Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

16.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3931 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

причём, как и в уравнениях (5.35), (5.40), оператор, стоящий в круглых скобках правой части, относится к множителю, стоящему

справа от	него.
Условие совместности деформаций (5.34) на основании						(5.29)
принимает	вид:
	V i F —	“2 ( a j / 5 “Ь дх *	— 3 д х д у Х		у )	(5.44)
где функция напряжений F определена согласно формулам						(5.38).
Величина	С, равная отношению		толщины	Лпл	пластического слоя
к толщине	пластинки, входит в уравнения			(5.43) и (5.44), поэтому
они оказываются		совместными;	эта величина		выражается	форму

лой (5.27), причём функция <р, если воспользоваться обозначением (5.39), равна:

Ч— Ъ Г -	( 5-45)
Уравнения (5.43), (5.44) совпадают с соответствующими	уравне

ниями (5.35) и (5.40) на границе чисто пластической и упруго-пла

стической областей.	В самом деле, на	этой границе,	кроме	непрерыв
ности величин сил	8 Tv, 8SV, моментов	8M v, ЬНн (где	ЬН\	есть при

ведённый крутящий момент согласно граничным условиям Кирхгофа),

прогиба w и наклона касательной	плоскости, должно	иметь	место
ещё условие
АПЛ = А,	С = 1.		(5.46)
Из (5.27) при этом условии имеем <р = — Хи t = — ^		%fl,	после

чего отмеченное совпадение уравнений нетрудно доказать. Гранич ными условиями для уравнений (5.43), (5.44) на части контура упруго-пластической области, совпадающей с контуром пластинки, являются обычное требование 8Г, = 85, = 0, а также два условия, налагаемые на прогиб w.

Условие (5.46) или

			t =	- V - £ )%h			(5.47)
представляет	собой	уравнение		границы	между чисто		пластической
и упруго-пластической областями.
Возможность возникновения наряду с упруго-пластической также
чисто пластической		области		вытекает	из	того, что	величина С,
согласно (5.27) и		(5.45),	может принимать			значения,	не лежащие
в интервале		Ниже приводятся некоторые примеры точных
решений задач устойчивости пластинок и,					в частности, задачи о сжа
тии свободно	опёртой по		двум	сторонам	пластинки; края пластинки

вблизи свободных опор после потери устойчивости остаются в чирто пластическом состоянии.


Рассмотрим примеры точных решений				задачи устойчивости		пласти
нок. Интегрирование системы			дифференциальных уравнений			(5.43)
и (5.44)	в	упруго-пластической области и (5.35),			(5.40) в пласти
ческой	при	неопределённой	границе	между ними,	определяемой

соотношением (5.46), связано со значительными математическими труд

ностями.	Как было	указано выше,		задача	устойчивости			упрощается,
когда вариация сил,		лежащих	в серединной плоскости,					всюду	равна
нулю. В этом случае относительная толщина						пластического			слоя С
оказывается известной функцией координат, так						как,	согласно		(5.26),
(р = 0 и,	следовательно,
		С = \| ( 1	- / Г	= Т	) .				(5.48)
Если ещё напряжённое состояние пластинки						перед	потерей		устой
чивости является однородным, величина С будет						постоянной, так как
в (5.29)	^ будет	одинаково	для	всей	пластинки. Приближённым

решением задачи устойчивости мы называли такое, при котором

вариации сил 87\, 8Г2, 85 тождественно равны		нулю. При	этом
удовлетворяются уравнения равновесия (5.33)	и	граничные	усло
вия (5.42), но, за исключением частных случаев,	не удовлетворяется

условие совместности (2.34). Исключительная простота такого реше

ния

объясняется

тем,

что

основном

уравнении (5.43)

величина С

известна

выражается формулой

(5.48), вследствие чего

это

урав

нение становится линейным с постоянными или переменными

коэф

фициентами.

развёрнутом

виде

оно

очень напоминает уравнение

упругой устойчивости

анизотропных

пластинок.

Точные решения системы (5.43), (5.44) представляют несомнен

ный

самостоятельный

интерес,

но

для

нас

они существенны ещё

и потому,

что

позволяют

оценить

степень

точности приближённых

решений. Мы укажем некоторый класс точных решений

задачи

устойчивости для равномерно сжатых

пластинок произвольной

формы

и решения для прямоугольных пластинок в тех случаях,

когда

возможна цилиндрическая форма потери устойчивости.

