Закатов Вища геодезія 1

Из формул (65.17), как и, формул (65.18) (65.19), следует, что для определения астрономо-геодезических уклонений по рассматриваемому методу в какомлибо пункте триангуляции должньї бить известньї также точньїе астрономические координатьі — широта и долгот срл и А,а . Как увидим далее, для строгого решения редукционннх задач и вьічисления вьісот точек Земли над референц-зллип- соидом уклонения отвесной линии должньї бить известньї для каждого пункта триангуляции 1 класса, а в горньїх районах и для пунктов триангуляции 2 класса. Следовательно, для применения астрономо-геодезического метода уклонений отвесньїх линий необходимо на каждом пункте триангуляции 1 класса, а в указанньїх особьгх районах и на пунктах триангуляции 2 класса определить астрономические координати. Зто требование делает практически неосуществимнм применение астрономо-геодезического метода вьівода уклоне­ ний отвеса на значительньїх территориях.

Итак, оба рассмотренньїх метода вьівода уклонений отвесньїх линий, взятне отдельно, не могут бьіть практически примененьї по разньїм причинам, указан-

основанньїй на совместном использовании астрономо-геодезических и гравиметрических измерений.

§ 66. Астрономе-гравиметрический метод вьівода уклонений отвесньїх линий

Допустим, что на территории страньї вьшолнена сплошная гравиметрическая сьемка и создана астрономо-геодезическая сеть. В СССР, например, планомерно вьшолняемая гравиметрическая сьемка производится с 1934 г. и к настоящему времени ею покрьіта большая часть территории нашей страньї.

и, кроме того, между ними, вдоль рядов 1 класса, — через 70—100 км определяются на пунктах триангуляции астрономические широтьі и долготьі.

Виберем на территории страньї некоторую точку С и поставим задачей определить в ней астрономо-геодезическое уклонение отвесной линии путем совместного использования материалов астрономо-геодезических и гравиметрических измерений. В общем случае для точки С неизвестньї ни геодезические, ни астрономические координати; ее положение можно определить по какойлибо топографической карте (масштаба 1 : 100 000 и крупнеє). Практически необходимо для геодезии вичислять астрономо-геодезические уклонения отвес­ ной линии тех точек, для которнх известньї только или геодезические или астрономические координати. Для точек, имеющих геодезические координати (пунктов триангуляции), уклонения отвесньїх линий необходимн для внчисления редукционннх поправок и висот пунктов; для астрономических пунктов — для перехода от астрономических координат к геодезическим по формулам, внтекающим из (63.1).

Вокруг исследуемого пункта С возьмем некоторую область о; пустьвлияние аномалий зтой области на величину полного уклонения отвесной линии равно иа; остальную часть поверхности Земли обозначим через 2 . Пусть вли-

290

явне аномалий зтой области будет и2. Из основного закона всемирного тяготения следует, что сила притяжения уменьшается пропорционально квадрату расстояния; позтому влияние аномальних масс, характеризующихся аномалиями сили тяжести, на величину уклонений отвесннх линий по мере удаления от исследуемого пункта С будет уменьшаться и приобретать все более и более плавний характер. Позтому можно вибрать такую область а 0 внутри сг, чтобн влияние аномалий сили тяжести области Е на уклонение отвесной линии в зтой Ч>%ласти могло спитаться изменяющимся линейно.

На величину астрономо-геодезического уклонения отвесной линии будет влиять и различие в размерах и ориентировке между референц-зллипсоидом Я общим земним зллипсоидом; обозначим зто влияние через би. Зто влияние,

даже при значительной его величине, будет также изменяться линейно. Следовательно, полное астрономо-геодезическое уклонение можно пред­

ставить в виде трех слагаемнх

Поскольку последние слагаемне и% жби в пределах области а 0 изменяются линейно, то целесообразно поставить задачу их совместного определения.

я

?аг — ІО +

(66.3)

Л аг = Tl o + Д л

Из условия внбора области о следует сделать вьівод, что влияние аномалии сйлн тяжести в границах зтой области должно учитиваться по их действительйнм значенням. Следовательно, полагая аномалии Ag в пределах области а иввестннми, уклонения £а и р о должнн вичисляться по формулам ВенингМейнеса, т. е.

