Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

определению необходимых усилий прессования или волочения, а также толщины стенки и удлинений изделия в различных сечениях.

Во всех случаях давление р оболочки на матрицу будем считать положительным. Напряжения ох (по образующей), о2 (тангенциаль­ ные) определяются формулами (4.262):

диаметр её уменьшается (6 < а); таким образом для всех случаев

причем qa считается положительным, если оно сжимающее, qb— поло­ жительным, если оно растягивающее (^„ = 0 в случаях в, г; <7Ь=»0 в случаях а, б).

Для простоты решения задачи конечное соотношение

2------ , 2 2 °1 ----°1°2 “Г 02 = Од,

изображаемое эллипсом Мизеса, заменим условием пластичности СенВенана, изображаемым шестиугольником. Тогда для случаев (а, г), когда О], о„ одного знака, имеем всюду:

для случаев же (б, в), когда alt о2 различны по знаку, имеем:

оа — Oj = ± о , 8 .

Эти условия можно записать в виде одной общей формулы:

о2 — ( 2 — E2) a l = E J,

(4.292)

°а

где постоянные величины £?,, Ве имеют следующие значения в раз­ личных случаях, которые указываются в скобках:

а

уравнение найдем из условия неизменяемости объема материала н из связи напряжений с деформациями. Для этого по (4.2650 найдем относительное удлинение элемента трубы в направлении меридиана:

Учитывая, что тангенциальное относительное удлинение еа равно:

Относительное удлинение элемента оболочки в направлении её нор­ мали представляет относительное изменение толщины /%:

Условие несжимаемости объема материала трубы при конечных де­ формациях имеет вид:

П + » i ) ( l

или, согласно (4.299), (4.300), (4.301):

<4 - 3 0 2 >

Это н есть недостающее для определения неизвестных функций ура­ внение. Дифференцируя второе уравнение системы (4.298) по г, имеем:

Ei 4/поЛ

причём относительное удлинение et следует взять по формуле (4.300), а элемент длины дуги:

dr

ds = Ех

Рассмотрим частный случай, когда матрица является конической, так что угол наклона её постоянен (6). В таком случае имеем:

я , = оо, Ф= 0,

9 = ~ = sin 8 = const. > 0 .

Основные уравнения (4.304) и (4.307) принимают вид:

Х& — 2Е^и1 + 2Е1

Дадим решение следующей задачи: найти максимальную степень обжатия или расширения трубы, т. е. величину

Эта задача, безусловно, имеет решение, поскольку, если степень деформации задать слишком большую, то в случаях (в) и (г) потре­ буется настолько большая сила натяжения правого конца трубы, что произойдёт разрыв; а в случаях (а) и (б) надавливающая на левый конец сила достигнет такого значения, что выступающий конец трубы начнёт течь. Математически величина (Зтах находится из того условия, что напряжение ох на том конце трубы, где прилагается внешняя сила, достигает максимального значения ± о в8, а именно:

Числовое интегрирование произведём для случая (а) — обжатия трубы. Согласно (4.293) имеем Ег= — 1, £ 2 = 2, и начальное усло­ вие (4,310) имеет вид:

г = 1, 01 = — 1.

же, как и удельное давление. Вычисляя интеграл от функции Е(г), находим вытяжку:

а

I — 10 = 0,109

Она весьма мала. Величина, помещённая в последней строке таблицы,

Дадим теперь полное решение задачи о волочении трубы черев конечную матрицу (случай в, рис. 80). В этом случае имеем Е1 — — 1, £ j = -M » и потому уравнения (4.309) принимают вид:

На рис. 82 даны графики

§ 33. Симметричная деформация цилиндрической оболочки.

Цилиндрическая оболочка радиуса а находится под действием осесимметричного внешнего давления р9 причём осевая сила отсут­ ствует. На рис. 83 показан элемент оболочки и силы, действующие на него. Ось х направлена по образующей серединной поверхности, ось у — по окружности и z — по радиусу внутрь цилиндра. Деформа­ ция оболочки в данном случае характеризуется радиальным перемеще­ нием w , которое считается положительным, если оно направлено внутрь (в сторону положительного направления оси г), и осевой деформацией элемента серединной поверхности е1# Деформации эле­ мента, расположенного на расстоянии г от серединной поверхности, будут: