Закатов Вища геодезія 1

В практико для численного интегрирования аномалий внутри пятикилометровой зонн или на окружности радиуса 5 км наносят восемь точек через равньїе интервальї. Определяют для каждой точки Ag и cos а, используя па-

І

N

S

А

Рис. 126

тетку № 1, на которой указанньїе восемь пунктов обозначенн точками на внутренней окружности. Формула для вичислений имеет вид

/ г= 8

300

Если обозначить через £0_ 100, £юо-зоо и Ізоо-юоо слагаемне уклонений отвесной линии в меридиане, обусловленнне аномалиями в зонах от 0 до 100 км, от 100 до 300 км и от 300 до 1000 км, то для вичисления гравиметрических уклонений ^гр Ит]гр отвесньїх линий получим формули:

4.Вьічисление поправок за влияние аномалий дальних зон

иза переход к системе геодезических координат

Для вьічисления названньїх поправок, учитнваемнх суммарно, необходимо на территории участка или вблизи него иметь астрономические пункти, совмещеннне с геодезическими. Рассмотрим способ вичисления атих поправок

гСледовательно, имеем: для пункта М

фм — астрономическая широта,

Вм — геодезическая широта; для пункта N

Фя — астрономическая широта, BN — геодезическая широта.

Для пунктов М и N астрономо-геодезические уклонения отвесннх линий имеют вид:

* ігр. Расхождения междуі | аг и £гр будут обусловленн неучетом действия дальних зон и несовпадением референц-аллипсоида с общим земним аллипсо- ■Дом, т. е. разности

_ д*.М bar Ьгр — ^Ь

^УДут поправками за влияние дальних зон и за переход к системе геодезических координат в точках М и N. Внше указнвалось, что в пределах сравнительно иебольшого района ати поправки могут спитаться изменяющимися линейно,

301

Для точки С7, находящейся на том же меридиане между пунктами М и N, по­ правку Д внчисляют по формуле

где s — расстояние между пунктами М и 7V;

— расстояние между М жС. Аналогично атому получается и Дцс-

В общем случае, когда на территории участка имеется несколько (п) совмещенньїх астрономических и геодезических пунктов, задача вьічисления попра­ вок Д і и Дт) решается следующим образом.

По трем пунктам можно составить шесть уравнений вида (66.39), которьіе необходимьі для определения коаффициентов. Обьічно стремятся иметь более трех пунктов, и внвод интерполяционньїх коаффициентов производят, применяя способ наименьших квадратов.

После определения интерполяционньїх коаффициентов х, у и z искомую поправку для точки к с координатами ф* и XI найдем по формулам:

Наиболее удобное размещение совмещенннх астрономо-геодезических пунк­ тов — расположение их в вершинах многоугольника, внутри которого нахо дится участок. Не рекомендуется использовать такие пункти, которьіе расположенн на расстоянии более 500 км.

Избнточное (более трех) число астрономо-геодезических пунктов используется и для оценки точности вьівода Д І и Дт| .

Вичислив для каждого астрономо-геодезического пункта, согласно (66.40), величини Д і и Дц , найдем разности:

302

§ 67. Влияние уклонений отвесньїх линий на астрономические азимути — уравнение Лапласа

Обратимся вновь к рис. 119, из которого следует:

303

Пользуясь уравнением (67.11), можно перейти от астрономических азимутов к геодезическим.

В триангуляции 1 класса астрономические определения азимута вьшолняют на пунктах внходннх сторон базисних сетей. Зенитнне расстояния по внходннм сторонам в большинстве случаев весьма близки к 90°; позтому в правой части уравнения (67.11) значение tg z достаточно велико (не менее 150 — 200) по сравнению с числителем, равньїм нескольким секундам, т. е. значение зтого второго члена обьічно не превосходит 0,02—0,03". Следовательно, вторим членом в уравнении (67.11) можно пренебречь. Тогда уравнение (67.11) примет вид:

Am = 0tm— (k— L) sin ф

Таким образом, р а з н о с т ь а с т р о н о м и ч е с к о г о и г е о д е - з и ч е с к о г о а з и м у т о в н е к о т о р о г о н а п р а в л е н н я в д а н - н о й т о ч к е р а в н а р а з н о с т и а с т р о н о м и ч е с к о й и г е о - д е з и ч е с к о й д о л г о т , у м н о ж е н н о й н а с и н у с ш и р о т и з т о й т о ч к и .

Возвратимся к уравнению (67.11). В правую часть зтого уравнения два поправочних члена:

Первнй главний член постоянен в данной точке, так как он зависит только от координат и не зависит от направлення. Зтот член внражает собой влияние на азимут направлення несовпадения плоскостей астрономического и геодезического меридианов. Второй член уравнения вьтражает влияние на измеренное направление несовпадения вертикальной оси инструмента с нормалью к поверхности зллипсоида. Позтому его можно рассматривать как поправку за уклонение вертикальной оси инструмента от нормали к поверхности принятого рефе- ренц-зллипсоида, которую следует вносить в измеряемне горизонтальньїе направлення. Иначе говоря, второй член можно рассматривать как редукцию измеренньїх горизонтальних направлений за переход к референц-зллипсоиду.

304

J

Докажем, что Лапласовн азимутн, полученнне в различньїх пунктах триангуляции, можно практически считать независимнми. Представим себе ї'ввено триангуляции 1 класса, на обоих концах которого опредсленн Лапласовн азимутн. Из формул (67.12) следует, что ошибка Лапласова азимута тпа зависит от ошибок определения астрономического азимута та, астрономической долготн т% и геодезической долготн mL. Обьічно в триангуляции 1 класса

та = ±0,5"; тп\ = ± 0,03s или пг\ — ±0,45". Для определения mL исходим из ошибок передачи геодезических координат по ряду, так как долготн определяют последовательннм внчислением координат вдоль ряда. Вспомним, что продольньїй и поперечний сдвиги в звене триангуляции 1 класса характеризуются в линейной мере величиной порядка 0,7 м. Соответствующая ошибка в долготе, вьтраженная в секундах дуги, будет равна для средних широт 0,04";

независимн. Следовательно, и геодезические азимути, полученнне п'о[формуле (67.12), на разннх пунктах можно считать практически независимнми.

Средняя ошибка таких азимутов с учетом ошибки астрономической долготн на пунктах 1 класса будет равна приблизительно ±0,7".

При развитии триангуляции азимутн Лапласа имеют весьма важное вначение, а именно:

1. Обеспечивают ориентировку всех звеньев и рядов триангуляции с ошибкой одного порядка.

2. Не допускают распространения и в значительной мере исключают систематические ошибки, столь опаснне в большой триангуляции; ошибки в ориентировке триангуляции, появившиеся в одном звене, перестают оказнвать влияние в другом, если на стнке обоих звеньев расположен пункт Лапласа.

Кроме того, азимути Лапласа позволяют путем соответствующей обработки материалов триангуляции и анализа результатов исследовать величини и характер систематических ошибок и причини их возникновения. Малая вели­ чина систематических ошибок на каждом пункте, в то же время существенное влияние их на точность триангуляции в целом делают задачу исследования зтих 9пгабок весьма сложной, но актуальной.

3.Доставляют триангуляции твердне азимутн, которне позволяют вво­ дить при уравнивании азимутальнне условнне уравнения, способствующие получению более точних значений всех злементов, в том числе и координат пунктов.

4.Дают возможность осуществлять надежннй контроль углових измерений

?триангуляции, в частности обнаруживать такое накопление ошибок, которое Другими путями не может бьіть виявлено. Действительно, свободньш член азимутального условного уравнения включает в себя сумму ошибок углов ходовой линии по всему ряду. В определенннх случаях отдельнне крупнне

ошибки и во всех случаях малне ошибки, но действующие систематически и однообразно, не вьіявляются в свободньїх членах других условннх уравнений — фигур, бокових и базисних. Таким образом, о многих существенньїх недостатках в постановке угловнх измерений и о действии систематических ошибок можно судить только по свободному члену азимутального условного Уравнения.

Обратимся к рис. 119. Нужно определить разность зенитньїх расстояний Z^— z, которая получается от несовпадения отвесной линии A z x с нормалью к поверхности зллипсоида Az. Для зтого в треугольнике mzzx из точки z про­ ведем дугу перпендикулярно к mzx. Учитьівая современнуюточность измерения зенитньїх расстояний и малую величину уклонения и,

8 можем написать:

ления превьішений ВЬІПОЛНЯТЬ, пользуясь зтим геодезическим зенитньїм расстоянием, то, очевидно, МОЖНО бьіло бьі получить превьішения относительно поверх­ ности зллипсоида. Так как внсотьі точек земной поверхности вьічисляют относительно квазигеоида, то п р а к т и ч е с к и п о п р а в к у Z — z в в о д и т ь в и з м е р е н н ь ї е з е н и т н ь ї е р а с с т о я н и я п р и в ь і ч и с л е н и и в и с о т п у н к т о в не с л е д у е т. Однако на точность геодезического нивелирования уклонения отвесньїх линий могут иногда существенно влиять.

При виводе формул тригонометрического нивелирования * участвует радиус дуги ab (рис. 128). Дуга аЬ представляет собой сечение геоида,но принимается за дугу окружности с радиусом R. Прямьіе АС и ВС совпадают с направлением отвесньїх линий **. При вьічислении поправочного члена в формуле

где к — козффициент земного преломления, значение радиуса R берется равннм среднему радиусу кривизни. Но зто било би справедливо, если би АС и ВС совпадали с нормалями к поверхности зллипсоида, кривизне которой и соответствует значение радиуса R , используемого при вьічислении превьіше­ ний из геодезического нивелирования. Вследствие уклонения отвесннх линий

* Ф. Н. К р а с о в с к и й и В. В. Д а н и л о в. «Руководство по вьісшей геодезии».

Ч.1. Вьіп. 2. М., Геодезиздат, 1939, стр. 390.

**Следует иметь в виду, что отвеснне линии в общем случае не пересекаются; точку С

на рис. 128 надо рассматривать как пересечение проекций линий АС и ВС на плоскость чертежа, совпадающую с плоскостью нормального сечения с А на В\ в рассматриваемом случае зто замечание практического значення не имеет.

.300

кривизна дуги аЬ в общем случае не соответствует средней кривизне поверхности зллипсоида, позтому, используя указанное значение R, мьі допускаєм

ошибку.

Пусть отвесная линия АС совпадает с нормалью в точне А , в точне же В имеем уклонение отвесной линии 'й, которая на рис. 128 изобрашена прямой ВСг. Следовательно, при вьічислении вьісот фактически берется значение радиуса R — аС, тогда как нужно бьіло бн брать R 1 = аСх. Нетрудно видеть,

л

зтой погрешности в Н 2 — Н г будет приблизительно равно — м.

Необходимо иметь в виду, что могут бить изменения уклонений отвесньїх линий и более 5" (см. примерьі § 73). В зтом случае рассматриваемая погрешность соответственно увеличится.

Однако такая ошибка в передаче висот будет при одностороннем нивелировании. При двустороннем, а также одностороннем нивелировании на расетоянии до 15 км влиянием уклонений отвесннх линий можно пренебречь.

В формуле двустороннего нивелирования поправочний член за кривизну Земли и рефракцию имеет вид

Положим к г — к — 0,06; s — ЗО км, *6'" = 5", тогда получим ошибку около 0,01 м. Следовательно, в двустороннем нивелировании указанное влияние делается пренебрегаемо малим.

§ 69. Об учете влияния уклонений отвесньїх линий при топографических и инженерно-геодезических работах

Уклонения отвесной линии при счьемочньїх работах вообще могут не учитиваться. При топографических работах возникает необходимость спитаться С уклонениями, когда в качестве опорних используются астрономические пункти. Рассмотрим обстоятельства, которие возникают в зтом случае.

Пусть на планшете топографической сьемки дани в качестве опорних два астрономических пункта; для простоти положим, что они рзсположеньї на одном меридиане. Расстояние s между зтими пунктами на поверхности принятого референц-зллипсоида как основа для развития сгемочного обоснования определится по формуле

(69.1)

гДе В х и J52 — геодезические широти указанннх двух пунктов, которие в дан-

20*

и подставляя в (69.1) вместо геодезических широт В г и В 2 их значення согласно (69.2), долучаєм

М. (69.3)

Если слагающие уклонений отвесннх линий в меридиане ^ и | 2 неизвестнн, то использование астрономических широт вместо теодезических по формуле (69.1) вьізьівает ошибку в расстоянии s, равную

(69.4)

Величина ( £ х — £2), представляющая собой изменение слагающих укло­ нений отвесннх линий, в границах трапеции картн масштаба 1:100000 нередко может достигать значення 5—6". В горнмх районах, а также в отдельньїх рай­ онах со спокойннм рельєфом величина (Z)1 — £2) может иметь значительно большие значення (см. примерн § 73).

Полагая ( — £3) = 5", долучаєм ошибку во взаимном положений астро­ номических пунктов, равную 150 м. Таким образом, при s = 30 км относительная ошибка расстояния, вьічисленного по астрономическим координатам, составит 1 : 200. Отсюда следует, что при указанном расстоянии между астрономическими пунктами последние не могут контролировать ходн сьемочного обоснования — теодолитнне и тахеометрические ходьі и фототриангуляционньїе рядн, точность проложения которьіх характеризуется меньшими относительннми ошибками. При увеличении расстояния между астрономическими пунк­ тами относительная ошибка в их взаимном положений будет становиться меньше. Так, при s = 100 км относительная ошибка расстояния, определенная по астрономическим координатам, будет равна около 1 : 700. В зтом случае астрономические пункти уже имеют известное контролирующее значение и могут бить использованьї как опорньїе для увязки простейших ходов сьемочного обоснования — тахеометрических ходов, фототриангуляционньїх рядов. Позтому расстояния между астрономическими пунктами как опорньїмидля топографической сьемки не должнн бить меньше 70—100 км. Но все же ошибки в положений точек еьемочного обоснования относительно опорннх астрономи­ ческих пунктов будут достигать значення порядка 100 м. Позтому астрономи­ ческие пункти могут служить геодезическим обоснованием только для тех топографических сьемок, которьіе не предназначенн для использования при детальних инженерннх изьісканиях и составлении технических проектов обьектов промьішленного строительства. Именно астрономические опорньїе пункти используются как основа для сьемок с целью общего топографического изучения территории и создания топографических планов, для разработки юбщих предварительних проектов строительства, зксплуатации природних ресурсов и т. п.

В труднодоступних районах при создании карти масштаба 1 : 100 000 вьшолнение геодезических работ встречает большие затруднения. В зтом случае определение опорннх пунктов астрономическими методами имеет большие организационнне и зкономические преимущества перед геодезическими. О ш и б к а даже в 150 м во взаимном положений опорннх пунктов, если они расположеньї на расстоянии 100 км, будучи равномерно распределенной на указанном протяжении, не внзовет графически заметннх ошибок во взаимном расположении контуров в любой отдельно взятой части трапеции масштаба 1 : 100 000.

308

f t Методи картографирования отдельньїх районов CGCP предусматривали даютветствующее использование астрономических пунктов в качестве опорних, ЧйЯрвделяемьіх на расстоянии от 80 до 120 км, между которнми развивается •фототриангуляция. Такое использование астрономических пунктов возможно Ш районах с достаточно медленньїми изменениями уклоненийj отвесних

>линий.

<-; Однако изменения уклонений отвесних линий неизвестнн без специального -йюучения района. Позтому при использовании астрономического метода обосноШния топографических сьемок необходимо предварительно провести гравицвтрические работн, чтобн определить изменения уклонений отвесних линий. tHo, помимо зтих изменений, уклонения отвесних линий имеют некоторую лостоянную, систематическую часть для всего района сьемки, которая, согласно ^69.3), не влияет на взаимное положение пунктов. Но она внзнвает смещение всех пунктов на некоторую постоянную величину, в результате чего рамки темочной трапеции оказнваются соответственно смещенннми на местности.

систематическая часть уклонений отвесних линий зависит от многих причин Ж В первую очередь от ориентировки референц-зллипсоида и может достигать наметних размеров — 10" и более. Позтому, если координати опорних астроноййгаеских пунктов не исправлять поправками за уклонения отвесних линий, ’tP при стнке планшетов сьемок, внполненних на основе астрономических Лунктов и пунктов государственной триангуляции, могут иметь место значияНййьнне расхождения контуров по рамкам трапеций.

Ошибки самих астрономических наблюдений мали по сравнению с влиЖйием уклонений отвесних линий; позтому, говоря о точности опорних астро- «омических пунктов, главннм образом приходится иметь в виду неучтенное влияние уклонений отвесних линий.

ч Наилучшее решение задачи по использованию астрономических пунктов ^как опорних при сьемке) при отсутствии опорной геодезической сети — своеЖременная постановка гравиметрических работ и внвод уклонений отвесних &згаий с последующим исправлением астрономических координат по формулам •(63.1). При зтом следует иметь в виду, что ошибки поправок, ВЬІВОДИМЬІХ из гравиметрических наблюдений, в зависимости от района и густоти гравиметрижеских пунктов обнчно колеблются от 0,5 до 2".

* В практике может возникнуть необходимость внполнения топографических работ и более крупного масштаба, чем 1 : 100 000, в районе, значительно удаленном от государственной опорной геодезической сети. В зтом случае, если по условию задания не представляется возможность осуществить связь с госу­ дарственной опорной геодезической сетью, приходится развивать опорную сеть « местннм началом координат. При таких обстоятельствах целесообразно для установлення координат начального пункта внполнять астрономические опреДеления широт, долгот и азимутов, хотя би на одном, а лучше на нескольких пунктах, и после осуществления геодезических связей между ними устанавли­ шать для одного из таких пунктов исходнне координати и азимут. Если в таком «районе имеется гравиметрическая сьемка хотя би в радиусе нескольких сотен **илометров, то целесообразно ее использовать для приближенного внвода укло- у н и й отвесних линий и последующего исправления астрономических коор­ динат.

Использование астрономических данннх для определения системи коорди­ нат и ориентировки локальной опорной геодезической сети позволит с мень- •ИШми затруднениями в дальнейшем и большими удобствами использовать результати топографо-геодезических работ в общегосударственннх целях.

309