Закатов Вища геодезія 1

а н о м а л и е й с и л и т я ж е с т и с р е д у к ц и е й в с в о б о д н о м

однако чистая аномалия сили тяжести в настоящее время в вьісшей геодезии не используется.

Теперь получим формулу для внчисления редукции сили тяжести в свободном воздухе. Задача заключаетея в определении изменения сили тяжести при переходе из точки М Qв точку N на расстояние по нормали, равное #v.

т о м с и л и т я ж е с т и .

Висота Н у по сравнению с радиусом Земли — величина второго порядка малости, позтому в ряде Тейлора удержан только первнй поправочний член.

Аномалии сили тяжести характеризуют отступления действительного потенциала Земли от нормального. Зти аномалии дают также указания о распределении масс внутри Земли, но не определяют последние; теоретически можно допустить множество вариантов распределения масс, при которнх аномалии на всей поверхности Земли будут иметь одно и то же значение.

270

Положительньїе аномалии сильї тяжести, т. е. когда g у, соответствуют избнтку притягивающихся масс в исследуемом районе; наоборот, отрицательньіе аномалии силн тяжести соответствуют недостатку зтих масс. Положительнне аномалии силн тяжести соответствуют, вообще говоря, возвншениям геоида, а отрицательнне аномалии — его пониженням. Но зто соответствие справедливо только приблизительно и в общем: рельєф геоида зависит от аномалий силн тяжести на всей поверхности Земли.

Значення аномалий, как правило, даются в специальннх каталогах, там же приводятся значення силн тяжести. Для практических целей значительно удобнее пользоваться картами изоаномал. Зти карти составляют следующим образом: строят географическую сетку, затем по координатам наносят точки, на которнх исполненн измерения силн тяжести и для которьіх вичисленн аномалии. Путем интерполяции по нанесенннм точкам строят кривие, соединяющие точки с одинаковнми значеннями аномалий; зти кривне и назьіваются и з о а н о м а л а м и . Наличие карт изоаномал обеспечивает возможность удобного использования результатов гравиметрической сьемки в различннх целях. Карти составляют на картографической основе в различннх мас­ штабах.

При специальном использовании результатов гравиметрических измерений (разведка ископаемьіх, изучение внутреннего строения Земли) возникает необходимость учета поправок за притяжение топографического рельефа земной поверхности.

Аномалии силн тяжести зависят от влияния наружннх топографических масс, расположенннх внше уровня океанов, и от действия аномальних масс, находящихся внутри Земли. Разделение влияния зтих двух причин в указанньїх целях приобретает существенное значение. Аномалии силн тяжести, из ко­ торнх исключено влияние притяжения внешних форм рельефа, будут зависеть только от действия аномальних масс, расположенннх внутри Земли. Знание таких аномалий весьма полезно и ценно для виявлення плотностей различннх слоев и частей земной корьі и позволяет в сочетании с геологическими и геофизическими данними с большим успехом виявлять различньїе полезнне ископаемне.

Топографические редукции подразделяются на следующие:

. а) полине топографические редукции, когда учитьівают влияние топогра­ фических масс всей Земли;

б) неполние топографические редукции, когда учитьівается влияние топографических масс в некоторой области, обнчно в радиусе порядка 100 км; в) редукции за промежуточннй слой, когда притяжение топографических масс заменяется притяжением бесконечной пластини, толщина которой равна

внсоте пункта.

При внчислении первнх двух редукций учитнвается сферичность Земли; при внчислении поправок за промежуточннй слой поверхность Земли принимается за плоскость.

Топографические редукции представляют собой поправки за влияние притягивающих масс Земли, расположенннх между уровнем моря и физитаской земной поверхностью. Следовательно, в результате введення топографи­ ческих редукций получаются значення силн тяжести, освобожденнне от влия­ ния указанньїх топографических масс в учитнваемой области.

271

масс, расположенннх ниже зтого уровня (впадинн). В результате введення поправки за рельєф получается значение силн тяжести, которое бнло бн в данной точне, если бьі поверхность Земли в рассматриваемой ее области бнла горизонтальной (на уровне данной точки). Нетрудно видеть, что поправка за рельєф равна разности топографической редукции и редукции за промежуточньій слой. Во всех случаях поправки за рельєф положительнн.

Из опнтннх данннх установлено, что аномалии силн тяжести с редукцией в свободном воздухе в сильной степени зависят от влияния топографического рельефа окружающей земной поверхности. Позтому, когда возникает необходимость интерполирования аномалии силн тяжести, то интерполированное значение силн тяжести для точек, расположенннх между гравиметрическими пунктами, получается точнеє, если из аномалий силн тяжести предварительно исключить возмущающий зффект притяжения масс, рассоложенннх между уровнем океана и физической земной поверхностью.

Принципиально внвод формул для внчисления топографических редукции весьма простой. Он заключается в определении влияния на аномалию притя­ жения злементарной массн, расположенной на текущем расстоянии г, и интегрировании зтого влияния по обьему в пределах взятой области.

Из топографических редукций наиболее часто вводится редукция за промежуточннй слой, которая входит основним слагаемнм во все види топографи­ ческих редукций. Зта редукция получила название редукции Буге. Не приводи внвода формул для внчисления зтой редукции, напишем ее в окончательном

возьмем б = 2,6, то 0,04186 = 0,109; таким образом, редукция за притяжение промежуточного слоя составляет приблизительно одну треть от редукции

в свободном воздухе.

Результати вичислений по формулам (61.10) и (61.12) всегда будут при - ближенннми, поскольку точно не известна плотность б верхних слоев Зем ли .

272

Итак, примем, что известнн для всей поверхности Земля смешанньїе аномалии сильї тяжести

причем g отнесено к точне М (рис. 115) земной поверхности с координатами

В, L, Н, а 7 — к точне сферопа с координатами Б, L, Н у (g отнесено к точне М, а у — к точне N). Иначе говоря, будем считать, что на всей поверхности Земли виполнени измерения сильї тяжести и нивелирование, необходимое ДЛЯ ВЬІ-

Нетрудно понять, почему необходимьі измерения на всей поверхности Земли: возмущающий потенциал зависит от аномального поля всей Земли, а не в отдельной точне или какой-либо области вблизи зтой точки.

Искомое дополнительное условие на поверхности или, как его назьіваюг,

где п — направление нормали к уровенному зллипсоиду, которое при вьічислении сильї тяжести можно не различать от направлення вектора тяжести g.

Действительно, если вместо направлення нормали п взять направление «сильї тяжести g или наоборот, то будет допущена ошибка порядка

малости, так как £ — величина второго порядка малости, а вьічисленное зна-

.274

Положение точки N определяется из условия

W C- W M = U(, - U N,

UN~ U „ - § g d h

UM = W M- T M = W „ - ^ g d h - T M.

жает изменение сили тяжести при переходе от одной поверхности к другой.

Его назнвают членом Брунса. Второй член представляє* силу, развиваемую

возмущающим потенциалом. Оба члена являются величинами одного порядка,

Заметим, что член Брунса меняется более плавно, чем второй член

Теперь определение возмущающего потенциала сводится к нахождению функции Т , которая била би вне S гармонической функцией координат, на бесконечности била би регулярна и удовлетворяла би на поверхности S условию (62.15), т. е.

Зто будет так назнваемая третья внешняя краевая задача теории потенциала.

Полное решение зтой задачи для поверхности Земля, даниое Молоден­ ьким [36], достаточно сложно. Укажем лишь общий путь ее решения и приближенньїй результат, достаточньга для последующих рассуждений и вьіводов.

Поскольку возмущающий потенциал Т обладает всеми свойствами по­ тенциала притяжения, то его можно представить в виде потенциала притяжения некоторого фиктивного материального слоя плотности ф, распределенного на земной поверхности S (рис. 116). Злементарная масса, приходящаяся на злемент поверхности dS, будет фdS. В точке А вне S зта масса создает злементарньїй потенциал

где г — расстояние от исследуемой точки до злемента поверхности dS. Представленньїй в таком виде возмущающий потенциал будет вне масс

гармонической и регулярной на бесконечности функцией, т. е. он удовлетворит

условиям А2Т = 0 и lim Т = 0. Но, онределив по (62.17) возмущающий г-^оо

потенциал, ми ввели неизвестную вспомогательную функцию ф. Таким обра­ зом, теперь вместо Т необходимо определять ф.

р

Рис. 116

Для зтой цели воспользуемся условием (62.15), которому должен подчиняться возмущающий потенциал Т на поверхности S.

Подставляя (62.17) в (62.15), получаем

;S

где Н — направление вертикали на Земле.

В качестве поверхности S в последнем виражений принимается близкая поверхность 5 Х, для которой висоти точек равньї # Y, точно получаемне из измерений (из нивелирования). Измереннне на всей поверхности Земли аномалии (gM — y N) также можем считать отнесенннми к зтой поверхности S v Позтому в уравнении (62.18), если S заменить через остается одно неиз-

276

вестное — плотность слоя ер. Не приводи подробностей дифференцирования і(62.18) и опуская сложньїе преобразования, напишем окончательньїй результат

отдаленньїх горньїх районов, где (Ну — НІ) достигают значительной величини, будет также мало вследствие того, что ато влияние определится вираженнями

Н у — Н у

---- :----- - при большом значений] знаменателей. Следовательно, для равнинннх

районов второй интеграл в уравнении (62.19) может не приниматься во внима-

Решая интегральное уравнение (62.20), получаем внражение для ф. После

тюдстановки его в (62.17), т. е.

Ф da

ч

R — радиус сфери а, т. е. радиус земного шара, которнй следует положить фавннм среднему радиусу Земли

R = y ra2b.

Злемент поверхности do можно виразить так:

277

Тогда вьіражение (62.21) для Т примет вид

Как показали исследования, ошибка в £, вьізванная заменой поверхности Земли S x сферой а в равнинньїх районах, — величина третьего порядка ма-

для Т, учитьівающая рельєф Земли, полученная на основе (62.19), может бьіть написана так:

Г л а в а X

УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСНЬІХ ЛИНИЙ

§ 63. Общие сведения

Уклонение отвесной линии в первом приближении можно определить как угод между направлением нормали к поверхности зллипсоида и направлением отвесной линии в исследуемой точне (точное определение зтого понятия дано в § 65.

Уточним зто понятие.

Если уклонение отвесной линии определяется как угол между нормалью

Абсолютное уклонение отвесной линии зависит только от распределения масс Земли. Относительное уклонение отвесной линии зависит от распределе­ ния масс Земли и принятьіх размеров и ориентировки референц-зллипсоида. Чем значительнее отступает референц-зллипсоид от общего земного зллип­ соида, тем больше в среднем относительнне уклонения отвесньїх ЛИНИЙ. При зтом влияние отступления референц-зллипсоида от общего земного зллипсоида на величину относительннх уклонений отвесньїх линий будет носить систематический характер и, как правило, проявляться тем заметнее, чем обширнее область земной поверхности, к которой относятся зти уклонения отвесньїх линий.

Направление отвесной линии определяется на земной поверхности из астрономических наблюдений путем внвода астрономических координат ер и X. Направление нормали на поверхности референц-зллипсоида определяется геодезическими координатами В и L. Отсюда следует, что относительнне укло­ нения отвесньїх линий могут практически определяться из соответствующего сопоставления астрономических и геодезических координат. Позтому относительньїе уклонения отвесной линии назнвают также а с т р о н о м о - г е о д е - з и ч е с к и м и .

Можно дать и несколько иное определение уклонения отвесной линии. Поскольку направление отвесной линии совпадает с действительньїм напра-

влением вектора силн тяжести g, а направление нормали к зллипсоиду может определяться нормалью к поверхности уровенного зллипсоида, то уклонение отвесной линии можно определить как угол между направленнями векторов действительного и нормального полей силн тяжести. Если за уровенньїй зллипсоид нормальной сильї тяжести взять общий земной зллипсоид, то угол (і >у) внразит абсолютное уклонение отвесной линии, а если референц-зллип­ соид, то относительное.

Отметим значение уклонений отвесньїх линий.

^ 1- Уклонения отвесньїх линий — удобнне види характеристик отступлений действительного гравитационного поля Земли от некоторого другого, назнваемого нормальним; уклонения отвесньїх линий так же, как и внеотн геоида (или квазигеоида) над референц-зллипсоидом, непосредственно используютея для изучения фигури Земли.

279