Если область a имеет радиус p, то радиус области a 0 должен бить в 2 —

З раза меньше, т. е. р0о = у ра,

Йспользованием формул (66.4) и данних гравиметрической сьемки в об- •Яасти а решается задача внчисления £0 ит) 0 по (66.3). В дальнейшем слагающие Уклонения и Tj а будем обозначать £гр ит]гр — по методу их внчисления.

Формули (66.4) в пределах ограниченной области можно упростить.

291

Упрощение формул (66.4) и приемн вьічисления по ним при ф до — 10° приведеньї ниже.

Рассмотрим вьічисления вторнх слагаемнх в формулах (66.3) (А £ и Ар). Для их определения в области ог0 должно бьіть не меньше трех ас рономогеодезических пунктов, расположенншх по возможности равномерно и не на

ности ( £аг — ігр) и (ті аг — ц гР) определят поправки А І и Аті. Между данньши

астрономо-геодезическими пунктами (по условию) зти поправки в пределах области а о изменяются линейно. Позтому, применяя линейное интерполирование, легко вичислить значення А | и Ар для любой точки области о 0, расположенной между астрономо-геодезическими пунктами. Если астрономо-геодези- ческих пунктов больше трех, то интерполяционнне козффициентн определяют

уклонений отвесной линии без приведення подробностей математических исследований, вьшолненннх при его разработке. Описанннй метод вьшвляет достоинство совместного использования материалов астрономо-геодезических и гравиметрических измерений.

Точность определения Іаг и Т]аг изложєнннм методом зависит от ошибок

определения Ігр, і]гр и поправок Д£, Ат|. Ошибки £гритігр зависят: от размера учитнваемой при интегрировании области а, от аномальности района, от правильности изображения аномальних полей на гравиметрических картах. При зтом в основном влияют ошибки учета аномалий сили тяжести вблизи исследуемого пункта, в зоне от 0 до ЗО—50 км. Позтому для повншения точ­ ности определения Нгр и ті гр необходимо сгущение гравиметрической сьемки внутри зони зтого радиуса, а также расширение области интегрировании б путем использования данннх хотя би более редкой сети гравиметрических пунктов. При таких условиях ошибки вьівода £аг ит]аг можно довести в равнинннх, неаномальннх, районах до 0,2—0,3". Внвод уклонений отвеса в горньїх районах сильно усложняется действием ближайших горннх массивов;в зтих районах необходима более густая сеть гравиметрических пунктов; внчисление £гР и т| Гр должно производиться по более точним и сложннм формулам, учитьівающим влияние рельефа.

Учитнвая большую практическую значимость астрономо-гравиметриче­ ского метода внвода уклонений отвеса, далее приводим упрощение формул (66.4) для интегрирования в зоне при ф от 0 до 9°, излагаем применяющуюся методику вичислений 1о, т]0 ш Д£, Дт] в равнинном районе.

1. Упрощение формули для вичисления гравиметрических уклонений отвесной линии

При значений ф от 0 до 10° в виражений (66.5) для функции Q можно поло­ жить sin у = Ои cos -у- = 1.

292

Тогда долучим

После подстановки числових значений р" = 206 265 и g = 981 000 млг — среднего значення сили тяжести для Европейской части СССР — формула (66.7) примет вид

Для того чтобьі установить степень приближенности формули (66.8), при­ ведем результати подсчетов числових значений функции Q и разностей Q — Qі (табл. 18).

На оснований табл. 18 можно долучить змпирическим путем более точное внражение для Q

В пределах ф от 0 до ~ 10° — величина Q2, вьічисляемая по приближенной формуле (66.9), практически совпадает с соответствующими значеннями Q, внчисляемьіми по точной формуле (66.5), но при ф > 1 0 ° значення функции Q, *нчисляемне по указанннм двум формулам, имеют значительнне расхождения; йоатому формула (66.9) для Q 2 может употребляться только при ф < 1 0 ° .

Преобразуем Q2, введя вместо углового расстояния ф линейное расстояние г по дуге большого круга, т. е.

где R — средний радиус Земли.

