси х

следует:

8Г1 =

85 =

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3932 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.63 Mб20Плазменная обработка материалов..pdf
#
15.11.20227.31 Mб32Планирование эксперимента в химической технологии..pdf
#
15.11.20224.36 Mб16Планирование эксперимента и измерение физических величин..pdf
#
15.11.20229.83 Mб15Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн..pdf
#
15.11.202211.27 Mб38Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий..pdf
#
15.11.202216.62 Mб28Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации.pdf
#
15.11.20221.16 Mб17Пластмассы и их свойства..pdf
#
15.11.202210.12 Mб35Поведение конструкций из композитных материалов..pdf
#
15.11.20222.28 Mб14Поверочный расчёт тормоза шахтной подъёмной машины..pdf
#
15.11.2022593.94 Кб15Поверочный расчет трубопровода на прочность..pdf
#
15.11.20225.62 Mб14Поверхностно-активные вещества в золь-гель технологии..pdf