Закатов Вища геодезія 1

2. Используя уклонения отвесньїх линий, решают многие редукционньїе задачи вьісшей геодезии. Зто следует из того, что непосредственньїе измерения связаньї с отвесной линией, тогда как математическая обработка результатов геодезических измерений производится на зллипсоиде, на котором основная координатная линия — нормаль к поверхности зллипсоида. Например, го­ ризонтельньїе угльї треугольников триангуляции измеряют двугранниками, ребрами которьіх служат отвеснне линии, так как вертикальньїе оси инструментов устанавливают при помощи уровня, фиксирующего положение уровеьшой поверхности и нормали к ней — отвесной линии. Естественно, что для строгой математической обработки результатов измерений на поверхности аллипсоида необходимо учитьівать несовпадения непосредственно измеренньїх величин с соответствующими геометрическими елементами зллипсоида путем введення редукций в измеренньїе величиньї. Все зти редукции вьічисляются сравнительно

астрономическими и геодезическими координатами. Зто позволяет, зная укло­ нения отвесньїх линий, переходить от астрономических координат ер и X к геодезическим В и L при помощи формул

(63.1)

где Дер и ДА, — весьма простьіе функции слагающих уклонений отвесньїх линий в меридиане и нервом вертикале.

Соотношение (63.1) имеет и другое принципиальное значение: если оба слагаемьіх правой части вьівести из измерений, то тем самьім можно определить две координати точек поверхности Земли, изучение которой составляет гляв­ ную задачу вьісшей геодезии.

Возможность перехода от астрономических координат к геодезическим крайнє важна, в частности при использовании астрономических пунктов как опорних, при топографических сьемках.

4. Посредством уклонения отвесньїх линий осуществляется точний перехо от измеренного астрономического азимута к геодезическому азимуту при помощи уравнения Лапласа (см. § 67). Зтим самим, как увидим далее, создаетея возможность существенного повншения точности астрономо-геодези- ческих сетей.

Уклонение отвесннх линий в какой-либо точке определяетея как разность двух векторних направлений; позтому оно должно определяться двумя параметрами — величиной угла, обозначаемого обьічно и и назнваемого п о д ­ н и м у к л о н е н и е м о т в е с н о й л и н и и , и азимутом ПЛОСКОСТІ!, в которой расположен зтот угол, обозначаемнй ©. Однако чаще уклонения отвесньїх линий определяютея двумя другими величинами: проекцией полного уклонения отвесной линии и на плоскости меридиана и первого вертикала данной точки. Проекция на плоскость меридиана назьіваетея обьічно с л а г а -

восток или, что то же самое, направление вектора действительной сили тяжести отклоняетея от нормального на юго-запад, то слагающие уклонения отвеса в меридиане и первом вертикале ( | и ц ) считаются положительньтми.

280

При вьшолнении геодезических работ влияние уклонений отвесньїх линий в геометрическом смьісле может рассматриваться как влияние некоторьіх ошибок систематического характера, подлежащих соответствующему анализу и учету.

Физическая причина, вьізьівающая уклонения отвесньїх линий, — одна, и она заключается в отступлении действительного гравитационного поля Земли от нормального. G зтой точки зрения различнне формули, при помощи которьіх могут бьіть внраженн уклонения отвесньїх линий, должнм давать один и тот же результат, если только взята єдиная отсчетная поверхность тела, создающего нормальний потенциал, и вьшолненьї с необходимой полнотой и точностью измерения, определяющие реальний потенциал сили тяжести Земли, или возмущающий потенциал. Нетрудно установить єдиную отсчетную поверхность; современнне средства геодезических измерений позволяют получать резуль­ тати, ошибки которнх мали и их влияние для практики в большинстве случаев пренебрегаемо. Главное, что еще отдаляет нас от єдиного вполне достоверного результата в решении ряда вопросов вьісшей геодезии различннми методами, в том числе и задачи определения уклонения отвесной линии, зто незавершенность различннх видов геодезических измерений на всей поверхности Земли. Зто в нервую очередь следует отнести к гравиметрическим определениям, так как только они, при современном уровне измерительной техники, могли би бить внполнени на всей земной поверхности, в том числе и на океанах.

