Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdf§ 34. Несущая способность цилиндрической оболочки.
Если материал оболочки деформируется достаточно сильно и перестаёт упрочняться или не обладает упрочнением, то существует максимальное значение внешних сил, при которых ещё возможно равновесие. Как и прежде, такое значение внешних сил мы называем
несущей способностью оболочки. Сила |
Га и |
момент М х в этом |
слу |
|||
чае удовлетворяют конечному соотношению, |
которое уже найдено |
|||||
m |
Мг |
|
|
|
|
|
т = м8 ' |
|
|
|
|
|
|
ж . = 5- ^ , |
|
|
|
|
|
|
из (4.67) мы имеем: |
|
|
|
|
|
|
/| = 0, |
= |
|
^12= |
0» |
|
|
mi = m, |
m2= |
1 |
|
= |
л |
|
2"/я, |
|
|
|
|||
а потому согласно (4.68): |
= |
|
|
|
v |
|
Qt = *a, |
|
Qim = 0. |
|
|||
в § 26. Поскольку при изгибе цилиндрической оболочки поперечными |
||||||
силами согласно (4.319) Р€Х = 0, |
конечное |
соотношение имеет |
фор |
|||
му (4.74). Пользуясь уже |
введёнными выше |
обозначениями: |
|
|||
|
|
|
|
|
(4.350) |
Таким образом конечное соотношение (4.74) можем записать в виде:
|
V i — |
f*2 |
(4.351') |
|
^ |
, , 1 + y i — |И |
|
|
1 |
||
2 |
1---Ц? |
Ц |
у 1 — (J.2 ’ |
или согласно (4.74") в виде:
(4.351)
Сохраним обозначение (4.325) для безразмерной координаты х, а также (4.333) для безразмерной нагрузки р и обозначим безразмер ную перерезывающую силу в сечении х :
- |
х У 3 |
dm __ 4N |
2а _ |
(4.352) |
|
|
Т/2ah * |
Wv |
hn. У |
ЯЛ " |
|
|
у ш . |
dx |
hae r |
3h |
|
Теперь уравнение равновесия (4.324) можно переписать в виде:
изгибающие моменты
MQ= NiaftlQу
а по'поверхности равномерная нагрузка р. Если М0= 0, то из (4.355) получаем уже известный результат, полученный по безмоментной
теории |
(§ |
31): |
|
|
|
- |
>1 |
|
h |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
р = а„ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
р = |
4, |
|
|
|
|
Заменяя |
в |
формуле |
(4.354) N его значением: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
= |
^ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
и интегрируяэто |
уравнение, |
получим: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
х = ^. |
т |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Г* |
|
|
|
dm |
|
|
(4.356) |
|||
|
|
|
|
|
т» |
|
7 |
F (т, т0) — ~ р (т — т0) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
причём |
предполагается, что т = т0 в сечении |
х = 0 . |
Рассмотрим не |
||||||||||
сколько |
частных |
задач. |
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Бесконечно длинная труба с кольцевым сосредоточенным |
|||||||||||||
давлением (рис. 88); |
р = 0. Перерезывающая |
сила в |
сечении х = 0 |
||||||||||
равна, очевидно, половине кольцевой |
|
|
|
||||||||||
нагрузки Р, |
и |
потому |
из (4.352) |
|
|
|
|||||||
имеем {^N = |
— y j: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
п ___ ^°я |
2 |
* |
- |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
— |
|
|
|
|
|
(4. 357) |
|
|
|
||
Эта |
задача |
для |
оболочки, материал |
|
|
|
|||||||
которой обладает упрочнением, была |
|
|
|
||||||||||
решена по методу упругих решений |
|
|
|
||||||||||
в предыдущем параграфе, причем для |
|
|
|
||||||||||
силы |
Р |
была |
получена |
формула |
(4.344), совпадающая с (4.357), |
||||||||
если |
обозначить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р____ 3JV„
— 8 •
Как видно из графика (рис. 85), при А= 1 и при изменении а от 1 до 3 величина Р имеет среднее значение:
Pop = j ( 0 , 950 4 -1 ,1 0 7 + 1,262) = 1,106.
