656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

Линейно независимая система векторов – это система векторов, для которой только тривиальная линейная комбинация равна 0:

1 u1 2 u2 ... k uk 0 1 2 ... k 0.

Если существует нетривиальная линейная комбинация векторов u1,u2,...,uk U ,

равная 0, то эта система векторов называется линейно зависимой.

Пример. Доказать, что система (x 1)2,(x 1)2,x2 1,x2 1,x2 x 1

линейно зависима.

Решение. Найдем нетривиальную линейную комбинацию элементов системы, равную 0:

a(x 1)2 b(x 1)2 c(x2 1) d(x2 1) f (x2 x 1) 0;

x2 a b c d f x 2a 2b f a b c d f 0;

a b c d f 0,

2a 2b f 0,a b c d f 0.

Найдем решение данной системы:

31

a 2d f , 4

b 2d 3f , 4

c 0

Линейное подпространство или просто подпространство U' пространства U – это подмножество пространства U, само являющееся линейным пространством (обозначение: U' U).

Сумма подпространств U1 U2 – это множество всех возможных сумм векторов из U1 и U2 :

Сумма подпространств также является подпространством (упр. 6.14).

Пересечение подпространств – это пересечение соответствующих множеств векторов. Пересечение подпространств также является подпространством (упр. 6.15).

Прямая сумма подпространств U1 U2 – это сумма, слагаемые которой

пересекаются только в нуле U1 U2 {0}. Каждый вектор прямой суммы разлагается на слагаемые из U1 и U2 однозначно (упр. 6.16).

Упражнения и задачи

6.1.Доказать, что множество всех квадратных матриц образует линейное пространство.

6.2.Доказать, что множество всех многочленов образует линейное пространство.

6.3.Проверить, является ли линейным подпространством пространства n следующая совокупность:

а) все n-мерные векторы с целочисленными координатами;

б) все векторы, параллельные оси абсцисс или оси ординат;

32

в) sinx,sin2x,sin3x;

г) sinx,sin2x,...,sinnx;

д) 1,cosx,cos2x,...,cosnx;

е) 1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,...,sinnx,cosnx;

ж) 1,sinx,sin2 x,...,sinn x;

з) 1,cosx,cos2 x,...,cosn x.

6.13.Доказать, что следующие системы функций линейно зависимы:

а) 1,sin2 x,cos2 x;

б) 1,cos2x,cos2 x;

в) 1,sinx,cosx,sin2 x,cos2 x,...,sinn x,cosn x, n 2.

6.14.Доказать, что сумма подпространств линейного пространства также является подпространством этого пространства.

6.15.Доказать, что пересечение подпространств линейного пространства также является подпространством этого пространства.

6.16.Доказать, что любой элемент v прямой суммы U1 U2 однозначно

34

7. Базис и размерность линейного пространства

пространства может быть получен как ее линейная комбинация:

v U 1, 2,..., k F : v 1 u1 2 u2 ... k uk .

Линейная оболочка системы векторов u1,u2,...,uk – это множество всех линейных комбинаций векторов системы:

L(u1,u2,...,uk ) v v 1 u1 2 u2 ... k uk, i F,i 1,k .

Очевидно, что линейная оболочка системы векторов является подпространством.

Системы векторов эквивалентны тогда и только тогда, когда их линейные оболочки совпадают.

База системы векторов – это максимальная (по количеству векторов) линейно независимая ее подсистема.

База линейного пространства – это максимальная (по количеству векторов) линейно независимая система векторов пространства.

Базис линейного пространства – это любая упорядоченная база линейного пространства.

Замечание. Базой прямой суммы подпространств является объединение каких-либо баз слагаемых (упр. 7.10).

Размерность dimU линейного пространства U определяется как количество векторов базы U .

Координаты элемента линейного пространства x в базисе В – это коэффициенты упорядоченной линейной комбинации, соответствующей разложению в базисе В. Координаты в базисе определяются однозначно (упр. 7.1.). Для обозначения вектора-строки или вектора-столбца координат будем

использовать записи x B или x B соответственно.

Формула Грассмана: dim U V dimU dimV dim U V ,

где U,V – подпространства некоторого линейного пространства.

Пример 1. Определить размерность и найти базы суммы и пересечения линейных подпространств – линейных оболочек систем векторов:

Решение. Найдем базы линейной оболочки каждой системы векторов. Составим матрицу, строки которой – векторы системы. Приведем матрицу с помощью элементарных преобразований строк к виду, где в каждой строке не более одного ненулевого элемента, причём в разных строках – на разных позициях:

Размерность линейной оболочки первой системы векторов равна 3. В

1 0 0

качестве базы можно взять векторы 0 , 0 , 1 .

0 0 00 1 0

Размерность линейной оболочки второй системы векторов равна 2. В

1 0

качестве базы можно взять векторы 0 , 0 .

0 10 0

База суммы подпространств может быть найдена как линейно независимая подсистема объединения баз:

36

1 0 0 0

0 , 0 , 1 , 0 .0 0 0 10 1 0 0

Размерность суммы линейных оболочек равна 4.

Размерность пересечения оболочек найдем по формуле Грассмана:

dim U V dimU dimV dim U V 3 2 4 1.

Если вектор принадлежит пересечению, значит, он является линейной комбинацией векторов базы каждой линейной оболочки:

Упражнения и задачи

7.1.Доказать, что координаты вектора в базисе определяются однозначно.

7.2.Доказать, что любая линейно независимая система векторов содержится в некотором базисе.

7.3.Доказать, что любое линейное пространство размера n взаимно однозначно соответствует арифметическому пространству строк n .

7.4.Доказать, что система x2 y2,x2 y2, x y 2 , x y 2

порождает линейное пространство квадратичных форм:

линейное пространство симметричных квадратных матриц размера 2х2.

7.6.При каком значении линейно зависима система векторов: