Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

°< = ®в

или

- 3Xl = «2.

Х а— X e Yy + Y2y 4

(4.5)

U хх =

U u

U y y ~

^2»

U x y = ^12*

Р и =

и \ +

и хи 9 +

и \ +

(4.6)

и*12,

Ul =

axl +

byit

f/a =

ax 8 +

*ya.

(4.8)

Un =

axl3 +

by12,

то

Ри = a*Pw+

2аЬРву +

Ь*Ру,

(4.9)

где Рау--билинейная форма:

^х,у — Х*У1 “Ь 2

“Ь 2

“Ь х*Уу “f* Х1ЯУ12'

(4.10)

Полагая теперь

а = 1,

6 = —

* ! « = * „

лй» =

Л == ^(/>

Л “

^19 ===

У ц = О,

получим:

= ^ * ”

'

" f ^V c= f

(4.11)

Составим ещё дифференциалы

форм Pt , Рв; имеем, очевидно,

dPu ~

дц.

(4.12)

Теперь из (4.7) и

(4.11) легко

видеть, что

2

Р.•.«»

падают с главными направлениями поверхности

в точке (Е, ч\). Элемент

серединной

поверхности оболочки

образуем

линиями

Е = const.,

= const,

и

S + Л = const.,

=

const.,

а

элемент

оболочки

проведением

через

указанные линии нормальных её сечений. На

рис. 51 изображён

элемент оболочки

и

показаны

напряжения,

дей­

ствующие

на

слой

элемента, расположенный на расстоянии г от се­

рединной

поверхности. Как уже говорилось, напряжения ZX9

Zy и Zt

малы сравнительно

с остальными

напряжениями, и потому

напряже­

ния и деформации

элемента связаны

между собой

формулами §

23.

Относительные

удлинения и

сдвиг

элемента

серединной

по­

верхности

в

результате деформации

оболочки

обозначим:

тельных значений

г

вследствие

искривления

укорачивается; кру­

чение т= = х1а

положительно,

если

угол

между

волокнами,

парал­

лельными х

и у и

расположенными

со

стороны положительных г,

увеличивается.

Интенсивность деформаций, согласно (4.7), будет:

ei =

y ^ V ^

(4-18)

или, на основании

(4.8), (4.9),

в

которых нужно

положить

а — 1, b — — z,

х п = еп, у п =

х„,

ei = y = V

p

- ^ P „ + z * P x.

(4.19)

Напряжения

в

слое

О'тп,

согласно (4.2), будут:

=

~2

~ei

«

. - г , —

(4\20)

^ху == Ху =

(ei2

причём а4 есть

определённая функция е{; напряжения Xg9

Yg, Zz малы

сравнительно

с

основными.

Всё упрощение,

вносимое

в

теорию оболочек гипотезами Кирх-

гоффа-Лява,

состоит в том, что

вместо

шести

компонентов

напря­

жений можно ввести пять компонентов усилий и три

компонента

момента, действующих на

элемент

оболочки

в

целом,

причём эти

Если оболочка

достаточно тонка,

так

что

отношением

толщины её

к характерному

радиусу

кривизны

можно

пренебречь

сравнительно

с 1, мы получим следующие пять выражений для усилий:

А/2

А/2

А/2

Тх=

J* Xm dz,

Г, =

JYy dz,

Г,а = JХу dz,

— h/2

— hft

— h/2

m

л/2

Nt = {

Z,gdz,

Nt = /

Zydz.

— h/2

— h/2

няются результирующим^ усилиями

и моментами, можно и сам

эле­

мент

оболочки

заменить

элементом серединной

поверхности.

На

рис.

52

изображён

элемент

серединной

поверхности

оболочки,

и показана

схема

J

действующих

на него сил.

I

Силы 7\ и Т2 растягивают

J2

его

в направлении

осей

х

У у

Щ J&L S

и у> сила

Т12 создаёт

сдвиг у

К* ^

*— -*-т

внутри

поверхности;

поло-

/ г

*

жительные

их

направления

^

1

в осях

х 9 у

таковы

же,

{

как

и

направления

напря-

*

Ч

жений Х х,

Х у.

Поло­

жительные

направления

пе-

Рис. 52.

ререзывающих

сил

Л^,

N2

Zx> Zy.

совпадают с положительными направлениями напряжений

Изгибающие

моменты

М и М2 считаются положительными,

если

они

стремятся дать выпуклость оболочке в сторону

положительной оси г.

Крутящий

момент М12 положителен

в том

случае,

если

со

стороны

положительной

оси

х

он стремится

закручивать элемент

по

часовой

стрелке.

Ти

Т.»

Т19 удобно

Для

упрощения

вычислений вместо

сил

ввести

их

линейные

комбинации

A/2

A/2

Jf

/g 5=

Г —a a dz>

-А/2

J ei

—h/2

-h/2

соотношения

(4.19),

перейти

к интегрированию по

et. Умножая Ух

на Р„ У2 на

— 2Рп

и Js на

Р х и складывая результаты, получим:

А/2

(4.28)

Дифференцируя (4.19) по z, находим:

^ e fdet = (zPx — Pn)dz.

(4.29)

Умножим теперь Ji на — Рп

и / а на Рх и сложим результаты; тогда

получим:

(4.30)

Найдём

выражение г а через е(\ для этого необходимо

решить квад­

ратное

уравнение (4.19)

dz

У з

etdet sign det

(4.32)

=

РгР г~Р‘

2 Y K

Р%

Знак

величины

zPx— Рп , согласно

(4.29),

совпадает со знаком ~ ,

а так

как в интересующих нас

интервалах

dz всегда положительно

при изменении

г от

ft

ft

, то интегрирование по de{ должно

— у до +

^

Рассмотрим

значения

интенсивности

деформаций* в

трёх

точках,

расположенных на

оси z\

h

*

ft

* = — 2* > *= + 2 и 2 = z &

(4.33)

где

p

* o - Px

•

j

Обозначим

их

соответственно:

i

f

I )

’

р * ~ АР« + т р *

( * - + т ) *

(4.34)

* - У

? 7 р У

‘р ’р ' -

р 1

{г==*о)-

Как

видно

из

(4.29),

точка z = z0 есть точка

минимума е<,

так как

|р * > 0 . Следовательно,

всегда имеют место неравенства

% > \ у

eif> Ч -

(4.34')

Будем говорить, что деформации растяжения и сдвига середин­

ной

поверхности

е,,

еа,

е19 соизмеримы

или малы

сравнительно

A xlf

±

ft

ft

Y *2> — Y Xia ИЛИ ЧТ0

последние

являются

доминирующими,

если

точка

z0 не выходит за

пределы толщины

оболочки, т. е. если

“ Т < * о = Р 7 < 4 -

<4>35)

точка

г 0 расположена вне

толщины оболочки, т. е. если имеет место

одно

из

неравенств

(4.36)

В

случае

соизмеримых деформаций

растяжения

и

изгиба, интеграл

от

всякой

положительной

величины

R по

толщине

оболочки необ­

ходимо

вычислять по

формуле:

Ъ/2

/3

eh

Rejdtj

Г

Re{det

Г R dz =

Г f

(4.35')

2 ул LJ

У ei~ el

]

— Ь/2

h/2

г -

Нг

Re{de{

l^ s ig n (eit— e{i)

Г

dz-

(4.360

—А/2

2 YPк.

Введём теперь

обозначения основных

в теории оболочек величин:

A = AU

c = c lt

. h\

(4.37)

( i * o i > 4 ) ,

*<>

е<,

«<,

А0—

J aide{ -f- J

<3{det

=j oide^

H ,

» i ,

e < i

%

Ojdet

B0

J

v

(4.370

4»

^ 4

®<o

%

C0=

j*