Заметим, что согласно |
(4.322) М 1 |
обращается в |
нуль вместе |
||
dhs) |
_ |
w. |
_ |
как это видно |
_ л |
с ^ 2, а |
Г2— вместе с |
Поскольку, |
из рис. 88, |
форма изогнутой поверхности оболочки невозможна без точки пере гиба, и сила Г2— отрицательна, на эллипсе (рис. 86) нашей задаче соответствует нижняя половина (ADC). На некотором расстоянии х = I от силы прогиб оболочки обратится в нуль, и перерезывающая сила также будет равна нулю. Таким образом:
х — 1, х = х г, t = О, N = 0
и, следовательно:
х = 1, тх:
|
|
|
У з" |
|
|
Из (4.354) при х = 1 имеем: |
|
|
|
||
VJ2 |
16 п / |
|
тп |
|
|
0 = J F {- |
|
|
|||
у г |
|
||||
Наибольшее значение этой |
величины |
получим при |
|
||
|
Шп = |
2 |
|
||
|
У з ’ |
|
|||
причём площадь полуэллипса: |
|
|
|
||
г./ |
2 |
2 |
\ __ п |
|
|
|
У З |
уТ)~ у з 9 |
|
||
и потому |
|
|
|
|
|
N0 = ' |
4 |
У п |
(4.358) |
||
/ з |
Уз- |
||||
|
|||||
Коэффициент Р при этом |
значении N0 равен: |
|
|||
Р = |
J L £ i _ |
* , 1,167. |
|
||
|
2 ] / з У З |
|
|
Как видим, эта величина отличается от среднего значения, найденного по методу упругих решений, всего на 5% , откуда вытекает достаточная точность третьего приближения в § 33 даже для значения А = 1.
Найдём ещё расстояние, на которое в обе стороны от силы Р распространяется деформация оболочки. Формула (4.356) принимает вид:
т0
dm
Уз Г __ ____________
4 J Y F (ть mo) — F(m, т0)
Для вычисления этого интеграла положим:
|
т : |
|
2 |
cos?, |
t = |
— sin?, |
(4.359) |
|
|
|
|
Уз |
|
|
|
|
|
после чего |
получим: |
_____ |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
— _ |
У 2 |
у Т |
f |
|
sin Тdf |
|
|
|
Xl |
2 |
J У”2<у—sin 2<p = 2,43. |
(4.360) |
||||
Из (4.352) |
находим длину |
/ ( * = |
/, |
х = |
х г): |
|
||
|
|
|
|
У З |
v |
|
(4 .3600 |
|
|
|
|
|
|
|
Эта величина также мало отличается даже от первого приближённого
значения дг, |
при |
котором |
прогиб |
не обращается в нуль |
в решении |
||||||||||
предыдущего параграфа. Как видно из |
|
|
|
||||||||||||
формулы |
(б) |
§ |
33, |
|
упругий |
прогиб |
|
|
|
||||||
w = 0 при х = 2,36. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Размер |
порядка |/а А |
является, как |
|
|
|
||||||||
известно, типичным в теории краевого |
|
|
|
||||||||||||
эффекта оболочек при упругой дефор |
|
|
|
||||||||||||
мации. Он же является типичным и при |
|
|
|
||||||||||||
пластических |
деформациях, |
и |
потому |
|
|
|
|||||||||
характер |
убывания |
краевого |
эффекта |
|
|
|
|||||||||
является |
одинаковым |
в |
|
обоих |
слу |
|
|
|
|||||||
чаях 1121. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. Краевой |
эффект. |
Пусть полу |
Рис. 89. |
|
|
|||||||||
бесконечно |
длинная |
труба |
находится |
|
|
|
|||||||||
под |
действием |
краевого |
момента |
(т0) и |
перерезывающей силы |
||||||||||
M0(N0) (Рис- |
89). При |
выбранном направлении М0 и N0 момент |
т |
||||||||||||
|
|
|
|
|
деформации х = I будет от,1= |
9 |
_ |
|
|||||||
в конце области |
у д »• /,1 = о |
и N.1= |
0 |
||||||||||||
Из |
|
(4.354) имеем |
конечное |
соотношение: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.361) |
|
В |
частности, если действует только перерезывающая сила Nn (тп = |
0) |
|||||||||||||
то |
|
/ 2 |
|
\ |
есть |
четверть |
площади эллипса в первом |
о |
/> |
||||||
F |
|
|
квадранте |
||||||||||||
рис. |
86: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и потому максимальное значение перерезывающей силы будет:
4 У п
(4.362)
у Т у ! '
Такая перерезывающая сила с обратным знаком действует в точке перегиба деформированной поверхности бесконечно длинной трубы, которая была рассмотрена выше. Если воспользоваться преобразова ниями (4.359) и заметить, что значению т = т0 соответствует
?о |
TZ |
т т1= у г£г соответствует 9 !== — тг, то |
J , значению же |
||
|
|
F(m, mo) = ^ F = - ( 1c + 2? — sin 2?) . |
