Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

811.62 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

			16
	u	*	4 4			.
	u	*	4 4		33	.
3

			1	33
			1	33

В базисе B u1o,u2*,u3* матрица оператора имеет диагональный вид:

			0	0
	1		0	0

			3 33
A ( ) 0			3 33	0			,
A ( ) 0				0			,
B			2
					3

		0	0			33

				2
				2

0		16		16


TB B 0		4 4 33		4 4 33 .	█

	1		33 1	1 33
	1		33 1	1 33

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей

	0		0	1
A ( )		0 2		0	.
B
		4	0	0
		4	0	0

Проверить диагонализируемость матрицы оператора, перейдя в базис из собственных векторов.

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

		0	1
det(AB( ) E)	0	2	0	0,
	4	0

2 2 4 2 0,

2 4 2 0,

2 2 2 0,

1,2 2,

3 2.

Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению

1,2 2:

0 2		0	1	x		2 0			1 x			2x z 0
	0	2 2	0	y	0		0	0	0	y	0		,

												4x 2z 0
	4	0	0 2				4	0	2
				z						z

											x					C1
											y						C		2		,	C ,C			2	const.
																			2			1			2
											z						2C
																				1
Пусть C 0,C								2	1, тогда			u	o	(0,1,0).
	1							2		1
																											1
																	1

																											5
																											5
При C 1,C						2	0, получаем							u	*			0			или		u	o			0 .
	1					2									2							2
																		2									2
																		2									2

																											5
																											5
Найдем собственный вектор, соответствующий значению 3																												2:
2 0				1 x											2x z 0												2x z 0		x	C
	0 4			0	y				0																		2x z 0		y		0 .
	0 4			0	y				0						4y 0														y		0 .
																											4y 0
	4 0			2																							4y 0
	4 0			2	z										4x 2z 0														z		2C
														1
					1

														5
														5
Тогда		u	*			0			или	u	o			0		.
	3									3
														2
					2									2
					2
															5
															5

Найдем матрицы перехода и матрицу оператора в базисе B u1o,u2*,u3* :

	0		1	1
TB B		1 0		0	,

		0	2	2

TB B		1	0		4	0
	1	1
				2 0		1	,
		4		2 0		1	,
		4		2	0
				2	0	1

	TB B			1	0 4			0 0 0			1 0		1	1
AB		1	ABTB B
						2	0	1	0	2	0	1 0		0

				4		2	0		4	0	0	0	2	2
								1

	0		8	0 0		1	1		8 0			0	2 0			0		0	0
1																	1
		4	0	2	1 0		0	1						0	2	0	0		0	. ¶
										0	8	0
4		4	0	2	0	2	2	4						0	0	2	0	2
										0	0	8						0
																			3

Упражнения и задачи

11.1.Доказать, что собственные значения линейного оператора являются решением уравнения det A( ) E 0, где A( ) – матрица оператора в

каком-либо базисе.

11.2.Доказать, что собственные векторы линейного оператора удовлетворяют

уравнению A( ) iE	u		0, где	A( ) – матрица оператора в каком-
		i
либо базисе.

11.3.Доказать, что каждый собственный вектор u линейного оператора φ соответствует единственному собственному значению.

11.4.Доказать, что линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному и тому же собственному значению, тоже является собственным вектором, соответствующим данному собственному значению.

11.5.Доказать, что если к множеству всех собственных векторов оператора φ, соответствующих одному и тому же собственному значению λ, присоединить нулевой вектор, то получится подпространство U.

11.6.Доказать, что собственные векторы линейного оператора, соответствующие разным собственным значениям, линейно независимы.

11.7.Доказать, что линейный оператор в n-мерном линейном пространстве не может иметь более n собственных значений.

11.8.Доказать, что число собственных векторов, относящихся к некоторому собственному значению, не больше алгебраической кратности этого собственного значения.

11.9.Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей AB( ).