293

то

(?2 = Q , + 0 ,0 0 7 2 ^ = -^ - {(-^f-+ Щ -) + 3} + 0,0072 TTO

ИЛИ

где г г — верхний предел интеграции, равньїй примерно 1000 км.

Формули (66.15) позволяют практически достаточно точно решать задачу внвода уклонений отвесннх линий с учетом влияния аномалий в радиусе до 1000 км.

Интегрирование по формулам (66.5) не может бить внполнено аналитически, так как нам известни лишь числовне значення входящих под знак интеграла аномалий сили тяжести Ag для некоторнх дискретних точек. Позтому интегрирование должно проводиться численним методом, как суммирование по злементарннм участкам, на которне подразделяется область интегрирования. Число таких участков должно бить достаточно велико для того, чтоби процесе суммирования приблизить к процессу интегрирования. Очевидно, каждая из суммируемнх величин должна бить виражена ее ередним значением на данном злементарном участке. Однако с применением метода численного интегриро­ вания возникает затруднение при подечете влияния зони, непосредственно окружающей данную точку. Действительно, функция Q при г = 0 обращаетея

294

(66.15) обращаются в неопределенность, и обьічньїй процесе суммирования становится невозможннм. Таким образом, влияние ближайшей зони, за коти­ рую принимают зону при г от 0 до 5 км, учитнвают специальнмм методом отдельно от области, лежащей в пределах от 5 до 1000 км. Следовательно, внчисление по формулам (66.15) для зони радиусом в 1000 км разбиваетея на две части: учет влияния ближайшей зони от 0 до г0 (5 км) и учет влияния осталь-

Если Ag постоянно, то последние вираження обращаются в нуль; позтому написаннне формули будут верни, если вместо Ag написать Ag — Ag0, где Ag0 — постоянная величина, за которую в данном случае внгодно принять аномалию сили тяжести в исследуемом пункте.

Таким образом, имеем для t"o r<j

295

Подставляя числовое значение в! 0,105", получаем окончательно:

Для пх определения рекомендуется поступать следующим образом.

Пусть О — точка, для которой вьічисляется уклонение отвесной линии (рис. 124). Проводим направление максимального градиента, т. е. направление, перпендикулярное к изолиниям и проходящее через данную точку, в обе сто­ рони от точки О. Определив значення аномалий сили тяжести на расстоянии, равном г0, в обе сторони от точки О, т. е. Дg 2 и Ag-^ получим максимальний

Измерим транспортиром угол а между направлением максимального градиента и направлением оси Ох\ будем иметь:

Значение поправки за влияние аномалий в центральной зоне мало; в то же время определение горизонтальних градиентов по осям х жу описанньш спо-

хсобом производится ненадежно, если имеется только общая гравиметрическая сьемка с расстоянием между пунктами около 33 км. Позтому при виводе уклонений отвесннх линий только по материалам общей гравиметрической сьемки влиянием зони можно пренебречь.

Влияние центральной зони следует непременно

3. Учет влияния кольцевьіх зон (при радиусе до 1000—2000 км)

Остановимся на общей методике учета влияния аномалий сили тяжести кольцевнх зон, расположенннх вокруг данного пункта. Задача заключается в суммировании и получении для некоторнх малих участков, принимаемнх за алементарнне, значений AgQ2 cosa и AgQ2 sin a , являющихся подннтегральннми функциями в вираженнях (66.15). Для зтой цели в масштабе гравиметрической картиДетройт специальную сетку на прозрачной кальке или целлулоиде. На зтой сетке, назнваемой п а л е т к о й, проведеньї из центра радиальнне лучи и окружности разньїх радиусов, разбивающие цоверхность палетки на кольцевне сектори. Внше указнвалось, что по мере удаления от

296

исследуемого пункта влияние аномалий сильї тяжести ослабевает; зто обстоятельство позволяет определить величини AgQ2 cos а и Ag(22 sin a с разной точностью, в зависимости от радиуса зони. В настоящее время принято учет влияния аномалий сильї тяжести в радиусе от 5 до 1000 км производить по частим, т. е. в радиусе:

1) от 5 до 102,5 км; при зтом употребляется палетка № 1; учет влияния

вмасштабе 1 : 10 000 000;

3)от 305 до 1000 км; употребляется также палетка № 2 и карта в масштабе

1 : 10 000 000.