Формула (4.356) даёт следующий размер * г(при х = 1) области дефор маций :
|
|
sin у rfy |
|
|
|
|
У2я + 2 < р sin 2<р |
|
|
= У-2^ -3- |
Г |
sin 9 d 9 |
- = 2,03. |
(4.363) |
2 |
J |
/ 2 * — «In |
2* |
|
|
о |
|
|
|
Если, наоборот, на краю действует только изгибающий момент Л10,
а перерезывающая сила N0= 0, |
то максимальное |
значение момента |
будет: |
|
|
m0= y f > |
М0= ф = М „ |
(4.364) |
причём, поскольку tQ= 0, деформация заканчивается в бесконечно узкой зоне, примыкающей к краю х = 0. Заметим, что и упругое ре шение задачи в этом случае даёт очень узкую зону заметной дефор
мации, |
значительно меньшую, чем величины xh найденные выше. |
3. |
Оболочки конечной длины. Если под действием рассмотренных |
выше нагрузок находятся оболочки, длины которых конечны, но
больше |
соответствующих |
размеров |
х х, |
определённых |
формулами |
(4.260), |
(4.263) и вообще |
(4.356), то |
их |
можно считать |
бесконечно |
длинными, поскольку за предел размера / деформация не распростра
няется. Если же длина оболочки L порядка Y или меньше, то несущая способность её будет меньше, чем у длинной оболочки.
Например, если весьма |
короткая оболочка |
со свободными краями |
||||
в |
центре |
нагружена кольцевым |
давлением Р , |
напряжённое |
состояние |
|
её |
будет |
соответствовать |
малой |
окрестности |
эллипса возле |
точки D |
(рис. 86), если Р — сжимающая сила, или — возле точки В, если Р — растягивающая сила. В этом случае несущую способность найдём
непосредственно |
из |
(4.353), |
если |
проинтегрируем это уравнение по |
х от — Xi до x i |
и |
заметим, |
что |
на концах |
m = N = О, a t всюду приблизительно равно — 1:
Если длина оболочки порядка / найденного выше, то решение раз личных задач даётся формулами (4.354) и (4.356), поскольку крае
вые значения N и т известны.
Как и в задачах о несущей способности пластинок, в задачах о несущей способности цилиндрических оболочек можно применить
вариационный метод |
и написать |
формулу |
для несущей способности |
в виде, аналогичном |
(4.322), и, |
пользуясь |
упругой формой изгиба, |
определить максимальные нагрузки. Однако в этом нет необходимости, ввиду общности и простоты указанного выше точного решения, представленного формулами (4.354) и (4.356).
Г Л А В А V.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК (l- 2
§ 35. Выражения сил и моментов через деформации серединной поверхности при потере устойчивости.
Пусть под действием заданной системы сил оболочка или пластинка
находится в безмоментном состоянии равновесия; оно определяется |
||||||||
методами, |
которые |
уже рассмо |
||||||
трены |
в |
главе IV, |
и потому |
на |
||||
пряжения и деформации в этом |
||||||||
состоянии , мы будем считать |
из |
|||||||
вестными. Таким образом в эле |
||||||||
менте |
оболочки |
(рис. |
90) |
нам |
||||
известны |
напряжения Х х, Х у, |
Yy |
||||||
и |
деформации |
ехх, |
еуу, |
вху. |
||||
Плоскость |
(*, у) |
является каса |
||||||
тельной к серединной поверхности |
||||||||
оболочки |
в рассматриваемой точ |
|||||||
ке |
0; |
оси |
х, у |
направлены |
по |
|||
ортогональным |
криволинейным |
|||||||
координатам |
на |
серединной |
по |
|||||
верхности |
и ось |
z — по |
нормали |
|||||
к |
ней. |
Между |
напряжениями и |
деформациями имеют место соотношения (4.2) § 23, которые мы выпишем снова:
|
|
|
— 2 |
— ei 6хх’ |
|
|
s y — |
Yy |
~2 ^ x = ~el evvy |
(5.1) |
|
с |
- |
у |
— е |
|
|
|
л у-~ зei |
xv' |
|
Интенсивность напряжений
(5.2)
и интенсивность деформаций |
|
|
|
6i==y f Vе1х |
+ еххеуу+ ^ + Т е1у |
(5.3) |
|
|
|||
связаны между собой зависимостью |
(4.4): |
|
|
|
°< = $ |
(«<)• |
|
Поскольку состояние равновесия элемента оболочки является безмоментным, все выписанные величины постоянны по толщине оболочки и являются вполне определёнными функциями криволинейных коорди нат точки по поверхности (а, (3) и заданных внешних сил.
