656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

Еще одним примером кольца, с которым мы сталкивались в курсе алгебры, является кольцо квадратных матриц. Рассмотрим множество Mn( )

всех матриц размера n n с вещественными элементам. Это множество образует кольцо Mn( ), , (упр. 4.5).

строке j-ю, умноженную на , а умножая А на Eij справа, мы прибавляем к j-му столбцу i-й, умноженный на . Заметим, что обратная к элементарной матрице

1

тоже элементарная, а именно, Eij Eij (упр. 4.7).

Любую невырожденную матрицу Mn можно привести к виду

Mn E1E2...EkDEk 1...Es ,

где Em – элементарные, а D – диагональная матрица. Такое представление не

однозначно. В зависимости от решаемой задачи матрицу можно представить так, чтобы элементарные матрицы были только слева или только справа от диагональной. Используя представление матрицы в виде произведения элементарных и диагональной, можно решать матричные уравнения. А именно,

AX B E1E2...EsDX B X D 1 Es 1... E2 1 E1 1 B.

Если интерпретировать эти действия с точки зрения элементарных преобразований, то это означает, что для решения матричного уравнения можно использовать следующий способ:

1)записываем матрицы A,B в виде расширенной матрицы A B ;

2)приводим матрицу A к диагональному виду элементарными преобразованиями строк, изменяя при этом и матрицу В:

3)делим строки на соответствующие диагональные элементы матрицы D (это эквивалентно умножению на D 1). В результате слева получится единичная матрица:

21

4) полученная в правой части матрица A 1B и есть решение уравнения AX B.

Замечание. Описанный выше метод можно схематично представить в следующем виде: A B E X . Для решения уравнения XA B к единичному

Упражнения и задачи.

4.1.Доказать, что n, , , где n , – коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей.

4.2.Доказать, что, если p – простое число, то p, , – поле.

4.3.Составить таблицы Кэли для операций сложения и умножения в полях вычетов:

а) 2, , ; б) 3, , ;

в) 5, , .

4.4.Решить систему линейных уравнений в поле вычетов F5 5, , :

3x 4y z 2,

а) 2x 4z 1,

y 2z 0;

x 2y 3z 1,

б) 2x z 0,y 2z 4;

2x 2y z 1,

в) x 2z 0,y 3z 1.

4.5.Доказать, чтоMn( ), , – ассоциативное кольцо с единицей.

4.6.Доказать, что умножение матрицы A на элементарную матрицу Eij слева и справа равносильно элементарным преобразованиям матрицы A:

а) Eij A– прибавлению к i-й строке матрицы A j-й строки матрицы A,

умноженной на ;

б) AEij – прибавлению к j-му столбцу матрицы A i-го столбца матрицы A,

умноженного на .

24

1

4.7. Доказать, что Eij Eij .

4.8.Решить уравнение AX B, если

4.9.Решить уравнение XA B, если

25

5. Евклидовы кольца. Кольцо многочленов над полем

Норма – это функция :M , которая ставит в соответствие каждому элементу а некоторого кольца M, , число (а) и такая, что:

Например, если рассмотреть кольцо целых чисел, то в качестве нормы можно взять модуль числа (проверить аксиомы нормы предлагается самостоятельно).

Норма позволяет ввести в кольце процедуру деления с остатком.

Если r = 0, то говорят, что a делится на b a b или b делит a (b | a).

Наибольшим общим делителем (НОД) элементов кольца a и b

называется такой элемент кольца d, который делит и a, и b, при этом любой другой элемент с таким свойством обязательно делит d.

Если НОД(a,b)=1, то a и b взаимно простые.

Наименьшим общим кратным (НОК) элементов кольца a и b

называется такой элемент кольца c, который делится и на a, и на b, при этом любой другой элемент с таким свойством обязательно делится на c. Если a и b взаимно просты, то НОК(a,b)= a×b. В общем случае, если НОК(a,b)= d, то НОК(a,b)= a×b:НОД(a,b).

Евклидово кольцо – это кольцо, в котором определено деление с

Алгоритм деления многочленов подобен алгоритму деления чисел «уголком».

Пример 1. Представить в виде суммы целой части и правильной дроби (т.е. рациональной дроби, у которой степень многочлена в числителе строго

меньше степени многочлена в знаменателе) рациональную дробь 3x3 4x2 2 . x2 1

26

Шаг 2:

4x2 3x 24x2 4

Алгоритм Евклида (нахождение НОД(a,b)).

1)Разделим с остатком a на b: a qb r.

2)Если r не равен 0, то разделим b на r: b q1r r1.

3)Если r1 не равен 0, то разделим r на r1:

rq2r1 r2 .

4)Если r2 не равен 0, то разделим r1 на r2 :

r1 q3r2 r3.

…

i) Если ri не равен 0, то разделим ri 1 на ri :

ri 1 qi 1ri ri 1.

Продолжаем процедуру деления, до последнего ненулевого остатка rn :

Решение.

а) Используем алгоритм Евклида.

Над полем , , НОД f (x),g(x) =x2 1.

Замечание. Обратите внимание, что вместо 9x2 9 в качестве НОД мы

качестве НОД двух многочленов всегда берётся тот, старший коэффициент которого равен 1.

3x5 3x4 15x3 15x2 12x 12.

б) Пересчитаем коэффициенты многочленов в поле вычетов по модулю 5:

f (x) 3x4 2, g(x) x3 4x2 4x 1.

Применим алгоритм Евклида, выполняя все операции в поле вычетов F5, , :