656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Найдем матрицу перехода к базису B':

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

811.62 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

9.3.Доказать формулу для вычисления скалярного произведения с помощью

матрицы Грама: x y x B B y B .

9.4.	Доказать,							что			при переходе от		базиса		B		e1,	e2,...,	en к базису
	B'			e',		e',...,			e	'	с матрицей перехода			T		матрица Грама в новом
				1			2		n				TT	B B'
	базисе вычисляется по формуле											B'	TT	T			.
												B'	B B'		B B B'
В задачах 9.5-9.7 проверить ортогональность														векторов в пространстве 3,
дополнить до ортогонального базиса, нормировать полученный базис.
	1				2
9.5.		2			0
9.5.		2	,		0		.
		2
		2			1
			3		2
9.6.			2				3
9.6.			2		,		3	.
							2
	6						2

0 1

9.7. 1 , 0 .

1 0

В задачах 9.8.-9.10. найти матрицу Грама данного базиса.


	1 2 0
9.8.		2						0
				,		0 ,			.
		0
				1 1
	0 3 1
9.9.			0			2		0
					,		,		.
			2			6		0

0 1 0 0

9.10. 1 , 1 , 1 , 0 .

1 1 1 11 0 0 0

В задачах 9.11.-9.13. ортонормировать базис методом Грама – Шмидта

	1 2 0
9.11.		2		0		0
9.11.		2	,	0	,	0	.
		0
		0		1		1

	0 3 1
9.12.		0		2				0
			,			,			.
		2		6				0

	0 1 0 0
		1		1			1			0
9.13.			,		,			,
											.
	1 1 1 1

		1		0 0				0

9.14. Найти матрицу Грама для базиса {1,x,x2} пространства многочленов

степени не более чем 2 (скалярное произведение определяется формулой

P(x) Q(x) P(x)Q(x)dx). Ортогонализовать данный базис.

10. Линейные операторы

Линейный оператор – это функция :U V из линейного пространства

U над полем F M, , в линейное пространство V над этим же полем, такая,

что

(

2) (

x1) (

2),

x1,

2 U,

, F .

Образ линейного оператора – это совокупность образов всех элементов из области определения функции :

(U) v u U : v (u) .

Ядро линейного оператора – это множество всех элементов, образ которых равен нулю:

Ker {x U | (x) 0 V}.


Образ и ядро линейного оператора являются						подпространствами в U
(упр.10.2). Размерность				ядра d( ) dim(Ker )		называется	дефектом
линейного оператора.
Рангом линейного				оператора	называется	размерность	его образа
(U) V .
Рассмотрим линейный оператор n-мерного пространства U: :U U .
Инвариантное подпространство относительно линейного оператора
– это подпространство,				содержащее свой образ. Примерами инвариантных
подпространств являются ядро и образ оператора.
Матрица линейного оператора					AB( ) определяется в зависимости от
базиса B	e1,	e2,...,	en пространства U и имеет вид

AB( ) (e1) B (e2) B... (en) B .

Ранг линейного оператора равен рангу его матрицы (упр. 10.4).

Координаты элемента пространства и его образа в фиксированном базисе B связаны равенствами:

(x) B AB( ) x B,(x) B x B AB( ) T .

При переходе от базиса B e1,e2,...,en к базису B' e'1 ,e'2 ,...,en' с

матрицей перехода TB B' матрица линейного оператора меняется согласно равенству (упр. 10.5)

AB'( ) TB B'AB( ) TB B' 1.

Замечание.	Рассмотрим						неоднородное													уравнение			(			x	) b		или, в
					B				B

матричном виде,	AB( ) x
матричном виде,	AB( ) x						b			. Структуру его общего решения можно
записать в виде	x	x	* Ker( ),								где				x		*–		какое-либо				частное						решение
уравнения.
Пример 1. Записать матрицу линейного оператора проектирования на ось
													1 0							1 0
Ох в пространстве 2 в базисах							B						1 0						и B'				,		.
Ох в пространстве 2 в базисах							B						0	,		1			и B'		1		,	1	.
													0			1					1			1

Решение. Проектирование									задается									формулой				x					x		Найдем
Решение. Проектирование									задается									формулой										.	Найдем
																						y					0
					1 0
образы векторов базиса B							,	1			:
						0		1


				1				1						1				0		0
												1						0		,
						0		0							0					1
				0				0						1				0		0
												0						0		.
						1		0							0					1

Следовательно, в ортонормированном базисе В матрица оператора имеет вид

B' B

B B'

B' B

Найдем матрицу оператора в базисе B':

B B'


