656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

13. Самосопряженные операторы. Ортогональные операторы. Полярное разложение матрицы линейного оператора

Пусть φ – линейный оператор эвклидова пространства с матрицей A(φ).

Сопряженный к линейному оператору φ оператор φ* – это линейный оператор, удовлетворяющий условию

x,y U (x) y x *(y).

Самосопряженный (симметрический) оператор – это линейный оператор, который совпадает с сопряженным к нему оператором: *(x) (x).

Матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированном базисе симметрична (упр. 13.5), а все собственные значения самосопряженного оператора – действительные числа (упр. 13.7). Следовательно, матрица самосопряженного оператора всегда может быть приведена к жордановой форме над полем вещественных чисел.

Ортогональный оператор – это линейный оператор, обратный которому совпадает с сопряженным к нему: *(x) 1(x). Матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе обладает замечательным свойством:

AОНБ ( ) 1 AОНБ( ) T .

Полярное разложение матрицы линейного оператора евклидова пространства – это представление матрицы этого оператора в виде произведения матриц ортогонального и самосопряженного операторов: A US .

Метод полярного разложения матрицы линейного оператора. Найдем произведение матрицы оператора на транспонированную: AT A. Полученная матрица симметрична и соответствует некоторому самосопряженному оператору (упр. 13.5). В ортонормированном базисе из собственных векторов матрица AT A имеет диагональный вид (упр. 13.8):

TB ОНБ AT A TОНБ B D i ,

где диагональные элементы – собственные значения матрицы.

Из диагональной матрицы без труда извлекается квадратный корень:

AT A ОНБ D i D i .

Возвращая D i в исходный базис, получаем «симметричный» сомножитель в полярном разложении:

S : AT A B TB ОНБ 1 D i TB ОНБ .

Полезно учесть, что TB ОНБ 1 TB ОНБ T .

71

В качестве «ортогонального» сомножителя полярного разложения возьмем матрицу U AS 1:

Найдем матрицы перехода в ортонормированный базис и из ортонормированного базиса:

72

73

Упражнения и задачи

13.1.Доказать, что ( ) * *( *).

13.2.Доказать, что * * .

13.3.Доказать, что 1 * * 1.

13.4.Доказать, что в любом ортонормированном базисе AB * ABT .

13.5.Доказать, что матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированном базисе симметрична.

13.6.Доказать, что собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

13.7.Доказать, что все собственные значения самосопряженного оператора – вещественные числа.

13.8.Доказать, что матрица самосопряженного оператора диагонализируема.

13.9.Доказать, что определитель матрицы ортогонального оператора в любом базисе равен +1 или -1.

13.10.Доказать, что для ортогонального оператора верно равенство

xy (x) (y), x,y U .

13.11.Найти полярное разложение матрицы

74

14. Билинейная форма. Квадратичная форма

Билинейная форма – это функция двух аргументов из линейного пространства (над полем действительных чисел) со значениями во множестве действительных чисел, которая является линейной по каждому аргументу:

Если каждый из векторов-аргументов билинейной формы представить в виде разложения по некоторому фиксированному базису B {e1,e2,...,en} в U, то из определения билинейной формы следует, что

1 j n

Назовем матрицу FB , составленную из значений билинейной формы на базисных векторах, матрицей билинейной формы в базисе B:

Тогда билинейная форма может быть записана в матричном виде:

f (x,y) x B FB y B .

При переходе из базиса B пространства U в базис B' с матрицей перехода TB B' матрица билинейной формы меняется согласно следующей формуле: