Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfИсключая k из (4.251) и (4.258), получаем уравнение, опреде ляющее Tf:
Т |
1 |
|
( н - 1° 7 )J / ( p ) rfp = |
1fJ |/(Р )< *Р » |
4.259( ) |
от
после чего находим параметр k, определяющий несущую способность
— ^ -----. |
(4.260) |
4 (f{p)dp
о
В качестве примера рассмотрим случай постоянной нагрузки, рас
пределенной |
по |
всей |
площади |
[пластинки |
(рис. |
77, |
б). |
Вычисляя |
|||||
интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
£ . |
|
1 |
|
|
|
|
T9), |
|
|
|
J/(p)<*p = |
|
J “ A P)^ P = J ( 1^ |
|
|
||||||||
|
о |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
из (4.259) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 |
- |
f |
+ Ш ^ - |
= |
0, |
|
|
|
|
|
откуда находим |
Y = |
0,731, |
т: |
е. |
зона |
пластинки, |
примыкающая |
||||||
к центру, в |
которой |
изгибающий момент М2 = Мв постоянен, зани- |
|||||||||||
мает почти |
з |
|
|
Из |
(4.260) |
определяем несущую |
способ |
||||||
-у диаметра. |
|||||||||||||
ность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* = |
^ - = 2 , 8 3 . |
|
|
|
|
(4.260') |
|||
Она почти в два раза больше, |
чем |
у |
свободно |
опёртой |
по |
контуру |
|||||||
пластинки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные |
выше |
точные |
решения позволяют в большом числе |
||||||||||
случаев подтвердить тот факт, что приближённое определение несу щей способности вариационным методом даёт весьма близкие к истин
ным значения предельных нагрузок, |
особенно |
в тех |
случаях, когда |
в качестве формы изгиба берётся |
прогиб |
w (х, j/), |
определяемый |
упругим решением соответствующей задачи. Определение же несущей способности по приближённому методу сводится всего лишь в вы числению по заданному *а>(х, у) квадратичной формы Рх и вычисле нию двух квадратур, входящих в формулу (4.232). Необходимо отметить, что граничные условия закрепления пластинок имеют весьма существенное влияние на величину предельной нагрузки,
§ 32. Безмоментная симметричная деформация оболочек вращения.
Если распределённая нагрузка, действующая на тонкую оболочку, изменяется '.достаточно плавно по её поверхности, то, исключая границу, вблизи которой возможен краевой эффект, напряжённое её состояние можно считать беэмоментным. Нагрузка, вообще говоря, произвольная, не должна, однако, вызывать геометрических изгиба ний, т. е. деформаций, не сопровождающихся удлинениями элементов
серединной поверхности. Например, любая плавно |
изменяющаяся по |
|||||||||||
образующей и постоянная по круговым сечениям |
нагрузка, |
прило |
||||||||||
женная к оболочкам вращения, допустима |
при |
безмоментном |
напря |
|||||||||
жённом |
их |
состоянии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы рассмотрим некоторые частные вопросы безмоментной теории |
||||||||||||
осесимметричных оболочек, имеющие практический |
интерес: во-пер |
|||||||||||
|
|
|
|
вых, |
задачу* |
об |
определении |
об |
||||
|
|
|
|
щих |
и |
остаточных |
деформаций |
|||||
|
|
|
|
оболочки при произвольной |
на |
|||||||
|
|
|
|
грузке и об определении несущей |
||||||||
|
|
|
|
способности оболочки; во-вторых, |
||||||||
|
|
|
|
вопрос о том, насколько увели |
||||||||
|
|
|
|
чивается прочность |
оболочки, |
ес |
||||||
|
|
|
|
ли ей |
дать определённую |
конеч |
||||||
|
|
|
|
ную деформацию; наконец, в-тре |
||||||||
|
|
|
|
тьих, |
задачу |
об |
опрессовывании |
|||||
|
|
|
|
оболочки с помощью осесиммет |
||||||||
|
|
|
|
ричной |
матрицы. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 78. |
по заданным нагрузкам', несущая |
|||||||||
|
|
способность. На |
рис. |
78 изобра |
||||||||
|
|
|
|
жено сечение куска симметричной |
||||||||
оболочки |
и |
обозначены 0 0 — ось симметрии, |
R u |
Rt — главные |
||||||||
радиусы |
кривизны |
серединной поверхности, |
г — радиус |
|
поперечного |
|||||||
кругового сечения, |
Л— толщина |
оболочки |
и 0 — угол |
между нор |
||||||||
малью к |
поверхности и осью 0 0 . |
Внешние силы |
представим в виде |
|||||||||
двух величин: внутреннего давления р и результирующей силы Р, растягивающей оболочку в направлении оси 0 0 ; последняя является проекцией на ось внешних сил, действующих на часть оболочки, расположенную справа или слева от рассматриваемого сечения. Ввиду того, что напряжённое состояние оболочки является безмоментным, меридиональная растягивающая сила Т1 и тангенциальная Га связаны с соответствующими напряжениями о1гоя простыми формулами:
Tt = a1h, |
Т2**»Oj/г. |
Известные уравнения равновесия |
сосудов имеют вид: |
и потому напряжения яи аа определяются формулами:
° i = P T Si'
(4.262)
о PR*
2^7**
Интенсивность напряжений определяется формулой
= |
!?15 а + ^ - |
(4.263) |
Таким образом, в случае малых деформаций оболочки одних лишь уравнений статики достаточно для того, чтобы полностью определить напряжённое состояние. Если материал оболочки не обладает упроч нением, то из условия Мизеса
находим предельную |
нагрузку |
данного |
характера распределения, |
||||
т. е. несущую |
способность оболочки: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(4.264) |
Если |
действующая в некотором |
сечении |
нагрузка |
меньше |
предель |
||
ной, |
т. е. левая |
часть |
равенства |
(4.264) |
меньше |
правой, |
то дефор |
мация оболочки в этом сечении является упругой; в противном слу
чае |
равновесие сил невозможно. |
|
|
Для оболочек, материал которых обладает упрочнением и харак |
|||
теризуется диаграммой о*= ф (е Д |
или |
||
|
ai = Е е {(1 — со), |
Eet == at (1 - f <р), |
|
так |
что по диаграмме |
з*— ei определена функция ср (а4), — по задан |
|
ным |
силам /?, Р или |
напряжениям |
о1э а2 легко найти меридиональ |
ную и тангенциальную деформации |
серединной поверхности: |
||
е1= |
(0l —т °з) е2 = 7 т( а2 —у 3i)> |
(4.265') |
|
или согласно (4.262): |
|
|
|
|
s , = |
(1 4-Ч>)дг |
|
|
|
Eh |
(4.265) |
|
6а — |
(1 -f- у)/>Г |
|
|
|
||
|
Eh |
|
|
писать следующие формулы, выражающие деформации через пере мещения :
w I |
da |
w sin б + |
и cos 0 |
(4.266) |
|
ei ~ Ях "г |
Kidb ’ еа |
г |
: |
||
|
Перемещение и будем считать равным нулю в сечении, где 6 = -g-,
т. е. где образующая оболочки параллельна её оси. В таком случае, интегрируя дифференциальное уравнение для перемещения и, кото рое получается из (4.266) путём исключения та, находим:
К
2
|
|
w = s2/?a — и ctg 0. |
|
|
||
Внося |
сюда значения |
в15 еа> получаем |
окончательные |
выражения |
||
перемещений: |
|
|
|
|
|
|
“ = Т |
Г |
(*■ + 1 |
* • ) - |
S, ( * . ¥ |
£*,)]< « , |
(4.267) |
|
JC |
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
Р ’Ге н Г9) (S^ — -Z Sl) R*~~ “ Ctg6' |
|
|
||||
Здесь |
функция ср предполагается |
выраженной |
через о*, |
которое, |
||
в свою очередь, определяется через известные величины по формуле
(4.263). Поскольку упругие перемещения |
(в |
случае, |
если о<<о*) |
получаются по формулам (4.267), в которых |
нужно положить ср = 0, |
||
то ясно, что остаточные перемещения и, |
|
которые |
сохраняются |
после снятия нагрузки, получаются также |
из |
формул |
(4.267)'' если |
в них вместо 1 -(-<р сохранить лишь величину ср.
Для оболочек, |
материал которых обладает линейным упрочнением, |
||
функция cpfo) имеет следующее выражение: |
|||
|
? = 0, |
о* < |
ов# |
|
|
|
(4.268) |
Здесь обычный параметр А = |
1 — |
Если воспользоваться этим |
|
выражением 9 и, |
заменяя в нём |
а4 его выражением (4.263), подста |
|
вить в (4,267), можно получить явные выражения общих и остаточ ных деформаций оболочек. Однако интеграл, входящий в (4.267), может быть вычислен лишь после того, как будут заданы конкретно форма и размеры оболочки, а также нагрузка.
2. Нагартовка оболочек. Нагартовкой называется процесс упроч нения оболочки путём сообщения ей предварительной пластической деформации сравнительно большой величины. Если материал обо лочки обладает значительным упрочнением, так что, например, истин ное сопротивление при разрыве образца в два раза больше предела текучести, то путём нагартовки можно значительно увеличить проч
ность |
оболочки. Среди |
вопросов, которые |
в связи с |
этим |
могут |
|
быть |
решены методами |
теории пластичности, |
находятся |
такие, |
как |
|
вопрос о том, какова должна быть исходная форма оболочки |
и |
как |
||||
нужно |
прикладывать деформирующие заготовку силы, чтобы |
полу |
||||
чить в результате оболочку данной формы. Мы ограничимся про стейшими примерами нагартовки сферической и цилиндрической обо
лочек, |
толщина которых |
в исходном |
состоянии |
постоянна, а также |
задачей о прочности круглой пластинки с большим прогибом. |
||||
В |
случае сферической |
оболочки, |
начальный |
радиус которой /?0 |
и толщина стенки А0, а конечные размеры соответственно R и А, |
||||
имеем: |
|
|
|
|
|
ai = аа = °< = |
PR |
|
|
|
2^ » |
|
||
причём р — конечное значение внутреннего давления. Деформации et, еа
одинаковы и определяются |
формулой: |
|
|
|
||
•■ = |
*’ = |
^ Г " |
= |
! - ' • > |
= % • |
<4'269> |
где через р обозначено отношение конечного радиуса R к началь |
||||||
ному /?0. Из формул |
(4.265') имеем: |
|
|
|
||
p _ l = |
i ± i ( . 1— |
= |
|
(4.270) |
||
Из условия неизменяемости |
массы |
оболочки |
имеем: |
|
||
|
4TC/?3A = |
4IC/?OAO, |
|
(4.271) |
||
и потому выражение интенсивности напряжений (4.269) можем пре образовать к виду:
(4.272)
Поскольку характеристика упрочнения материала <р(а<) известна, то уравнение (4.270) определяет давление р, которое способна выдер жать сильно деформированная сферическая оболочка. Воспользуемся законом линейного упрощения (4.268) и определим это давление:
l+wt(p — 1)
Р 8
где — давление, при котором начинается текучесть заготовки, и
т — параметр, зависящий от удлинения |
es = |
и от А: |
|
2Л0 |
т • |
2(1 — X) |
(4.273') |
|
\ея |
||
|
|
|
|
Определяя максимум р по р, находим, что соответствующее значение
деформации |
рт = ^ |
будет: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
__ 3 т— 1 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
рт ~ |
2 |
т |
|
|
|
|
|
|
|
||
а максимальное |
сопротивление упрочнённой оболочки равно |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Рт — Р» 27 (т |
— 1)2 • |
|
|
|
|
|
(4.273') |
||||
Дальнейшая |
нагартовка |
нецелесообразна |
потому, |
что |
она |
сопровож |
||||||||||
дается |
утоньшением |
стенки, |
которое ослабляет |
оболочку |
сильнее, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чем |
она |
упрочняется за |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
счёт |
|
наклёпа |
материала. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, |
что |
максималь |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ная |
прочность, |
даваемая |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулой |
(4.273"), |
для |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
металлических |
|
оболочек |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не всегда |
достижима, так |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как деформация |
р?п может |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оказаться |
большей |
той, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
которой |
происходит |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разрыв. |
|
Но |
|
формула |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.273) |
показывает, |
что |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нагартовка, даже и незна |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чительная, весьма эффек |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тивно |
повышает |
проч |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ность. Например, для ста |
|||||||
ли, имеющей |
А = |
0,98, |
гв = 2 ,1 0 -8, имеем /я = |
20; |
раздутие сфери |
|||||||||||
ческой |
оболочки |
всего |
лишь |
на |
5% (р = |
1,05) |
даёт |
р = |
1,7 |
т. е. |
||||||
повышает её |
предел |
упругости |
н^а 70% . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В случае цилиндрической оболочки, которая деформируется равно
мерным внутренним давлением, так что |
Y °2» соответствующие |
||
формулы имеют вид: |
|
|
|
„ |
_ |
т ■ 2 0 - X ) |
[ |
Pl |
#в/ з ’ |
le„ V s |
’ ) |
причём наивыгоднейшая нагартовка определяется формулами:
0 т — 1 |
% |
(4.274') |
|
— z т ’ |
Рт^ крЧ (т — \) ’ |
||
|
Рассмотрим теперь задачу о деформации круглой пластинки радиуса а под действием постоянного давления р в случае, когда прогиб её является значительным. На рис. 79 показана изогнутая пластинка и её размеры в деформированном состоянии, г0 — начальное расстояние какой-нибудь точки М от оси, г = г0+ я — её расстояние после деформации и w — прогиб; Ru /?2— главные радиусы кривизны поверхности после деформации. Приближённое решение задачи можно получить для как угодно больших прогибов, если сделать очень веро ятное предположение, что изогнутая поверхность будет частью сферы. Однако мы рассмотрим задачу в обычных для теории упругости пред положениях, которые делаются при изучении больших прогибов мем бран: выражения деформаций возьмём не абсолютно строгие, но при ближённые с сохранением квадратичных членов:
|
|
d u ■ I |
f d w \ * |
®i |
|
d r 0 ~r 2 |
\ dr0 ) ’ |
_ |
г — г 0 _ |
и |
(4.275) |
2 |
го |
г0 * |
|
Напряжения Oj и o9 можно определить по формулам (4.262), если заметить, что осевая сила в сечении радиуса г будет:
р= 1СГ*РРЙ 1ГГ®/7,
адля упрощения выкладок ввести обозначения:
(4.276)
При этом получим:
так как |
°i — РашР» |
°а= |
Р°в |
(*р), |
(4.277) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
— |
r ^ daln<> — d |
Г * ) ~ |
1 |
а |
( х \ |
|
Ri |
dr0 |
dr0 |
drоV p / |
a |
dx |
v p ) ' |
|
Наклон касательной к меридиану поверхности в точке г определяется формулой:
|
го _ |
* |
(4.278) |
|
dr0~ |
R i ~ |
р |
||
|
и потому согласно (4.275) можно написать следующее уравнение совместности деформаций:
или, согласно (4.276) и (4.278):
|
|
* ( Ч— |
|
|
«- 279) |
|
Если деформации в1( |
е9 выразить через |
напряжения |
о9 (4.277) |
|||
по |
законам |
пластичности: |
|
|
|
|
|
|
8‘ |
|
еа = § ( ° а - Т ° 0 ’ |
|
|
то |
получатся следующие формулы: |
|
|
|||
|
|
2 « 1 - Я ^ ( р - * £ ) . |
I |
|
||
|
|
2«B = P V * - ( 2 * 4 £ + P ) . J |
(4.280) |
|||
|
|
|
||||
причём: |
|
|
_____________________ |
|
||
|
|
= K |
} f |
Ра + Р |
|
(4.281) |
Как |
только |
характеристика |
материала о4 = |
Ф (et) задаётся конкретно, |
||
уравнение ,(4.279), нелинейное 2-го порядка относительно р(х), может быть проинтегрировано. Так как нас интересуют большие прогибы, и потому вся пластинка находится в пластическом состоянии, для
многих |
металлов зависимость |
а4а ф ( « 4) |
можно взять |
в виде степен |
|||
ной функции (2.53), которую |
мы запишем так: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(4 -282) |
где я — целое |
число |
и. о '—1постоянная, |
при л = 0 |
равная модулю |
|||
Юнга Е, а при я > 0 |
определяемая путём обработки диаграммы рас |
||||||
тяжения |
образца. Обозначим: |
|
|
|
|||
|
|
я* |
гп+ i |
|
|
|
|
/W ian+,_ JL |
,/Т |
|
|
|
|||
\ о' ) |
а * 2AJ ' |
V |
а * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.283) |
|
♦ = 2« ( н ~ «.) = |
Зх Ц [р> + (X |
|
|
|||
и перепишем уравнение (4.279) в виде:
p9(jfS+'0+euca= (4.284)
Контур пластинки неподвижен, и потому граничное условие имеет вид:
Поскольку в центре |
R v= |
/?2 имеет максимум, |
функция |
р (х) пред |
|||
ставляется чётным рядом по степеням х : |
|
|
|
|
|||
р=»р0— CJJX2— с4х* — . .. = р 0— |
|
(4.286) |
|||||
Внося этот ряд в (4.283), |
получим: |
|
|
|
|
||
9 = [ p o - S i ( l + 4 |
« |
) ^ ] { p § + J i^ |
[ —2р0(« + 1 )« я » + |
||||
2 |
(1 |
2А — 4А2 -f- Amk) C2m-akcsft |
|
||||
k=l |
|
|
|
|
]Г |
(4.283') |
|
ф= —6 ( 2 mcSmx2mj j pi) + 2 |
2p0 (от + 1) сш + |
|
|||||
т — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
"Ь 2 О ~Ь 2А — 4k* -f 4mk) C2m-2fccMtИ " |
|
||||||
|
o o |
/ |
m— |
1 |
\ |
|
|
p2 = po + |
2 |
■*2to( — ЗроСаи, + |
2 |
c2m-8*cak ) |
|
||
|
m«=i |
V |
|
|
/ |
|
|
Внося эти выражения в уравнения (4.284) и приравнивая нулю коэф
фициенты |
при различных степенях х , получим: |
|
||||
|
|
_____ Ро*_____ |
|
__(8л2 -f- 29л -f 8) а*ро |
(4.287) |
|
|
|
8 (л + 2) pg"+8 |
’ |
4 _ 384 (я + 2)3Pj (2n+8>’ ’ |
||
|
|
|
||||
Для |
определения |
постоянной |
р0 имеем и з'(4.285) следующее уравне |
|||
ние |
х = |
1, <р = |
0): |
|
|
|
|
|
, _______ 5а_______ 3 (8л2 + 29л + 8 ) а2 |
|
|||
|
|
8(л + 2)р^+* |
128( я - ^ y p ^ 2" * 8) |
|
||
Ограничиваясь выписанными здесь членами, находим
ГО
ш |
40(л + 2)2 |
f / 7 7 |