1		0 1		0 1 0		1		0 1 0		1		0
	1 1		0	0			1 0				1 0		. █
	1 1		0	0	1 1		1 0		1 1		1 0

Пример 2. Записать матрицу линейного оператора отражения

относительно					плоскости				y x				в	пространстве 3 в базисах
1 0 0								1 1 0

	0		1		0	и			1	,	1	,	0	.
B		,		,			B'
	0		0		1				0		0		1

Решение. Найдем образы базисных векторов:


1				0					1					0							0
		0									0					1						0
					1			0						1				0							;
		0			0						0					0						1

0				1					1						0						0
	1				0							0					1							0
							1							0						0						;
	0				0							0					0							1

		0			0				1					0						0
			0			0		0		0					1						0
													0						1				.
			1			1				0					0						1

Составим матрицу оператора в базисе В:

	0	1	0
A ( )	1	0	0
B				.
	0	0
	0	0	1

Запишем матрицы перехода от B' к B и от B к B':

	1		1	0					1		1	0	T	0,5	0,5	0
								1
TB' B		1	1	0	,	TB' B	1			1	1	0		0,5	0,5	0
																	.
								2
		0								0	0 2			0	0
			0 1													1

Следовательно, AB' TB' B 1 ABTB' B

0,5		0,5	0	0	1	0	1		1	0	1		0	0
	0,5	0,5	0	1	0	0		1	1	0		0	1	0		█
															.
	0	0		0	0			0				0	0
			1			1			0 1					1

Упражнения и задачи

10.1.Доказать, что любой линейный оператор отображает нулевой вектор в нулевой вектор.

10.2.Доказать, что ядро линейного оператора является подпространством.

10.3.Доказать, что сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства.

10.4.Доказать, что ранг линейного оператора равен рангу его матрицы в любом базисе.

10.5. Доказать,

что

при

переходе

от базиса

e1,

e2,...,

к базису

e',

e',...,

матрицей

перехода

матрица

линейного

1 2

B B'

оператора меняется согласно равенству A

( ) T

A ( ) T

B B' B

B B'

10.6. Выразить формулой линейный оператор 3, задать матрицу оператора в

1 0 0

базисе 0 , 1 , 0 , если (x):

0 0 1

а) ортогональное проектирование на прямую x y z ; 3 2 1

б) ортогональное проектирование на плоскость x y 0;

в) проектирование на плоскость x y 0 параллельно прямой x 2y

x y z 0

г) проектирование на прямую 2x 3y 4z 0 параллельно плоскости

д) ортогональное отражение в плоскости 2x 3y 4z 0;

е) отражение в плоскости y 0 параллельно прямой 2x y z .

z 1;

										1 0 0


10.7. Записать	матрицу линейного оператора (							x	)	в базисе	0	,	1	,	0	и
											0		0		1
											0		0		1


	1 2 1
в базисе		1		1		0	:
в базисе		1	,	1	,	0	:
		0		0		1
		0		0		1

а)

б)

в)

г)

x1			x3
x	2		x				;
	2			1
x				0
	3
x1			x1 x3
x		2			2x					;
		2		x			1
x				x		2
		3		2
x1			x1 x3
						0				;
x2						0				;
x					x		2
	3						2
x1			x1 x2 x3
x	2				x x					.
	2					1			2
x							x	2
	3							2

																															1 0 0


10.8. Дана матрица линейного оператора (																										x	)			в базисе		0	,	1	,	0	, найти
																																0		0		1
																																0		0		1

матрицу оператора в базисе В' , если
матрицу оператора в базисе В' , если
		1 2					5						2 3 1

а) A	( )			7 11 20						,	В'				3				4		,			2				;
а) A	( )			7 11 20						,	В'				3	,			4		,			2				;
B
				3 5 8											1				1					2


		2 5							1				1 1 0
б) AB( )				1		3			0																		1
б) AB( )				1		3			0	, В' 1								, 3							,		1			;
																				0							3
				2 3 2									1							0							3
		5 0 1										0 3 3

в) A	( )			2 0 2				, В'					1				2						2						;
в) A	( )			2 0 2				, В'					1		,		2			,			2						;
B
				3 0 3									0	1									3


			15			11				5					2 3 1

г) A	( )				20	15				8							3					4							2		.
г) A	( )				20	15				8		, В'					3		,			4			,				2		.
B
					8	7				6							1					1							2

11. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Диагонализируемый линейный оператор линейного пространства U –

это оператор, матрица которого в каком-либо базисе пространства U имеет диагональный вид.

Собственное значение линейного оператора определяется равенством

u U, u 0: (u ) u ,

вектор u при этом называется собственным вектором линейного оператора, соответствующим собственному значению .

Собственные значения линейного оператора являются корнями

характеристического многочлена

det A( ) E 0,

где A( ) – матрица оператора в каком-либо базисе (упр. 11.1).

Собственные векторы удовлетворяют уравнению (упр. 11.2)

A( ) iE u i 0.

Последняя система является совместной и неопределенной (т.к. она однородна и det A( ) E 0), т.е. имеет бесконечно много решений.

Как следует из определения, при действии линейного оператора его собственные векторы изменяются «минимально» – только растягиваются или сжимаются, возможно, меняя направление на противоположное. Таким образом, векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению

вместе с вектором 0 образуют инвариантное подпространство линейного оператора, которое называется собственным подпространством.

Замечание. Собственное подпространство линейного оператора с матрицей A( ), соответствующее собственному значению , является ядром линейного оператора с матрицей A( ) E . Если собственным значением

является 0, то соответствующие собственные векторы (вместе с нулевым вектором) составляют ядро оператора.

Если собственные векторы линейного оператора образуют базис B пространства U, то в этом базисе матрица линейного оператора имеет диагональный вид: AB ( ) i i 1,n .

Размерность собственного подпространства, соответствующего собственному значению , называется геометрической кратностью собственного значения . Заметим, что геометрическая кратность не обязана совпадать с алгебраической кратностью.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей

	1		2	0
A ( )		4 2		0	.
B
		1	0
		1	0	1

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

	1	2	0
det(AB( ) E)	4	2	0	0,
	1	0	1

1 2 2 8 1 0,

1 1 2 8 0,

1 2 3 6 0,

1,			3 33	.

1	2,3	2

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению 1 1:

1 1		2	0 x			0		2	0 x			2y 0
	4	2 1	0		0		4	1	0		0
	4	2 1	0	y	0		4	1	0	y	0	4x y 0,
	1	0					1	0	0
	1	0	1 1 z				1	0	0	z		x 0

	x		0
u	y		0	,	C const .
1

	z	C

Нормируем полученный вектор:
			(0,0,C)	0
	u	o	(0,0,C)	0	.
	u	o		0	.
1			02 02 C2
			02 02 C2	1
				1
							3		:
Найдем собственный вектор, соответствующий значению							3	33
Найдем собственный вектор, соответствующий значению
					2	2
						2

	3	33
1			2
1		2	2
		2
	4		2	3 33
				3 33

		2
	1	0
	1	0

	0
	0
			x
	0			0
	0		y	0

			z
1	3	33	z

	2
	2

	1		33			x 2y 0

			2
			2
				1 33
4x				1 33				y 0 .
4x								y 0 .
			2
		1			33
x							z 0
x			2				z 0
			2
												16
									u	2*

Решением системы будет, например, вектор											4 4				33 .

													33 1
													33 1
Найдем собственный вектор для значения											3			.
											3	33

							3				2
											2

	3	33
1			2
1		2	2
		2
	4		2	3 33
				3 33

		2
	1	0
	1	0

1 33			x

	2
	2
		1	33
4x		1	33
4x
	2
	1		33
x	1		33
x	2
	2

	0
	0
			x
	0			0
	0		y	0

			z
1	3	33	z

	2
	2

2y 0

y 0 ,

z 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.2022525.57 Кб2644_Galkina_M.JU._Vychislitel'naja_matematika_.pdf
#
12.11.20221.76 Mб4645_Galkina_M.JU._Metody_optimal'nykh_reshenij_.pdf
#
12.11.20222.2 Mб15647_Pinegina_T.JU._Praktikum_po_kursu_fiziki_.pdf
#
12.11.2022736.72 Кб2651_Zelentsov_B.P._Matrichnye_modeli_funktsionirovanija_.pdf
#
12.11.20229.18 Mб5652_Maglitskij_B.N._Printsipy_postroenija_sputnikovogo_televidenija_.pdf
#
12.11.2022811.62 Кб3656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_.pdf
#
12.11.20225.99 Mб5657_Smolovik_G.N._Teorija_menedzhmenta_.pdf
#
12.11.20221.69 Mб15658_Markasov_M.JU._Teorija_i_praktika_massovoj_informatsii_.pdf
#
12.11.20226.23 Mб30662_Nosov_V.I._Obespechenie_ehlektromagnitnoj_sovmestimosti_.pdf
#
12.11.20222.22 Mб6664_Mikidenko_N.L._EHtnicheskaja_sotsiologija_.pdf
#
12.11.2022873.59 Кб11665_Sabirov_V.SH._Filosofija_nauki_2_.pdf