При неравномерности размещения и несвязанности астрономо-геодези- ческих и гравиметрических работ физический (гравиметрический) и геометрический (астрономо-геодезический) методи вивода уклонений отвесньїх линий дают не совпадающие между собой результати. Различия между зтими резуль­ татами значительнн и почти во всех случаях теории и практики не пренебрегаемн. В то же время ни тот, ни другой метод не имеют такого преимущества, чтобн можно било использовать один и отвергнуть другой. Наоборот, ни гравиметрический, ни астрономо-геодезический методи, применяемие самостоятельно, по разньїм причинам непригоднн в настоящее время для вивода уклонений отвесньїх линий на всей поверхности Земли или на отдельннх ее значительних частях.

Но решение основних задач вьісшей геодезии потребовало знання уклоне­ ний отвесннх линий, внчисляемих однозначно и точно по научно обоснованному методу, без существенннх дополнительннх затрат труда и времени.

стном использовании астрономо-геодезических и гравиметрических измерений

ишироко использованннй в практике геодезических работ в GGGP.

Впоследующих параграфах будут рассмотренн гравиметрический, астро­ номо-геодезический и полупивший, как указано внше, широкое применение астрономо-гравиметрический метод.

Взаключение заметим, что использование наблюдений искусственннх спутников Земли позволяет исключить или ослаблять влияние незавершенности наземних геодезических измерений на всей поверхности Земли, а также позволяет связать отдельние геодезические сети, в том числе расположеннне на разньїх материках.

281

§ 64. Гравиметрический метод вьівода уклонений отвесньїх линий

Уклонения отвесньїх линий и аномалии сили тяжести — следствие несовпадения действительного и нормального потенциалов Земли, т. е. функция возмущающего потенциала Т.

В § 62 найдено внражение возмущающего потенциала через аномалии

сили тяжести, т. е.

Я 2Я

Наша цель состоит в получении формул, внражающих компоненти: укло­ нений отвесньїх линий в функции аномалий сильї тяжести. Очевидно, ато будет

В исследуемой точке М земной поверхности (рис. 118) построим местнуто систему координат, положив: направ-

Но вследствие перпендикулярности вектора у к плоскости Мху получим:

ви

дх = 7* = 0

0U

(64.4)

дУ = 7і/ = 0

Позтому

282

Имея в виду, что угол (g, у) не превьішает 1/, можно положить, что g2 = = у. Тогда из (64.2) и (64.5) окончательно напишем:

дТ

і = — У дх

дТ

ї] = —

(64.6)

Уду

Формульї (64.6) легко можно виразить в функции производншх

дТ дТ

1в~ и дь *

Полагая с достаточной для нас точностью dx и dy как злементм дуг меридиана и параллели

dx — Rd B ,

dy = R соз В dL,

находим:

Внражения (64.8) називаются формулами Венинг-Мейнеса, по имени гол- •Ландского ученого, давшего их вьівод в 1928 г. Величину Q также назнвают функцией Венинг-Мейнеса.

При применении формул (64.8) предполагается, что аномалии сили тяжести извєстньї для всей поверхности Земли, т. е. что внполнена мировая

283

/

гравиметрическая сьемка. В атом случае бьіл би возможен вьівод общего земного зллипсоида, а формули (64.8) давали би значення а б с о л ю т н и х уклонений отвесной линии.

Однако в настоящее время гравиметрическая сьемка еще не завершена пбтдий земной аллипсоид не установлен, в разннх континентах и отдельннх государствах принятн различнне поверхности относимости — референц-аллип- соидьі с различающимися параметрами и ориентировкой. Пока еще даже вьшолненнне гравиметрические измерения не сконцентрированн и не приведеньт в єдиную систему.

Вследствие использования в качестве поверхности относимости референцаллипсоида в практических целях необходимо определять о т н о с и т е л ь - н н е или а с т р о н о м о - г е о д е з и ч е с к и е уклонения отвесннх линий. Учитнвая изложенное, полученнне в атом параграфе формули для Е и г| не решают поставленную задачу.

Следовательно, чисто гравиметрический метод не может бить применен для точного внвода относительннх уклонений отвесннх линий.

Если при внчислении составляющих уклонений отвесннх линий ограничиться интегрированием в пределах зони определенного радиуса, например 1000 км (ф ^ 9 ° ), то нельзя установить величину допущенной ошибки; она будет зависеть от особенностей распределения аномальних масс в данном рай­ оне, густоти пунктов гравиметрической сьемки, наклона поверхности рефе­ ренц-аллипсоида к поверхности общего земного зллипсоида. Во всяком случае, ата ошибка легко может достигать нескольких секунд и даже десятков секунд и, следовательно, она будет недопустимой.

Даже при достаточно полной густоте мировой гравиметрической сьемки внчисление уклонений отвесной линии чисто гравиметрическим методом пред­ ставляло би практически трудную задачу. Необходимо било би для внчисления уклонений в каждом пункте триангуляции учитнвать влияние аномалий по всей поверхности Земли. 9то составило би в целом трудоемкую работу, хотя сейчас и разработанн новне методи учета аномалий дальних зон, существенно облегчающие внчисления.

§ 65. Астрономо-геодезичеекий метод вьівода уклонений отвесньїх линий

Рассмотрим некоторую точку А 0 (рис. 119) на земной поверхности, за которую первоначально примем поверхность референц-аллипсоида. Пусть ата точка — пункт триангуляции, для которого внчисленьї геодезические коорди­ нати В и L и геодезический азимут А тна какой-либо предмет М. Пусть на атом пункте А 0 виполненьї астрономические определения, в результате которнх

полученн астрономические координати ер и X и астрономический азимут а,п на тот же предмет М. Далее возьмем вспомогательную сферу с центром

вточке 4 0 и с радиусом, равннм единице. Продолжим направление нормали

кповерхности зллипсоида в точке А 0 до пересечения со вспомогательной сферой. Пусть нормаль пересечет нашу сферу в точке z , которая назнваетея геодезическим зенитом в точке А 0. Поскольку внше ми допустили, что земная поверх­ ность совпадает с поверхностью референц-аллипсоида, то направление нормали

кпоследней совпадает с направлением касательной к силовой линии нормаль­ ного поля (у), проходящей через точку А 0. Аналогично атому продолжим до пересечения со вспомогательной сферой направление отвесной линии. Оче­ видно, ато направление совпадает с направлением вектора сили тяжести g -

284

Точка z x пересечения зтого направлення с небесной сферой будет астрономическим зенитом точки А 0. Далее из точки А 0 проведем прямую, параллельную оси Мира (оси вращения Земли), которая пересечет сферу в точке Р. Через т обозначим точку пересечения визирной линии со вспомогательной сферой при наведений трубьі теодолита на предмет М. Соединим дугами большого круга точки z и Zj с точками Р и т. Тогда, вводя обозначения, будем иметь:

mz-y — z — измеренное зенитное расстояние на точку М;

А 0z xm — вертикальная плоскость в точке А 0, проходящая через М\

mz = Z — «геодезическое» зенитное расстояние, т. е. зенитное рассто­ яние, которое мьі получили бьі, если бн вертикальную ось теодолита направить по нормали к поверхности референц-зллипсоида;

A 0zm — плоскость прямого нормального сечения в ^40, проходящая че­ рез М;

zP = 90° — В — дуга, измеряющая угол между полюсом и зенитом.

Нетрудно доказать, что зта дуга действительно равна 90° — В. Пусть аллипсоид, изображешшй на рис. 120, представляет собонЗемлю, тогда Е Е Х— большая полуось, лежащая в плоскости зкватора: Л 0 — точка на земной по­ верхности, служившая исходной для построения рис. 119. На рис. 120 угол ЕОА0 равен широте В точки А 0, а угол А 0ОР равен 90° — В. Так как A 0z — продолжение линии ОА0, а А 0Р параллельна малой полуоси зллипсоида (оси Мира), то угол z A 0P также равен 90° — В.

Возвращаясь к рис. 119, отмечаем, что дуга zP измеряет^ угол между нор­ мальні к зллипсоиду и направлением на точку Р, позтому вьіражение 90° — В

верхности зллипсоида и направлением отвесной линии в точке А 0 и внражаЮщая п о л н о е у к л о н е н и е о т в е с н о й л и н и и в точке А 0;

285

Проведем из Zj дугу z xz 2, перпендикулярную к геодезическому меридиану P z , т. е. соответствующую сечению первого вертикала на зллипсоиде.

тикального сечения из А 0 на М.

Из сферического прямоугольного треугольника z xz 2P (см. рис. 120) имеем:

cos (А — L) ~ tg ф ctg (В + £)

(65.1)

sin ц = sin (А — L) cos ер

Раскладьівая sin (А — L), cos (А — L) и sin-p в ряди и пренебрегая по малости величинами (А — L)2 и ц 2, получаем искомне вираження слагающих уклонения отвесной линии через астрономические и геодезические координати:

£ = ф — В

(65.2)

Р = (А — £)совф

Решая треугольник zzxz 2, которшй по малости злементов можно рассматривать как плоский, находим следующие зависимости:

286

Полученнне формули (65.2) и (65.3) астрономо-геодезяческого метода внвода уклонений отвесной линии соответствуют сделанному допущенню, что земная поверхность совпадает с референц-зллипсоидом или в данной точне пересекается с референц-зллипсоидом. Рассмотрим общий случай, когда точка земной поверхности А не лежит на референц-зллипсоиде, а имеет внсоту Н. В атом случае непосредственно наблюденние астрономические координати ф и X определяют направление отвесной линии в точке А , которое не совпадает с направлением отвесной линии в пересечении ее с поверхностью референц-зллип- соида в точке А 0 (рис. 122).

Естественно, возникает мисль редуцировать астрономические координати на поверхность референц-зллипсоида или геоида по отвесной линии, с тем чтобн вершину угла, определяющего уклонение отвесной линии, иметь на поверх­ ности зллипсоида. В зтом случае уклонение отвеса вьіразит наклон геоида

JCMHG9

А поверхность

Рис. 121

относительно референц-зллипсоида. Но реальная отвесная линия А А 0, проходящая через точку А внутрь|3емли, — линия двоякой кривизни. Ее кри­ визна меняется не только под действием нормального поля Земли, но и вследствие неизвестньїх нам аномальних масс, причем изменение кривизни силовой линии может происходить скачкообразно.

Таким образом, точное редуцирование астрономических координат на референц-зллипсоид невозможно, так как неизвестнн плотности внешнего (по отношению к зллипсоиду) слоя Земли. Позтому в настоящее время принято ва вершину угла, измеряющего уклонение отвесной линии, считать соответствующую точку физической поверхности Земли, а уклонение отвесной линии понимать как угол между направлением действитеЛьной сили тяжести и направлением нормальной сили тяжести в зтой точке. Иначе говоря, уклонение отвесной линии в данной точке земной поверхности — угол между нормалью к уровенной поверхности и нормалью к поверхности сферопа, проходящих через данную точку поверхности Земли. Именно указанное понятие об уклонении отвесной линии имелось в виду в § 64 при виводе формул уклонений отвес­ ной линии гравиметрическим методом.

При таком определении уклонения отвесной линии никаких поправок в астрономические координати вводить не следует, так как их непосредственно наблюденние значення дают направление вектора сили тяжести в данной точке поверхности Земли. Однако другой вектор, образующий уклонение отвесной линии, — направление нормали к сферопу, или, что все равно, направление касательной к силовой линии нормального поля, отличается от направлення нормали на поверхности зллипсоида; зто отличие учитнвается путем введення поправки в геодезическую широту.

287

Геометрический смьісл атой поправки заключается в том, что геодезические координати переносятся с поверхности аллипсоида на поверхность сферопа, проходящего через данную точку А по силовой линии нормального поля, или иначе: от геодезической широти на поверхности референц-аллипсоида осуществляется переход к геодезической широте, отнесенной к поверхности сферопа точки А. Но силовая линия нормального поля — плоская кривая, расположенная в плоскости меридиана, своей вогнутостью направлена к полюсу. Поатому поправка вводится только в широту.

Согласно сделанному определению, уклонение отвесной линии | (рис. 123) представлявся углом (у, g); g — направление сили тяжести в точке Земли А ,

проекция точки А на аллипсоид по силовой линии А А 0; у 0 — направление касательной силовой линии А А 0 в точке А 0, практически совпадающее с направлением прямой А п — нормали к аллипсоиду и образующее, со­

Так как из геодезических вичислений определяется геодезическая ши­ рота В , то для внвода величини g по (65.2) необходимо знать разность (В—Вп). Найдем ату величину как разность направлений касательннх к силовой линии А А 0 в точках А и А 0.

Проведем через точку А' бесконечно малий отрезок АО, параллельннй касательной к аллипсоиду в точке А 0; угол при точке А в малом треугольнике

В атом виражений:

ОО х — изменение расстояния между уровенними поверхностями при изменении широти на (В — Вп), которое обозначим через АЯ;

А О х — с достаточной точностью определится как алемент дуги меридиана,

288