Закатов Вища геодезія 1

К решению редукционньїх задач, составляющих в совокупности редукционную проблему, предьявляются некоторне общие требования. Они вьітекают из условия сохранения в редуцированньїх величинах той же точности, которая била достигнута в непосредственних измерениях. Следовательно, ошибки ре­ дукций и их влияние должньї бнть меньше в пять — десять раз ошибок самих измерений.

Для зтого необходимо знать с достаточной точностью величини, харакчеризующие отступления реальной Земли от принятой поверхности относимости, т. е. аргументи для внчисления соответствующих редукций: висоти точек поверхности Земли, уклонения отвесннх линий, аномалии сили тяжести. Зти величини должнн определяться только по результатам измерений, но не на основе каких-либо гипотетических данннх. Без зтого соответствующие редукционнне задачи не могут решаться точно. Внполнение зтого условия пред­ ставляло серьезную проблему. До исследований Молоденского ми не имели ме­ тода строгого определения указанннх величин. Существовавшие ранее методи либо били практически невнполнимн, либо основнвались на привлечении данннх о плотности и строєний Земли, которне с необходимой достоверностью неизвестнн и до настоящего времени. И сейчас по поводу определения тех или тіннх величин можно внсказать пожелания о необходимости повншения точ­ ности, но зто следствие не слабой разработки теории, а результат незавершенности или неполноценности внполненннх на Земле измерений (например, незавершенности мировой гравиметрической сьемки, несвязанности геодезических сетей разннх континентов, малой плотности гравиметрической сьемки в горннх районах и т. п.).

Внше приведенн основи теории и соответствующие формули, определяющие исходнне величини, необходимне для точного внчисления редукций. Позтому будем считать исходнне величини для редуцирования с необходимой точностью известннми.

При получении формул для внчисления редукций необходимо обеспечивать их точность, которая должна соответствовать точности непосредственних измерений. При зтом ошибки в значеннях редукций, внзваннне неточностью формул, должнн бнть практически пренебрегаемнми по сравнению с ошибками измерений. При зтом важно учитнвать и характер (систематический или случайннй) влияния ошибок редукций на редуцированнне злементн геодезической сети.

Если влияние редукций, пренебрегаемо малое для единичного редуциро­ вания какой-либо величини, вносит систематические искажения в геодезическую сеть в целом, то решение об учете редукций данного вида должно бнть сделано с учетом зтого обстоятельства. Например, поправка в направление за висоту наблюдаемого пункта для отдельного направлення обнчно пренебре­ гаемо мала, но для геодезического ряда, у которого сторони имеют примерно одинаковий азимут, зта редукция будет иметь один знак. Позтому пренебрежение зтой редукцией будет равносильно действию систематической ошибки, влия­ ние которой в целом может бнть заметннм. Позтому указанная редукция в триангуляции 1 класса почти всегда должна учитнваться.

Существуют два метода редуцирования результатов непосредственних из­

личини математически редуцируются точно с поверхности Земли на поверх­ ность зллипсоида. Редукции за переход от непосредственно измеренннх величин

350

к их проекдиям вьічисляют по формулам, внражающим указаннне поправнії в функдии величин, определяющих взаимное положение земной поверхности и поверхности референц-зллипсоида, т. е. геодезических вьісот и уклонений отвесннх линий.

Длиньї измерендшх базисов проектируются на поверхность референц-зл­ липсоида н о р м а л я м и к нему. В измереннне направлення вводятся по­ правки за уклонения отвесннх линий относительно нормалей к зллипсоиду. При внчислении поправки за вьісоту наблюдаемой точки принимают расстояние от обт>екта визирования до поверхности зллипсоида по нормали к нему

случае редукции вмчисляют в функции величин, определяющих взаимное поло­ жение з е м н о й п о в е р х н о с т и и г е о и д а . Так, например, при редуцировании длин измеренннх базисов вносят поправки за внсотм, отсчитаннне от уровня моря, т. е. от геоида, причем редуцирование производится по нормалям к последнему, т. е. при помощи направлений отвесннх линий. В из­ мереннне углн никаких поправок не вводится.

Редуцированнне на поверхность геоида геодезические величини считаются как бн редуцированннми на поверхность референц-зллипсоида; иначе говоря,. при методе развертивания пренебрегают несовпадением геоида с референцзллипсоидом. Исследования показнвают, что отступления геоида даже от наилучше внбранного референц-зллипсоида могут достигать 150 м. Отсюда легко сделать внвод, что пренебрегать несовпадением геоида и референц-зллипсоида нельзя.

Геометрически метод развертнвания можно представить так: редуциро­ ваннне на поверхность г е о и д а величини как бн укладнваются, р а з в е р - т н в а ю т с я на другой поверхности — поверхности зллипсоида, откуда и возникло название метода.

Сравнение обоих методов редуцирования позволяет сделать следующие общие внводн.

1. М е т о д п р о е к т и р о в а н и я — строгий метод перехода от из­ меренннх геодезических величин к их проекциям на поверхность референцзллипсоида, сохраняющий взаимное положение точек земной поверхности и совдающий возможность строгой обработки сколь угодно обширной астрономогеодезической сети. Для применения зтого метода необходимо предварительно установить размерн референц-зллипсоида и его ориентировки в теле Земли.

При зтом не требуется использования наилучше установленного референцзллипсоида. Принципиально метод обеспечивает возможность строгой матема-

указанннх в начале настоящего параграфа, необходимо, чтобн референцзллипсоид бнл лишь достаточно близок к наилучше подходящему зллипсоиду.

2. М е т о д р а з в е р т н в а н и я — нестрогий метод; его применение внзнвает искажения (систематического характера) злементов астрономо-геоде- вических сетей при их обработке, внзваннне приближенностью результатов решения редукционннх задач. Величина зтих искажений зависит от размера Встрономо-геодезической сети и ошибочности принятнх при внчислениях параИетров референц-зллипсоида. Для достижения возможно точних результатов обработки материалов астрономо-геодезической сети при методе развертнвания Веобходимо, чтобн референц-зллипсоид в пределах астрономо-геодезической

351

сети бил наилучше подходящим к геоиду. Однако и в атом случае искажения уменьшатся, но не исчезнут, так как останутся влияния отступлений геоида от зтого зллипсоида. Таким образом, для вполне точной математической обработки обширньїх астрономо-геодезических сетей метод развертнвания непригоден.

Точное редуцирование измеренньїх величин на поверхность геоида требует знання плотностей Земли вне геоида; зти даннне неизвестни, позтому, строго говоря, точное редуцирование на геоид невозможно. Впрочем, ошибки, возникающие вследствие приближенности решения зтой задачи, будут несравненно меньше искажений, обусловленньїх нестрогостью метода развертнвания.

Из изложенного следует, что для обработки астрономо-геодезических сетей следует применять метод проектирования, что и осуществляется в СССР в настоящее время.

§ 75. Редукция базиса на поверхность референц-зллипсоида

Пусть на земнойповерхности измерен базис между точками Аж В (рис. 148) Наша задача — определить его проекцию на поверхность референц-зллипсоида

Земная

Рис. 149

за которнй примем один пролет, равнмй длине инварной проволоки (24-мет- ровой), и поставим себе целью найти его проекцию на референц-зллипсоид.

Искомая редукция зтого отрезка составится из трех слагаемнх редукций: а) за переход к проекции отрезка на уровенную поверхность горизонта инструмента (поправка за приведение к горизонту); б) за непараллельность уровенной поверхности горизонта инструмента и поверхности зллипсоида; в) за внсоту базиса над референц-зллипсоидом.

На рис. 149:

dl — длина непосредственно измеренного отрезка аЬ;

dlQ— проекция отрезка dl на уровбнную поверхность, проходящую через точку а, т. е. горизонт инструмента; отрезок dl0 лерпендикулярен направленням отвесньіх линий тп и тпхпх;

352

ds0 — проекция отрезка dl на кривую а62, параллельную нормальному сечению поверхности зллипсоида в плоскости базиса;

v — угол наклона отрезка dl к горизонту точки а;

© — относительное уклонение отвесной линии в вертикальной плос­ кости базиса;

dH — превьішение одного конца пролета над другим, получаемое из нивелирования целиков.

Из рис. 149 непосредственно следует, что

Для расчета требуемой точности определения Я из (75.9) напишем

As _ AH

Іо РА

Для того чтобьі относительная ошибка редукции базиса на поверхность референц-зллипсоида бьіла меньше 1 : 2 000 000, необходимо, чтобн

ДЯ = ДЯ?-|-Д£

бьіло меньше трех метров.

§ 76. Поправка в измеренньїе горизонтальньїе направлення за висоту наблюдаемьіх пунктов

Зта поправка вштекает из геометрических соображений и обусловлена вьісотой точки визирования Я над референц-зллипсоидом.

Пусть с пункта А (рис. 151) наблюдается предмет Я, имеющий геодезическую висоту Я 2 над поверхностью зллипсоида; пусть аж Ь — проекции точек А и В на поверхность зллипсоида. Если би точка В находилась непосредственно

где s — длина дуги ab.

354

Опустив из па перпендикуляр naR на нормаль в точне В , будем иметь

в всхолмленннх и горннх районах; она, как правило, должна учитнваться при внчислении направлений в триангуляции 1 и 2 классов.

Из формули (76.12) следует, что поправка за висоту наблюдаемой точки не зависит от расстояния s между пунктами А жВ. Следовательно, зта поправка подлежит учету при развитии точной триангуляции независимо от расстояния между пунктами.

§77. Редукция измеренньїх горизонтальних направлений при переходе к поверхности референц-зллипсоида

Формула для внчисления настоящей редукции получена при виводе уравнения Лапласа (см. § 67).

Она имеет вид

Поясним геометрический смисл отой редукции.

Непосредственно измеренньїй угол на земной поверхности определяется двугранннм углом, ребром которого является линия, совпадающая с вертикальной осью инструмента, т . е . о т в е с н а я л и н и я . Угол в соответствующей точне на поверхности зллипсоида измеряется двугранннм углом, гранями ко­ торого служат нормальньїе плоскости, а ребром — н о р м а л ь к п о в е р х ­ н о с т и з л л и п с о и д а . Угол между отвесной линией и нормалью, т. е. уклонение отвесной линии, внзнвает необходимость введення в измеренньїе направлення рассматриваемой редукции.

9та редукция аналогична поправке за наклон / горизонтальной оси тео-

долита х = очевидно, в зтом случае J соответствует величине (ц cos А —

— £ sin А).

Числобоє значение редукции ДМ мало, оно вьіражается обнчно в сотих долях секунди. Если положить уклонение отвесной линии и = 10", sin (А —

— ©) = 1 и z — 89° ЗО' ((tg 89° ЗО' = 120), то AM = 0, 08", т. е. на порядок меньше ошибки измерения направлення (0,6—0,7").

Следовательно, при небольших углах наклона и средних по величине уклонениях отвесной линии зтой редукцией, казалось би, можно пренебречь. Так следует поступать и при учете редукций в одиночнне направлення, например при внчислении азимута Лапласа на отдельннх пунктах. Но в измеренньїе горизонтальнне направлення триангуляционннх рядов 1 класса (или полигонометрии 1 класса) рассматриваемая редукция, как правило, должна вводиться, так как накопление влияния ее может носить систематический характер. В зтом случае пренебрежение настоящей редукцией заметно скажется на точності! внчисления злементов ряда (в нервую очередь на величине ошибки в азимутах направлений сторон и поперечном сдвиге ряда). При зтом неудачно установленнне размерьі зллипсоида и его ориентировка внзовут постоянную систематическую часть в уклонениях отвесньїх линий. Но даже если размерн зллипсоида и его ориентировка установлень! достаточно правильно, приходится вметь в В И Д У , что отступления зллипсоида от геоида (или квазигеоида),вьізьівающие уклонения отвеса, носят двоякий характер: отступления местнне, случайньїе и отступле­ ния, охватьівающие значительную площадь и характеризующие собой крупнне волньї квазигеоида относительно референц-зллипсоида. Зти крупнне волнн квазигеоида будут обусловливать в редукциях систематическую часть, пренебрегать которой нельзя.

Позтому рассматриваемая редукция AM, внчисляемая по формуле (77.1), вводится в направлення в триангуляции 1 класса.

В горннх районах, где уклонения отвесной линии достигают нескольких десятков секунд, а зенитнме расстояния могут иметь значительньїе отклонения от 90°, учет зтой редукции должен бнть особо тщательннм. В частности, в таких районах редукции рассматриваемого вида должнн вводиться и в измереннне направлення с пунктов триангуляции 2 класса.

§ 78. Редукции, вьізьіваемьіе кривизной силовой линии

По ходу изложения вопросов, рассмотренннх внше, влияние кривизни силовой линии на результати непосредственннх измерений, внполненннх на поверхности Земли, уже показано.

Не повторяй доказательств, изложим для полноти картини основнне ви­

води.

1. Силовая линия — кривая двоякой кривизни, однако изложенная внше

356

теория решения основних задач вьісшей геодезии требует у ч е т а к р и ­ в и з н и с и л о в о й л и н и и в н о р м а л ь н о м п о л е с и л и т я ­ ж е с т и, т. е. как плоской кривой, расположенной в плоскости меридиана.

2. Практически пренебрегаеми:

а) разность длинн силовой линии, как кривой от данной точки М до поверхности зллипсоида и геодезической висоти Я;

б) различие между напряжениями сили тяжести по касательной к силовой линии (отвесной линии) и направленню нормали к зллипсоиду;

в) различие между направленнями нормалей к поверхности зллипсоида, проведенннх из точки с внсотой Н и из точки пересечения силовой линией по­ верхности зллипсоида.

Кривизну силовой линии практически необходимо учитнвать при вичис­ лений слагающей уклонения отвеса в меридиане из сравнения астрономической

§ 79. О редукциях сильї тяжести

При решении задач вьісшей геодезии на основе теории Молоденского возникает по существу одна редукционная задача по переносу нормального зна­ чення сили тяжести по нормали во внешнем пространстве относительно притягивающих масс — зто редукция в свободном воздухе, внчисляемая просто по формуле (см. § 61)

До появлення работ Молоденского по изучению фигурн Земли и ее внешнего гравитационного поля редукционная проблема гравкметрии била одной из труднейших, не получившей и до настоящего времени точного решения. При прежних взглядах на задачу изучения фигурьі Земли как на изучение геоида возникала необходимость редуцирования сили тяжести с поверхности Земли на геоид, т. е. через пространство, занятое притягивающими массами. Кроме того, при применении теории Стокса для определения фигурн геоида должно бить вьшолнено условие — отсутствие притягивающих масс вне поверхности геоида. Зто требование ставило задачу так назнваемой регуляризации Земли, т. е. удаления внешних масс, но без нарушення физических параметров реальной Земли — ее массн, фигурн, центра тяжести и вообще внешнего реального гравитационного поля. Зта задача точно не решена и до сих пор, так как она требует знання плотностей всех внешних масс по отношению к геоиду. Попнтки решения задачи по определению геоида без регуляризации Земли на основе только внполненннх измерений также не привели к положительному результату, так как требовались дополнительнне сведения о внутреннем гравитационном поле Земли.

Теория Молоденского полностью освобождает от необходимости решения редукционной задачи в описанном плане; в зтом, в частности, ее важное научное и практическое достоинство. Изложенная в общем виде прежняя постановка редукционной проблеми гравиметрии для геодезии сейчас не представляет практического интереса. Понятие о ней приводится для сведения, как об одном из трудних рубежей в истории развития науки, которнй преодолен школой советских геодезистов.

357

§ 80. Редукционная задача при линейньїх измерениях свето- и радиогеодезическими приборами

Характерная особенность измерения расстояний свето- и радиогеодезиче­ скими приборами заключается в том, что расстояние между заданньїми точками измеряют непосредственно, а не путем измерения и суммирования отдельннх отрезков измеряемой линии *. Кроме того, расстояния между заданньїми точ­

НОСТИ;

заньї

(в отличие от измерений базисними приборами старого типа, когда длина каждого пролета приводится к соответствующей уровенной поверхности). Позтому для редуцирования непосредственно измеренннх свето- и радиодальномерами расстояний на поверхность референц-зллипсоида необходимьі дополнительние данньїе. Пусть, например, измерено расстояние d между точками А и В (рис. 152) Из простих геометрических соображений следует, что для перехода от измеренной наклонной дальности d к геодезической линии s между точками А 0 и В 0 — проекциями точек А и В на зллипсоид — необходимо дополнительно знать геодезические висоти зтих точек Н г и Н г и, кроме того, приближенно широту одной точки и азимут А направлення АВ. Зти дополнительние данние должни бить полученн заранее из других видов геодезических измерений. Таким обра­ зом, редукционная задача сводится к внчислению разности (d — s), определяемой из геометрической зависимости.

Как известно, в настоящее время свето- и радиогеодезические прибори для измерения расстояний подразделяются по классу точности и дальности действия на два основних типа:

а) светодальномерн и радиодальномерн, б) радиогеодезические системи (РГС).

* Предполагается, что все поправки, как инструментального характера, так и за влия' ниє внешней средн, введеньї; измеренньїе расстояния — прямьіе.

358

А

Светодальномерами и радиодальномерами измеряют длинн базисов, исход­ них сторон триангуляции, сторон полигонометрических ходов и сторон трилатерации.

Наивнсшая реальная т о ч н о с т е измерений расстояний зтими инструментами, характеризуется ошибкой порядна 1 : 400 000. Указанная т о ч н о с т е измерений достигается при расстояниях порядна 15—40 км, типичньїх в геодезических работах вшсокой т о ч н о с т е . В зтом случае на оснований внводов § 15 и 16 длину геодезической линии можно не различать от длинн окружности, позтому редукционная задача заключается в нахождении поправки за переход от измеренного расстояния к его проекции на сферическую поверхность надлежаще взятого радиуса.

С применением радиогеодезических систем можно измерять расстояния до 600—900 км, однако относительная ошибка таких измерений примерно на порядок больше, чем при измерении расстояний светодальномерами и радио­ дальномерами не менее 1 : 50 000—1 : 100 000. При измерении значительно более коротких расстояний (50—100 км и меньше) относительная ошибка из­ мерений расстояний при помощи РГС становится столь значительной, что зтот вид измерений внходит из класса точних геодезических измерений. Позтому редукционная задача при радиогеодезических измерениях решается простейшим путем: или совсем не вводится поправка рассматриваемого вида (при ма­ лих величинах измеряемнх расстояний и незначительннх висотах конечних точек), или внчисляется поправка как и при измерении светодальномерами и радиодальномерами, принимая Землю за сферу соответствующе установленного радиуса.

С учетом изложенного получим внражение для редукции измеренной на-

Виразим угол (1 при центре сфери из решения треугольника А 0Е 0О, т. е.

359