656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

1)при ненулевых коэффициентах 1, 2 можно выделить полные квадраты и привести равенство к виду 1 x' x0 2 2 y' y0 2 c 0;

2)при только одном ненулевом коэффициенте, допустим, 1 0 равенство приводится к виду 1 x' x0 2 y' y0 2 0.

«Новые» переменные x'',y'' являются линейным преобразованием

«старых» x,y , а именно, получены в результате поворота и параллельного переноса системы координат.

Каноническим уравнением кривой второго порядка называется уравнение, приведенное к виду:

Нормальной формой уравнения кривой второго порядка называется каноническое уравнение, в котором коэффициенты перед полными квадратами равны 1.

Замечание. Собственные векторы матрицы размера 2х2, а следовательно, и матрицы перехода к базису из собственных векторов можно всегда подобрать

характеристического многочлена в случае a12 0 являются различными вещественными числами, следовательно, собственные векторы ортогональны (упр. 13.6 и 13.7) и могут быть выбраны в виде пары

Тогда для матрицы перехода имеют место равенства:

Кривые второго порядка разбиваются на несколько типов в зависимости от знаков коэффициентов канонического уравнения. Все невырожденные варианты сводятся к трем случаям:

2) x xo 2 y yo 2 1, гипербола (рис. 1б); a2 b2

3) y yo 2 2p x xo , парабола (рис. 1в).

y

р

р

x0 x

в)

Рис. 1.

Пример. Привести уравнение кривой второго порядка

x2 4xy y2 x y 1 0

к каноническому виду. Построить чертеж.

82

Найдем ортонормированный базис из собственных векторов и приведем матрицу А к диагональному виду. Для этого вычислим собственные значения матрицы А:

Найдем собственные векторы:

При переходе в ортонормированный базис коэффициенты изменятся следующим образом:

83

Уравнение может быть записано в альтернативных формах:

3 x y 2 x y 1 2 1,

3x 3y 2 x y 1 2 1 (нормальная форма).

Упражнения и задачи

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду.

15.1.5x2 6xy 5y2 1.

15.2.17x2 12xy 8y2 1.

15.3.5x2 6xy 5y2 10x 6y 4 0.

15.4.17x2 12xy 32x 8y2 16y 16 1.

15.5.3x2 10xy 8x 3y2 8y 5 0.

15.6.x2 2xy 4x y2 4y 1 0.

15.7.3x2 10xy 3y2 0.

86

16. Поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка – это геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют общему уравнению

a11x2 a22y2 a33z2 a12xy a13xz a23yz a1x a2y a3z a0 0.

Уравнение можно записать в матричном виде:

Переходя к ортонормированному базису из собственных векторов матрицы квадратичной формы, уравнение можно привести к виду

Выделяя полные квадраты по переменным, получим канонический вид уравнения. Типы поверхностей второго порядка сводятся к следующим:

и полностью определяются своими направляющими – кривыми второго порядка.

Упражнения и задачи

Привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду.

16.1.x2 2x 4y2 8y z2 2z 2 0.

16.2.5x2 5y2 6xy 8x 8y z2 0.

16.3.6x2 6y2 17z2 8xy 14xz 14yz 4 0.

16.4.17x2 5y2 5z2 14xy 14x 10yz 10x 2y 2z 2 0.

89

Контрольная работа 1. Циклические группы

Построить циклическую группу, порожденную данной подстановкой :

1)указать порядок группы;

2)указать обратный элемент к порождающему элементу группы;

3)вычислить 120 .

90