Закатов Вища геодезія 1

Позтому

где под б следует понимать плотность тела в малой окрестности вокруг притягиваемой точки. Если в исследуемой точке нет притягивающих масо, т. е. 6 = 0, уравнение Пуассона обращается в уравнение Лапласа. Иначе говоря, уравнение Лапласа можно рассматривать как частнмй случай уравнения Пуассона, когда 6 = 0 .

Уравнения Лапласа и Пуассона являются фундаментальними в теории потенциала.

Определение внешнего потенциала Земли и изучение ее фигурьі основьіваются на интегрировании уравнения Лапласа при дополнительннх условиях, вмтекающих из существа конкретной задачи.

Функции, непрернвньїе во всех точках данной области вместе с их первьіми и вторшми производньїми и удовлетворяющие уравнению Лапласа (57.6), назьіваются г а р м о н и ч е с к и м и ф у н к ц и я м и в зтой области.

Потенциал притяжения для точек в области, не занятой притягивающими массами, будет всегда гармонической функцией; иначе говоря, в любой точке пространства вне притягивающего тела потенциальная функция V всегда будет удовлетворять уравнению Лапласа A2F = 0.

В каждой точке внутри притягивающего тела потенциал сильї притяже­ ния будет удовлетворять уравнению Пуассона

A2F = —4rt/6.

Если первьіе производньїе от потенциала по осям координат представляют собой проекции сильї на соответствующие оси или, иначе говоря, определяют направление нормали к данной уровенной поверхности, то вторне производ­ ньїе потенциала притяжения определяют форму или кривизну уровенной по­ верхности в данной точке.

Из уравнения Пуассона следует, что если плотность имеет скачкообразное изменение, то и кривизна уровенной поверхности изменяется скачком; зто бнвает, в частности, в том случае, если данная уровенная поверхность пересекает физическую поверхность тела.

250

§ 58. Потенциал сильї тяжести, его основньїе свойства

Напишем известное вьіражение для сили тяжести

g = F + Q .

Потенциал сили притяжения найден в § 53; для получения сили тяжести найдем потенциал центробежной сили Q. Центробежная сила при т = 1 внражается уравнением

Q = со2р.

Если во взятой системе прямоугольннх коор­ динат ось z совместить с осью вращения, то цен­ тробежная сила будет параллельна плоскости ху и составляющая зтой сили по оси z будет равна нулю. Определим составляющие ее по осям х и у. Центробежная сила направлена по радиусу р (рис. 111). Имеем:

х = р cos а

251

Отсюда заключаем, что функция W, определяемая уравнением (58.8), является п о т е н д и а л о м с и л ь ї т я ж е с т и . П о т е н ц и а л с и л ь ї т я ж е с т и р а в е н с у м м е п о т е н ц и а л о в с и л ь ї з е м н о г о п р и т я ж е н и я и ц е н т р о б е ж н о й с и л ь ї .

б — обгемная плотность.

Остановимся подробнее на свойствах потенциальной функции, изложенннх в § 55, применительно к потенциалу сили тяжести.

1. Согласно (55.6), можем написать, что

пр а в л е н и е .

2.На оснований (55.12) при cos (g-, s) = 0, т. е. при перемещении материальной точки в направлений, перпендикулярном силе тяжести, будем иметь

поверхностей сильї тяжести. В каждой точке такой поверхности с и л а т я ж е -

252

с т и н а п р а в л е н а п о н о р м а л и к з т о и п о в е р х н о с т и , а с о с т а в л я ю щ и е с и л ь ї т я ж е с т и п о к а с а т е л ь н о й к п о ­ в е р х н о с т и в л ю б о й т о ч н е р а в н ь ї н у л ю .

Поверхность жидкости в спокойном состоянии представляет собой уро-

сила тяжести по касательной к которой в любой точне и в любом направлений равна нулю.

Меняя в (58.13) значение С, получаем разнне уровеннне поверхности. У р о в е н н а я п о в е р х н о с т ь , с о в п а д а ю щ а я с н е в о з - м у щ е н н о й п о в е р х н о с т ь ю о к е а н о в , н а з и в а е т с я п о -

в е р х н о с т ь ю г е о и д а .

3. Вьіражения (55.17) для потендиала силн тяжести примут вид:

(58.14)

Зти зависимости соответствуют случаю, когда в виражений (58.12) cos (g, s) = —1, т. е. когда перемещение точки происходит в направлений, противоположном направленню сили тяжести, a dh представляет собой расстояния между уровенньїми поверхностями W и W + dW.

Последнее уравнение из (58.14) показьівает, что расстояния между двумя близкими уровенннми поверхностями не равнн в разньїх точках, а обратно пропорциональньї силе тяжести, действующей в зтих точках. На полюсе, где сила тяжести имеет максимальнеє значение, уровеннне поверхности сближаются, а на зкваторе расходятся.

Из последних уравнений также следует, что dh — величина одного по­ рядна с dW и ни при каких условиях dh не может обратиться в нуль, если dW Ф 0 (так как g — конечная величина), позтому уровеннне поверхности между собой не пересекаются.

Из тех же формул следует, что уровеннне поверхности не «параллельнн» между собой.

Непараллельность уровенннх поверхностей влияет на определение висот точек земной поверхности, получаемнх из геометрического нивелирования.

Интегрируя второе из уравнений (58.14), получаем

(58.15)

где под dh можно понимать измеренное превншение, определяемое как разность отсчетов по задней и передней рейкам с одной установки нивелира.

Если зто суммирование превншений исполнено между некоторнми двумя точками физической земной поверхности А и В (рис. 112), расположенннми на конечном расстоянии и на разннх уровенннх поверхностях, то будем иметь

в

(58.16)

А

ЙЛИч,

(58.17>

g

где g — некоторое значение сили тяжести:

Нв — Н А = АН — превншение точки В над точкой А.

253

Разность потенциалов W А — W B постоянна. Отсюда следует, что разность внсот точек А и В будет долучать различнне значення при разном ви­ боре величини g.

Из (58.16) следует, что разность потенциалов может бить определена из данннх нивелирования при условии измерения сили тяжести вдоль линии ниве­

Из (58.18) следует, что, зная значение потенциала сили тяжести в исходном пункте, можно получить из результатов нивелирования значение потен­ циала для любой точки земной поверхности. При зтом, учитнвая современную високую точность нивелирования и измерений сили тяжести, ошибка определения потенциала WB будет зависеть от ошибки, с которой известна постоянная W 0. Заметим также, что разность потенциалов W А — W B, при внчислении ее по формуле (58.16), не зависит от пути нивелирования.

Непараллельность уровенннх поверхностей можно доказать, не прибегая к общей теории потенциала.

Рассмотрим две уровеннне поверхности ab и а 1 Ь1 (см. рис. 112) и допустим,

что они весьма близки одна к другой. Ускорение сили тяжести в точках а и b обозначим через g t и g 2, а отрезки нормали к уровенной поверхности ааг и bbx

— через ЛАХи АА2. Из механики известно, что материальная точка, перемещаясь из одной уровенной поверхности на другую, производит механическую работу, внражаемую произведением gh, причем зта работа не зависит от пути перемещения, а только от положення конечних точек. Следовательно, мате-

254

риальная точка, перемещаясь по нормали аах и ЬЬ1 произведет одинаковую

работу. Поатому можно написать равенство

gi Ahx= g2 Ah2.

= С, зависит главньїм образом от силн притяжения, так как влияние центробежной сили мало. Действительно, взяв наибольшее значение центробежной

Следовательно, величина q одного порядка со сжатием Земли а.

При последующих виводах формул величини а и q будут приниматься малими величинами первого порядка. Если удерживать члени только с а или q и пренебрегать членами с а 2 и q2, то будем допускать ошибку порядка

("Шо)* =0.00001.

Такая точность формул даст ошибку в ускорении силн тяжести около 10 мгл. Поскольку ускорение силн тяжести внчисляют с ошибкой до сотих частей миллигала, то в соответствующих формулах необходимо удерживать величини до второго порядка малости включительно, т. е. до а 2 или q2.

Величина центробежной сили и ее направление, как и закон ее изменения на земной поверхности, хорошо известнн. Отметим, что центробежная сила действует только на материальнне точки, жестко связаннне с телом Земли. Если не принимать во внимание атмосферу, вращающуюся вместе с Землей, то можно сказать, что для точек, не связанннх с Землей, центробежная сила равна нулю, а сила тяжести обращается в силу притяжения. В действитель-

255

кривизну уровенной поверхности, и там, гдеплотность меняется скачкообразно, кривизна уровенной поверхности также претерпевает скачкообразньїе изме­ нения. Зтот внвод имеет важное значение для изучения фигурьі геоида. Его иоверхность пересекает массьі разной плотности; в зтих местах кривизна по­ верхности геоида также меняется скачкообразно. Резкие изменения плотностей происходят и на самих материках в зависимости от структурьі и состава земной кори и форми земной поверхности. В атом случае они визивают скачкообразнне изменения кривизни геоида.

Кривизна геоида меняется скачком прежде всего на берегах морей и океанов, а также там,1где геоид пересекает горньїе породи разной плотности.

Вместе с тем все уровеннне поверхности и геоид, как одна из атих поверх-

тяжения, всюду непрерьівнн. Поскольку первне производньїе определяют направление векторов сили, т. е. силових линий, то и последние также непреривнн.

§ 59. Теорема Клеро

Клеро дал вьівод своей теореми, основнваясь на исследованиях фигур равновесия тел с неоднородной массой. При атом он предположил, что Земля по форме — аллипсоид вращения с малим сжатием, состоящий внутри из аллипсоидальннх слоев, имеющих общий центр и совпадающие главнне оси инерции; каждьій слой однороден по плотности, но закон изменения плотностей при переходе от слоя к слою произволен.

Приведем один из внводов теореми Клеро, основанний на теории потен­ циала и, в частности, на использовании вираження для потенциала сили тя­

256

Преобразуем внражение для потенциала центробежной силн, т. е, последний член формульї (59.5).

Возьмем отношение центробежной силн к силе тяжести на екваторе, т. е.

Так как q — малая величина первого порядка, можем заменить g Q черев

т. е. притяжением шара массн М на точку земного зкватора. Получим

Пользуясь полученннм приближенннм внражением для потенциала силн Мжести, напишем уравнение уровенной поверхности, отклонения которой От поверхности геоида не превосходили бн величин первого порядка малости.

Зто уравнение имеет вид

Зтот внвод получен на основе теории потенциала сильї тяжести на Земле; в процессе вьівода принята только одна гипотеза, что Земля — тело вращения, по форме незначительно отступающее от шара.

Существенно заметить, что полученннй вьівод справедлив только в том случае, если все массн находятся внутри геоида, так как только при зтом условии можно разложить потенциал сильї тяжести в ряд. Зто понятно, так как ми уже установили, что в пересечении геоидом материков, когда притягивающие массн оказнваются вне геоида, его кривизна меняется скачком, а поверхность геоида под материками внражается другой аналитической функцией, чем на море. Отступления от допущенного условия распределения масс в теле Земли но долготе также вьізьівают соответствующие отклонения фигурн геоида от поверхности зллипсоида вращения. Зти замечания должнн приниматься во внимание при детальном изучении фигурьі Земли; в то же время влияние зтих отступлений от реальних условий вьіражается величинами, хотя далеко не пренебрегаемнми, но не могущими изменить сделанньїй внвод о том, что фигура геоида близка к фигуре зллипсоида вращения.

Зллипсоид вращения, поверхность которого внражается уравнением (59.14),

на уровенной поверхности, определяемой уравнением (59.14), т. е. на «идеальном геоиде». Из (58.14) имеем

(знак минус взят потому, что сила тяжести направлена внутрь, а производная берется по направленню внешней нормали).

В (59.17) значение силн тяжести внражается как производная от потенциала по нормали «к идеальному геоиду» с точностью до малих величин первого порядка, имеющему форму зллипсоида вращения. Однако в (59.5), внражающем потенциал силн тяжести, направление нормали не входит; определим, к а к у ю

258