1. Устойчивость равномерно сжатых пластинок произвольной

формы в

плане

(рис.

92).

этом случае

напряжённое состояние

пластинок перед потерей устойчивости является однородным и опре деляется формулами:

X a,= Yy = - o i9 Ху = 0,

(5.49)

где о*— сжимающее напряжение по контуру и одновременно интен сивность напряжений в любой точке пластинки. Приведённые напря жения, согласно (5.10) и (5.1), будут:

(5,50)

Величины х и t согласно (5.36) и (5.39) имеют выражения:

х =	—V2te>,	/ = — l v 2F.	(5.51)
Уравнение (5.44) принимает вид:
	V9(<— ^•С ах) = °.		(552)
Опуская гармоническую	функцию, получаемкласс точных		решений:
	*=	СЧ	(5.53)
вследствие чего величина <р (5.45) выражается через С, и			из (5.27)
находим:
		•	<5 И >

Основное дифференциальное уравнение устойчивости (5.43) теперь

становится линейным с постоянными коэффициентами	и имеет	простой
вид:
[ l — 7 C a ( 3 - 2 C ) ] v <® + ^ V2w =	0.	(5.55)

Его решение хорошо изучено для различных видов контура и раз личных граничных условий, хотя бы в связи с изучением упругой устойчивости равномерно сжатых пластин. Значение С (5.54) мало отличается от приближённого (5.48) и характеризует степень откло нения точных решений от приближённых. В общем случае (5.52) имеем

^ ^ ( х Р + Г Д

(5.56)

г д е 1 \— произвольная гармоническая функция. Для сплошной круглой пластинки, например, Гх — постоянная величина. Согласно (5.45) и (5.27) теперь получаем выражение С через х:

< =

l - l + W ) '

<5'57)

после чего уравнение (5.43), имеющее в данном случае вид:

V2 [ l - | c 2( 3 - 2 C ) ] x + ^ x = 0,

(5.58)

содержит уже одну только искомую функцию х. Учитывая соотно шения (5.51), его можно ещё раз проинтегрировать:

где Г2— новая гармоническая функция для сплошной круглой пла: стинки, представляющая собой также постоянную величину, поскольку в центре прогиб w и Va<o/ должны быть конечны. Учитывая (5.57), уравнение (5.59) может быть разрешено относительно V2®/, после чего задача сводится к интегрированию только одного линейного относительно производных дифференциального уравнения второго порядка (для круглых пластинок):

V2w = Ф (w, Г1э Га).

Функция напряжений F определяется теперь согласно (5.56) и (5.51) дифференциальным уравнением Пуассона:

V * F = — (хСа -f- Г\).

(5.60)

Как видим, задача устойчивости для круглых пластинок сравнительно просто может быть решена до конца. Детали подобного расчёта будут выяснены ниже на примере прямоугольной пластинки, сжатой в одном

направлении.

2. Устойчивость пря
моугольной		пластинки
при условии		плоской де
формации (рис. 93). Та
кой	случай	имеет	место,
если	прямоугольная пла
стинка ширины / сжимает*
ся в	направлении		оси х ,
причём перемещения краёв
её в направлении			оси у
исключены вследствие на
личия ограничивающих стенок, расположенных	в плоскостях у = 0
и у — Ъ. Плоскость х = 0, изображённая на	рис. 93,	будет, оче

видно, плоскостью симметрии деформаций. Форма потери устой чивости предполагается цилиндрической. В таком случае по условию

задачи	имеем	напряжения			перед потерей устойчивости:
	* с = — р,		у	-- у			Ху = о,	=
	* с = — р,			У — 2 Л х *			Ху = о,	=	(5.61)
									(5.61)
		y ii	Y = - - L = , s х ^ - — у S „ = 0.
		y ii		у	Y	з	*	2	v
После	потери	устойчивости:
			ip =		w ( х \		е3 — е3— 0.