Остановимся на методах расчета палеток.

При расчете палеток ставилось условие, чтобьі влияние аномалий сили тяжести на уклонение отвесной линии каждой ячейки палетки било одинаковое. Но при таком методе расчета палетки величина ячегк, находящихся под разннми азимутами, получается неодинаковой. Вследствие зтого точность определения средних значений аномалий в разних ячейках одного и того же ралиуса получается различной. Кроме того, при определении средних аномалий для внвода уклонений отвеса в меридиане и первом вертикале палетку необходимо поворачивать на 90°, что нередко вьізьівает путаницу при внчислении. Позтому в настоящее время палетки строят так, чтобьі проводить радиусн на одинаковом угловом расстоянии.

Расчет палетки в зтом случае производится следующим образом.

Для внчисления по (66.15) разобьем области интегрирования*на три кольцевне области приблизительно следующих радиусов: от 5 до 100 км, от 100 до 300 км и от 300 до 1000 км. Каждую из зтих областей разделим на концентрические зоньї р а в н о г о влияния. Определим радиусн зтих'зон. Для зтого ставим условие, чтобьі существовали равенства:

Разобьем область интегрирования от 5 до 100 км на 16 равннх секторов, т. е. проведем радиусьі через 22,5°, а две другие кольцевне области (от 100 до 300 км и от 300 до 1000 км) — на 24 равннх сектора, т. е. проведем радиусн через 15°.

Обозначим через Ag* среднюю аномалию в ячейке, лежащей в зоне с номе­ ром к и имеющей в зтой зоне номер і. Переходя от интегральннх формул (66.15) к формулам конечннх суми и учитнвая (66.23), получаем

16 8 24 13

297

Аналогично атому для rj "

16 8 24 13

После атого по формуле (66.25) внчисляем значення rk с использованием для определения Р 1ч Р 2, Р 3 виражений (66.28)—(66.30) и числових значений

Для внчисления первого члена формули (66.26), соответствующего зоне от 5 до 100 км, применяется палетка № 1 (рис. 125), на которой окружность разделена на 16 секторов, а радиусн рассчитанн по формуле (66.25) при значе-

Палетку накладнвают на гравиметрическую карту масштаба 1 : 1 000 000 так, чтобьі центр палетки совпал с исследуемнм пунктом, а линия NS палетки совпала с меридианом, проходящим через данньїй пункт. После зтого для каждой ячейки определяют среднее значение аномалии Ag-. В пределах сектора, ограниченного двумя смежними радиусами, значення средних аномалий отдельннх ячеек суммируют, затем умножают на косинус азимута данного сектора і.

8

Таким образом получается величина 2 Ag’tcosa;. Величини, полученньїе для k=i

каждого сектора, суммируют и умножают на 0,005". Внчисленное таким обра­ зом число и будет представлять собой значение члена

16 8

/=і k=i

дающего уклонение отвесной линии в зоне радиуса от 5 до 100 км. Образец карти с наложенной палеткой № 1 дан в прил. 5.

Аналогично атому внчисляют уклонение отвесной линии в нервом вер­ тикале; различие заключается лишь в том, что суммьі аномалий умножаются на синуси азимутов секторов.

Второй и третий члени формули (66.26) внчисляют так же, как и первмй.

Поскольку значення отих членов, представляющих собой влияние анома­ лий сили тяжести в зонах с радиусами от 100 до 300 км и от 300 до 1000 км,

298

меньше, чем в зоне с радиусом до 100 км, постольку для определения средних аномалий принимают гравиметрическую карту в масштабе 1 : 10 000 000.

Соответствующая палетка изображена на рис. 126 (палетка № 2); принцип ее построения такой же, как палетки № 1.

N

16

Вьіше указано, что при наличии только общей гравиметрической сьемки аномалии в зоне от 0 до 5 км могут не приниматься во внимание или учитнваться приближенно. При атом полагают, что во всей центральной зоне анома­ лія сильї тяжести может бьіть виражена формулой

{Горизонтального градиента аномалии, принимаемое постоянньїм вдоль данного радиуса.

299