24(8я2+ 29 я + 8)_ |
(4.288) |
|
3 (8л2 + 29л+ 8) |
*Г |
100(л + 2) |
|
|
|
Прогиб w найдём из уравнения (4.278), предполагая, что он обра щается в нуль при х = 1:
W |
Spot1 |
i ) (1 _ x e) + ...] , (4.2890 |
|
+ 2р0 ^ Jf4)+ 3 ^ (C* |
причём |
максимальный |
прогиб в |
центре (* = |
0) определяется сле |
||||
дующей формулой: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2п+ 1 |
|
|
|
|
|
|
Wt |
|
<2h<s'J |
|
|
|
|
|
(4 289) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f /- Ч _ 1 |
Гя I |
* |
s / - \ 2n + 3 , |
8л2 + 35Л+ 20 ^2 (2n+ 3)1 |
||||
/ lW |
— 2/ (n) [* + 16(л + |
2 )' M |
+ |
9 • 128 (n + 2)8^n |
_]• |
|||
Для |
примера рассмотрим |
случай |
п — 1 (я = 0 |
соответствует закону |
||||
Гука, при котором получается известный результат Генки, но при коэффициенте Пуассона 0,5); при этом характеристика материала
изображается |
кубической параболой. Из |
(4.288) находим/(/г) = |
1,25 |
|||||||||||||
и из |
(4.289) |
f t (п) = |
0,678, |
а для прогиба |
в |
центре получаем |
фор |
|||||||||
мулу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8/6 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
w0 |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Коэффициенты |
|
ряда |
(4.286) |
имеют в |
з н а ч е н и я с 2 = |
0,127р0, |
||||||||||
= |
0,004 |
р0, |
поэтому он |
быстро |
сходится: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
^ * в |
р = |
р0 (1 — 0,127л2 — 0,004л4—* |
. . . ) . |
|
|
|||||||||
Напишем ещё |
формулу для |
радиуса |
кривизны |
: |
|
|
|
|||||||||
|
E l |
|
|
|
= Ро(1 — 0,381л2 + 0,045л4 — |
|
|
|||||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видим, радиусы кривизны заметно изменяются только при зна |
||||||||||||||||
чениях х, |
близких |
к |
1, т. |
|
е. у |
края пластинки; в остальной части |
||||||||||
они почти постоянны и равны между собой, вследствие чего изо |
||||||||||||||||
гнутая поверхность пластинки мало отличается |
от |
сферы I8, 91. |
|
|||||||||||||
3. |
Обжатие, раздача-и волочение т руб1). На рис. |
80 показаны |
||||||||||||||
четыре различных процесса конечной деформации трубы, имеющей |
||||||||||||||||
первоначальный |
средний радиус |
а и толщину стенки ha. Эти |
про |
|||||||||||||
цессы часто применяются в практике, причём иногда трубы-заготовки |
||||||||||||||||
предварительно |
нагреваются. |
На |
рис. |
80, |
а, |
б показаны |
процессы |
|||||||||
обжатия или раздачи трубы с целью получения утолщённой оживаль- |
||||||||||||||||
ной части заданной формы или утоньшённой горловины. На рис. 80, в |
||||||||||||||||
показан процесс |
волочения трубы, |
иногда применяемого для получе |
||||||||||||||
ния трубок |
с |
капиллярными отверстиями; рис. 80, г показывает об |
||||||||||||||
ратный процесс. Задача расчёта этих процессов сводится к нахожде |
||||||||||||||||
нию |
закона |
распределения |
|
давления |
р |
по |
поверхности |
матрицы, |
||||||||
4) Приводимое здесь решение не содержит приближённой гипотезы, которая была принята в нашей работе 1940 г. (1°) и в аналогичной работе Надаи 1942 г., о которой он сообщил в 1945 г. на сессии АН СССР.