Из	уравнений		(5.30) имеем:
				85 =	0,	8Га= - 1 8 Г 1.
Так	как,	согласно		уравнениям		равновесия,	87^ = const, а		87\ = 0
из	условия на		краю	лг = -^ ,	то	мы имеем случай,		когда	87\ =
= 8 fg =		8S =	0. Приближённое			решение,	отмеченное	выше,	в дан

ном случае, следовательно, является точным. Относительная толщина

пластического слоя С	постоянна и	определяется формулой (5.48).
Уравнение устойчивости (5.43) принимает вид:
d*w .	hp	d?w__п	(5.62)
dx*	D [1 —X£a(3 —2C>] d x * ~		(5.62)
dx*	D [1 —X£a(3 —2C>] d x * ~

Если ввести в рассмотрение относительный модуль Кармана, обоб щённое выражение которого есть

_______ 4________dcj	4(1 — X)	(.5.63)
		(.5.63)

	то из (5.48) получим:
	4(1 - У Т )	(5.64)
	(2 - У Т )* ’	(5.64)
	(2 - У Т )* ’

после чего можем упростить выражение параметра в уравнении (5.62):


	з __			hp	__hp		(5.65)
	7	~	D [ l — хс*(3 — 2 С)1		— Dk'

Так как	до предела	упругости		k = 1, а	на	площадке текучести
материала	k — О и так		как характеристические			значения параметра ^

в упругой и пластической задачах одинаковы, то из (5.65) вытекает, что критическое напряжение, соответствующее площадке текучести, равно нулю.

Интересно отметить, что задача Кармана может рассматриваться как предельный случай устойчивости сжатой в одном направлении прямоугольной пластинки, размер Ь которой весьма мал, причём параметр т будет иметь выражение

-2 _ МР_ 7 — 3*0 ’

и, следовательно, на площадке текучести материала критическое напряжение будет равно нулю. Как видно из предыдущего и сле дующих примеров точных решений, полная потеря несущей способ ности пластинок, получающаяся в задаче Кармана, вообще говоря, не имеет места,

3. Устойчивость прямоугольной пластинки, сжатой в одном на правлении (рис. 93). Буден рассматривать цилиндрические формы потери устойчивости прямоугольной пластинки, достаточно длинной в напра

влении оси у,

предполагая,

что сжимающее напряжение

приложено

только вдоль оси х. В этом случае:

Х » = - ° 'и

(5.66)

s x =

- 1,

По условию задачи, всякое поперечное

сечение пластинки

плоскостью

у = const

после

потери устойчивости остаётся плоским, и потому

имеем:

е8 =

е9 =

const,

(5.67)

на

основании

чего из (5.30) получаем

85 = 0.

Кроме того,

из гра

ничного условия

87^ =

0 на

краях

х — —

и,

следовательно, из

уравнения (5.33) следует, что

87\ =

0 повсюду.-Так как

никаких

сил

вдоль

оси у

не приложено,

то

должно

выполняться условие

(5.68)

Из

второго уравнения

системы

(5.44) имеем:

<PF

8 7

(5.69)

так

как

х =

— хг

Нетрудно

убедиться,

что

(5.69) есть

интеграл

уравнения

(5.44).

Функция 9,

помощью

которой согласно

(5.27)

определяется величина С, в данном случае имеет вид:

<Р== — (1— l)EhHt e

— (1 — X) А*! +

4 (1 — X)

( 5,7°)

Изгибающий момент в произвольном сечении равен:

8Л*1 =

— D [ 1 — | - хса(3 — г с )^ !,

(5.71)

и потому

граничные

условия

на сторонах х =

d r

— I суть

xj = 0 .

Из формулы (5.70)

ясно, что

не может равняться нулю в упруго

пластической

области,

так как

е9 ф 0

(последнее

вытекает

из

того,

что

величина

знакопостоянна,

именно — положительна

вдоль

всей пластинки, поэтому условие (3.68) требует е3 ф

0). Таким образом

упруго-пластическая область не доходит до краёв пластинки и закан-

чивается в сечениях х = ± ^ с . Примыкающие к краям области будут

целиком пластические. В самом деле, так как величина №4 положи

тельна,	то		и е2 положительна. Из (5.37) следует, что в чисто пла
стической		и	чисто упругой областях сила	8Га имеет тот же знак,
что и	в2,	т.	е. является растягивающей. Но	если к пластинке, сжа

той за пределом упругости в одном направлении (*), приложить растягивающую силу в другом (у ), то она останется в пластическом

состоянии. Формально			в	этом можно		убедиться путём			вычисления
величины bei согласно (5.12), которая на						концах		равна — в1э но		удли
нение е2, согласно (5.37), отрицательно,							и	потому величина 8е<
будет положительной,			т.	е.	пластическая		деформация		до	потери
устойчивости остаётся пластической и после.
Из	(5.27) и	(5.70)	теперь		имеем:
										(5.72)
Отсюда	находим	нижнюю		границу величины			С (р > 0 ):
										(5.73)

Основное дифференциальное уравнение устойчивости (5.43) прини мает вид:

(5.74)

Вводя обозначения

Q (C ) = 4 — 9ХС»4-6ХС8, &= у - ,	С	(5.75)

уравнение (5.74) представим в виде:

(5.76)

где |i — основной параметр, определяющий критическое напряжение

(5.77)

Интеграл уравнения (5.76) можно получить в. квадратурах. Вводя обозначение:

(5.78)

получаем последовательно

(5.79)

причём штрих наверху означает производную по С.

В чисто пластической области, согласно полученным выше резуль татам и (5.66), имеем для силы 8Г2 и для момента 8Л4Х выражения:

ХГ2__4(1 —X)

(5.80)

Eh 4 —ЗХ ’

Основное дифференциальное уравнение становится таким:

	V-2	=	0.	(5.81)
	" г 4 —ЗХ	=	0.	(5.81)
	" г 4 —ЗХ
Решение	последнего уравнения, удовлетворяющее			условию х1 = 0
на конце	С = 1, запишем в виде:
	*1 — е2сз sin		»	(5-82)
причём, вследствие симметрии прогиба относительно				плоскости л: = 0,

в дальнейшем будем рассматривать лишь правую половину пластинки

(лг>^0). Для определения пяти неопределённых постоянных, а							именно
трёх	произвольных постоянных			интегрирования		сх~ с2, с39 коорди
наты	границы областей а		и критического числа			jx мы можем,	кроме
уравнения (5.68), написать ещё четыре условия:
условие		симметрии:
			? = 0,	\| =	0;		(5.83)
условие		наличия границы	областей:
			Е= а,	С =	1.		(5.84)

Два условия непрерывности: момента и перерезывающей силы, которые

согласно (5.72) и (5.82)		принимают вид:
	- s i n ^ O — « ) _				4	■
	C3SU1y 4= 3 r —			й(4 -З Х )			’
	гпч	Iх (1	а) _	AF (1) ( di \						(5.85)
	У4 —ЗХ	у 4 — ЗХ—		ЙР*		\<п)а

Постоянная	е2 несущественна		и в	указанные				условия		не входит,
поскольку	от неё не зависят		отношения			ьт	и	%	Выполняя		пе-
					—			—
речисленные условия и вводя						Ч		е2
			новую неизвестную CQ— относительную
толщину пластического слоя в сечении					л: =		0,	получим		для вели
чин 1 — а	(относительной длины чисто				пластического				участка)		и ц
следующие формулы:
	Ш		1 — а			(4 — 3l)L				(5.86)
						Ш
	( 1 - Х ) У 7 ’

где	L и М суть			интегралы
		Я (Со)		Y R ( Z о>—ЖО		Я	(Со)
	L	-	Г		М =		f	J	J	" ,	(5.87)
			J				J	/Л(С«)-Л(С)			'
		В(1)				й(1)
причём величина				Со определяется соотношением:
		сtg2 ( о - 4а7 Y2 ^ ) =			2 (4 ~	ЗХИЖ Со) -			Я (1)] •		(5-88)
Как	уже	установлено, величина			1 — а	положительна,				поэтому	инте
грал	L должен быть положителен, а для этого необходимо 1 — 2С04 -
+ ^ 0 > ° >		Т-	е -
				с 0< т (	1 - / 1 - ^ ) -						(5.89)

Учитывая оценку (5.83), справедливую и для CQ, в и д и м , ч то эта величина заключена в узких пределах и близка к приближённому значению (5.48). Отсюда вытекает, что и критическая сила будет мало отличаться от приближённого её значения.

§ 37. Приближённое решение задачи устойчивости пластинок.

Тимошенко 141, Блейх1б1, Геккелер 161 и другие авторы предло жили приближённый приём решения задач об устойчивости пласти нок и оболочек за пределом упругости, основанный на допущениях, которые мы рассмотрим применительно к частной задаче устойчи вости прямоугольной пластинки, сжатой в одном направлении равно мерным давлением интенсивности Р . В пределах упругости эта задача

приводится к

интегрированию

известного

уравнения

Брайана:

" ( £ ?

+ *

j J

£ ) + ' S

(5.90)

Поскольку сжатие происходит в направлении

оси

х , и

поскольку

при

сжатии

стержня

в направлении

оси х прогиб его за

пределами

упругости удовлетворяет

уравнению

Кармана П1:

п ь

d*w

Dk Ч * + Р ~ ш ~ 0’

где

k — отношение

модуля Кармана к

модулю

Юнга,

в уравне

ние (5.90) вносят поправку, умножая первое слагаемое в круглых скобках на k\ поскольку в направлении оси у сила не действует,

т. е. материал пластинки как бы остаётся упругим, слагаемое

оставляют неизменным; смешанную производную умножают на сред нее геометрическое поправочных множителей для крайних слагаемых, т. е. на УЪ • 1. Получающееся в результате уравнение:

D (‘ S + 2 ^ 5 £ § r + $ ) + ' 0 = °

(5 .9 .)

и применяют к решению задач устойчивости за пределом упругости. Произвольность таких рассуждений очевидна, поскольку нельзя гово рить о том, что материал пластинки может в одном направлении (JC) переходить за предел упругости, а в другом (у) оставаться упругим. Кроме того, указанные и аналогичные рассуждения не дают общего метода составления дифференциального уравнения устойчивости в общем случае, когда на пластинку действует сложная система сил и не отражают тот бесспорный факт, доказанный в §§ 37 и 38, что действующие силы существенным образом влияют на величины жёст костей, т. е. на коэффициенты уравнений, связывающих изгибающие моменты с кривизнами.

Приближённое решение задачи устойчивости пластинок можно получить, исходя из результатов предыдущих параграфов, предпо лагая, что вариации сил 87\, 6ГЯ, 85, две однородные линейные комбинации которых согласно (5.42) обращаются в нуль на контуре, тождественно равны нулю всюду:

87\ =	87a = 8S =	0.	(5.92)
Такая гипотеза может быть	принята по	следующим	причинам: во-

первых, как увидим ниже, получающиеся на основании Этой гипотезы значения критических сил хорошо согласуются с точными решениями, которые указаны в § 36; во-вторых, имеющиеся опытные данные дают удовлетворительное подтверждение результатов, получающихся согласно этой гипотезе; в-третьих, она удовлетворяет тождественно главному условию при постановке задачи устойчивости, а именно тому, что вариации внешних сил равны нулю; в-четвёртых, она строго выполняется в том случае, когда деформация пластинки является упругой, т. е. пластинка не имеет второй и третьей зон деформаций. Заметим ещё, что если бы в области пластинки могли существовать только 1-я и 3-я зоны деформаций, то вследствие линейности и однородности соотношений (5.18) и (5.23) и граничных условий (5.42) гипотеза (5.92) также выполнялась бы тождественно.

Согласно гипотезе (5.92) из (5.26) имеем <р = 0, и потому отно сительная толщина пластического слоя в зоне упруго-пластических деформаций пластинки равна:

С«. i - 'p 111, г 0= 1 —2С.

(5.93;

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3931 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.63 Mб20Плазменная обработка материалов..pdf
#
15.11.20227.31 Mб32Планирование эксперимента в химической технологии..pdf
#
15.11.20224.36 Mб16Планирование эксперимента и измерение физических величин..pdf
#
15.11.20229.83 Mб15Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн..pdf
#
15.11.202211.27 Mб38Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий..pdf
#
15.11.202216.62 Mб29Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации.pdf
#
15.11.20221.16 Mб17Пластмассы и их свойства..pdf
#
15.11.202210.12 Mб35Поведение конструкций из композитных материалов..pdf
#
15.11.20222.28 Mб14Поверочный расчёт тормоза шахтной подъёмной машины..pdf
#
15.11.2022593.94 Кб15Поверочный расчет трубопровода на прочность..pdf
#
15.11.20225.62 Mб14Поверхностно-активные вещества в золь-гель технологии..pdf