Явление неустойчивости характеризуется тем, |
что при |
некоторых |
||||
значениях |
внешних сил наряду с данным |
(безмоментным) |
состоянием |
|||
равновесия |
оказываются |
возможными |
и |
другие |
состояния равно |
|
весия. |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим бесконечно |
близкое к |
данному деформированное со |
стояние оболочки, Характеризуемое у д л и н е н и я м и 8eaaieyv-\-beyy
и |
сдвигом |
|
+ |
в |
слое |
АВС, |
расположенном на расстоянии z |
||
от |
серединной |
поверхности; |
вариациям деформаций [8*^, 8 ^ , |
Ьеху |
|||||
соответствуют |
вариации |
напряжений |
ЬХа9 8У^, |
ЬХу9 которые можно |
|||||
вычислить на |
основании |
законов пластичности. |
Поскольку в данном |
||||||
случае речь |
идёт о |
действительных |
вариациях |
деформаций, а |
не о |
виртуальных, как в вариационном уравнении равновесия, необходимо различать два возможных случая: случай нагружения и случай раз грузки, поскольку формулы, связывающие напряжённое и деформи рованное состояние, при этом различны.
Область нагружения характеризуется тем, что в ней за счёт ва риаций Ъехх, . . . , &Ха , .. . интенсивности деформаций и напряжений возрастают; в области же разгрузки эти величины убывают. Поверх ность, пересекающая толщу оболочки и разделяющая области нагру жения и разгрузки, определяется, следовательно, из условия равенства нулю вариации интенсивности деформаций или интенсивности напря жений. Ввиду того, что вариация работы внутренних сил в единичном объёме оболочки,* согласно (2.31), равна
°<8ei = ХхЪехх -f- ¥уЪеуу -f- Х уЬ е ^ |
(5.4) |
т. е. пропорциональна Seif то уравнение указанной поверхности будет
Х яЬеях + Yybeyy + ХуЬету = 0. |
(5.5) |
Оно может быть получено непосредственно путём варьирования фор мулы (5.3) и простых преобразований согласно (5.1) и (5.2).
В области нагружения вариации напряжений можно найти путём дифференцирования формул (5.1), так как они имеют место как
в основном, так и в близком состоянии оболочки:
причём о* и ei связаны диаграммой растяжения а* = Ф (е{), так что
(5.7)
В области разгрузки вариации напряжений и деформаций подчи няются закону Гука, и связь между ними находится из (5.6), если положить а{ — Ее4:
bSx = ESexx, ZSy = Eheyy, bXy = jE b e xy. |
(5.8) |
Как и в общеЧ теории оболочек, будем исходить из основной гипотезы Кирхгоффа, а именно предполагать, что вариации дефор мации слоя оболочки АВС (рис. 90) выражаются линейными зависи мостями через вариации деформаций серединной поверхности и через её искривления:
|
— ®i ^*1» |
^уу — е2 |
|
^ху — 2 (е8 |
^х8\ |
(5.9) |
||
причём здесь |
через е1э е2, 2е8 обозначены |
бесконечно малые Еариации |
||||||
деформаций |
серединной |
поверхности, а |
х1э |
ха, х8 = т — бесконечно |
||||
малые вариации её кривизн и кручения. |
|
|
|
|
||||
Для удобства вычислений введём обозначения безразмерных величин: |
||||||||
чертою |
над величиной напряжения |
отметим |
отношение |
этого |
напря |
|||
жения |
к интенсивности |
напряжений |
о<: |
|
|
|
|
Эти величины являются известными; вместо искривлений и ординаты г введём безразмерные величины:
2 *8 |
*8» |
(5.11) |
где h — толщина оболочки. Формулу (5.4) |
теперь |
напишем в виде: |