	0			1	0
а) A ( )		4		4 0		;
B
		2		1	2
		2		1	2
		2		1		2
б) A ( )		5		3		3		;
B
		1		0
		1		0		2
	1		3		4
в) A ( )		4	7		8	;
B
		6	7		7
		6	7		7
	7		12			6
г) A ( )	10		19			10		;
B
			24			13
	12		24			13
	1		0	0		0
		0	0 0 0
д) A ( )		0	0 0 0				;
B	0		0	0		0
		1	0	0		1
		1	0	0		1
	1		0	0		0
		0	0 0 0
е) A ( )		0	0 0 0				.
B	1		0	0		0
		0	0	0		1
		0	0	0		1

12. Жорданова форма матрицы линейного оператора. Канонический базис

Жорданова клетка линейного оператора, соответствующая собственному значению , имеет вид

			1	0	0	0	0
		0		1	0	0	0

	0		0		1	0	0
Jk ( )		0 0		0		0	0
								.

			0	0	0		1
	0
		0	0	0	0	0

Нормальная жорданова форма матрицы линейного оператора – это матрица клеточно-диагонального вида, главная «диагональ» которой состоит из жордановых клеток, соответствующих собственным значениям линейного оператора:

	Jk ( 1)
		1
J(A)		0
J(A)

		0

0		0
Jk2 ( 2)		0
Jk2 ( 2)		0
			.
	J
0	J	( )
		km	m

Корневое подпространство линейного оператора с матрицей A( ), соответствующее собственному значению , – это ядро оператора

A( ) E k , где k – алгебраическая кратность (т.е. кратность как корня характеристического многочлена).

Размерность корневого подпространства равна алгебраической кратности соответствующего собственного значения (упр. 12.4).

Собственное подпространство содержится в соответствующем корневом подпространстве (упр. 12.5). Размерность собственного подпространства равна геометрической кратности соответствующего собственного значения.

Пусть φ – линейный оператор c матрицей A( ), u – собственный вектор оператора φ, соответствующий собственному значению λ, тогда присоединенный вектор v высоты k, соответствующий собственному значению λ и собственному вектору u , – это вектор, удовлетворяющий условию

A( ) E k v 0, при A( ) E k 1v 0.

Собственный вектор является присоединенным вектором высоты 1.

Система, состоящая из присоединенных векторов разной высоты, соответствующих одному и тому же собственному значению, является линейно независимой (упр. 12.1) .

Канонический базис пространства, соответствующий линейному оператору φ, – это базис пространства, состоящий из присоединенных векторов линейного оператора φ.

Канонический базис, соответствующий линейному оператору евклидова пространства φ, существует в том случае, если все корни характеристического многочлена вещественны.

Матрица A( ) линейного оператора φ в каноническом базисе имеет жорданову форму.

								2		5	1
	Пример.		Привести		матрицу		A		1	3	0	к жордановой форме.
	Пример.		Привести		матрицу		A		1	3	0	к жордановой форме.
									2	3	2
Найти канонический базис.									2	3	2
Найти канонический базис.
	Решение. Вычислим собственные значения оператора:
	A E	2	5		1	1	3					2	5


		1	3		0					( 2 )

						2		3				1	3
		2	3	2		2		3				1	3
		2	3	2

3 3 2 3 1 ( 1)3,

1,2,3 1.

Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению

								3		5		1	x
									1	2 0
			A E u						1	2 0			y	0,
									2	3
									2	3		1 z
3 5			1	0			0		1	1		0	0 0		0	0
	1	2	0	0		~		1 2		0		0			0	0
	1	2	0	0		~		1 2		0		0	~ 1 2		0	0
	2	3	10					0 1			10			0 1 10
	2	3	10					0 1			10			0 1 10
							z C						2C
													C
					y z C u								C	.
													C
					x 2C								C
									66

Уже на данном этапе из того, что собственный вектор порождает одномерное пространство, можно заключить, что жорданова форма матрицы имеет вид

	1		1	0
J(A)		0	1
J(A)		0	1	1 .
		0	0
		0	0	1
Найдем присоединенный	вектор			(высоты 2),		соответствующий
							2C
собственному значению 1 и собственному вектору					u			C	. Для того

								C
								C

чтобы избежать процедуры возведения матрицы в степень, отметим один замечательный факт:

A E 2 v 0 A E 2 v A E u A E v u .

Таким образом, присоединенный вектор высоты 2 будем искать из уравнения

		3 5					1 x				2С
			1	2								С
			1	2			0 y					С	.
			2	3								С
			2	3			1 z					С
3 5				1	2С				0			0 0		0
3 5				1	2С				0			0 0		0
	1	2 0				С				1 2			0	С
	1	2 0				С		~		1 2			0	С
	2	3		1		С				0
	2	3		1		С				0		1 1		С
												1 1		С
			y C1					C 2C1
						v				C
										1
									C C
											1
			C1 C /2							0
			C1 C /2					v		C/2 .
								v		C/2 .

										C/2
										C/2

Найдем присоединенный вектор (высоты 3), соответствующий

собственному значению 1 и собственному вектору u C :

A E 3 w 0 A E 3 w A E 2 v A E w v ,

3		5
	1	2

	2	3

1	x	0
0		C/2	,
0	y	C/2	,
		C/2
1 z		C/2

3 5			1	0		0 0 0						0			0 0		0	0
	1	2	0	C/2	~		1	2			0	C/2				1 2	0	C/2
	1	2	0	C/2	~		1	2			0	C/2		~		1 2	0	C/2
	2	3	1	C/2			2	3			1	C/2				0 1	1	3C/2
	2	3	1	C/2			2	3			1	C/2				0 1	1	3C/2

					y C2					C/2 2C2
							w					C	2
													2

											3C/2 C2
					C2 C /4							0
					C2 C /4				w			C/4		.
									w			C/4		.


												5C/4

Подставляя, например, C 4, получим один из возможных канонических базисов:

	8

u*	4	,
	4
	4

v* 2 ,2

w* 1 .

Жорданова форма матрицы не зависит от выбора параметра C, а только от порядка собственных значений (в данном случае, оно только одно) и имеет вид

	1		1	0
J(A)		0	1	1		█
					.
		0	0
				1

Упражнения и задачи.

12.1.Доказать, что система, состоящая из присоединенных векторов разной высоты, соответствующих одному и тому же собственному значению, является линейно независимой.

12.2.Привести матрицу линейного оператора к жордановой форме (без указания канонического базиса):

	2		5	1
а) A		1	3	0
					;
		2	3	2

	2		5	4
б) A		3	16 12			;

		4	20	15

	1		4		4
в) A		10	18		20
						.
		9	13		15

12.3.Привести матрицу линейного оператора к жордановой форме, указать канонический базис:

	3		2	3
а) A		4 10		12
а) A		4 10		12		;
		3	6	7
		3	6	7
	1		1	1
б) A		3	3 3				;
б) A		3	3 3				;
		2	2		2
		2	2		2
	0		3			3
в) A		1	8			6		;
в) A		1	8			6		;
		2	14		10
		2	14		10
	6		6	15
г) A		1	5 5			;
г) A		1	5 5			;
		1	2	2
		1	2	2


0		1	1	1
	1 2		1	1
д) A					;
1		1	1	0
	1	1	0	1

6		9	5	4
	7	13	8 7
е) A						.
8		17	11	8
	1	2	1	3

12.4.Доказать, что размерность корневого подпространства, соответствующего собственному значению, равна алгебраической кратности этого собственного значения.

12.5.Доказать, что собственное подпространство содержится в соответствующем корневом подпространстве.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.2022525.57 Кб2644_Galkina_M.JU._Vychislitel'naja_matematika_.pdf
#
12.11.20221.76 Mб4645_Galkina_M.JU._Metody_optimal'nykh_reshenij_.pdf
#
12.11.20222.2 Mб15647_Pinegina_T.JU._Praktikum_po_kursu_fiziki_.pdf
#
12.11.2022736.72 Кб2651_Zelentsov_B.P._Matrichnye_modeli_funktsionirovanija_.pdf
#
12.11.20229.18 Mб5652_Maglitskij_B.N._Printsipy_postroenija_sputnikovogo_televidenija_.pdf
#
12.11.2022811.62 Кб3656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_.pdf
#
12.11.20225.99 Mб5657_Smolovik_G.N._Teorija_menedzhmenta_.pdf
#
12.11.20221.69 Mб15658_Markasov_M.JU._Teorija_i_praktika_massovoj_informatsii_.pdf
#
12.11.20226.23 Mб30662_Nosov_V.I._Obespechenie_ehlektromagnitnoj_sovmestimosti_.pdf
#
12.11.20222.22 Mб6664_Mikidenko_N.L._EHtnicheskaja_sotsiologija_.pdf
#
12.11.2022873.59 Кб11665_Sabirov_V.SH._Filosofija_nauki_2_.pdf