Закатов Вища геодезія 1

Обозначая через dHy злементарное превьішение между уровенннми поверхностями нормального поля на отвесной линии М М 0 и имея в виду, что

Зта формула била долучена В. Ф. Еремеевнм.

Значение ут, т. е. нормальной сили тяжєсти на внсоте — Нм от зллип-

соида, с достаточной точностью легко получится из (61.8), т. е.

где уо — нормальная сила тяжєсти на поверхности относимости, вьічисленная по нормальной формуле как функция широти Вт.

Из (72.15) следует, что нормальная висота однозначно определяется независимо от дути нивелирования. Точки, расположеннне на одной уровенной поверхности, в общем случае будут иметь различнне висоти, так как (РТ0 —

— W M ) постоянно, но ут изменяется с изменением широти; в частном случае при расположении точек на одной параллели висоти будут одинаковнми.

Внражение (72.15) для нормальной висоти позволяет установить и физиче-

ский смисл его: из непосредственннх измерений получается значение j gdh,

ом

равное И^о — W MI т . є . разности потенциалов; по измеренной разности действительннх потенциалов силн тяжєсти внчисляют висоти, но в нормальном гравитационном поле Земли, не принимая во внимание возмущающего потенциала и связанннх с ним величин аномалий силн тяжєсти или уклонений отвес­

330

Оба слагаемнх в правой части последнего вьіражения для Нм могут бить внчисленн совершенно точно, не прибегая к использованию каких-либо гипо-

тез; ошибка вичислений Н ум и £ зависит только от ошибок непосредственннх измерений.

В атом состоит главное и важное преимущество нормальних висот перед ортометрическими.

Если аномалии висоти £ в каждой точне уровенного зллипсоида (и = и0) отложить от его поверхности вверх по нормалям, то геометрическим местом концов зтих отрезков будет некоторая вспомогательная поверхность, которую Молоденский назвал к в а з и г е о и д о м . Тогда нормальнне висоти можно рассматривать как отрезки нормалей к аллипсоиду, отложеннне от поверхности квазигеоида до физической земной поверхности (на рис. 138 для точки М — расстояние М М 3). Для поверхности океанов в формуле (72.15) внражение W 0 —

— W M — 0 и, следовательно, Н у = 0 .

Поатому на оснований (72.18) геодезические висоти океанической поверх­

йначе говоря, на поверхности океанов геоид и квазигеоид совпадают, а ано­ малии висот внражают висоту геоида или квазигеоида над поверхностью уро­

Путем преобразований вираження (72.15) для Ю получим более удобную формулу для практических вичислений, предложенную В. Ф. Еремеевнм [22] Цель преобразований исходной формули (72.15) будет заключаться в внделении (в виде отдельннх членов) трех слагаемнх: висоти, получаемой из нивелирования, поправки за непараллельность уровенннх поверхностей нормаль­ ного поля и поправки за отклонения действительного поля от нормального. Геодезически такое преобразование формули будет приближенно соответство-

вать схеме нивелирования, приведенной в начале атого параграфа.

Легко видеть, что первнй член представляет собой сумму непосредственно Полученннх превншений из нивелирного хода, т. е. Я изм; первне два члена, ввятне вместе, представляют висоту точки М, внчисленную с учетом непараллельности уровенннх поверхностей нормального поля, т. е. І7приб>п, послед- *^ий член представляет собой поправку за отклонение действительного гравита-

331

не превосходит 2 м, а в большинстве районов характеризуетея величиной по-

Еслимод суммой превншений понймать непосредственно получаемую сумму превншений [ dh, то в зтом случае теоретическая невязка полигона / опреде-

332

Следовательно, при внчислении невязок замкнутого нивелирного полигона за теоретическую сумму превьішений в них следует принимать не нуль, а вели­ чину /.

4. Динамические висоти

Нормальніше вьісотьі точек (так же как и ортометрические) одной и той же уровенной поверхности будут в общем случае в разних местах отличаться одна от другой, что в практике инженерно-геодезических работ может визвать затруднения, а иногда и просчетьі, если инженер-строитель при использовании геодезических данньїх для проектирования крупних инженерньїх сооружений не будет учитнвать атого обстоятельства.

Инженерьі-строители разних специальностей, не имеющие специального геодезического образования, обьічно считают, например, что точки земной по­ верхности, имеющие одинаковьіе отметки, находятся «на одном уровне» и соответственно ведут свои расчетьі при разработке проектов тех или иньїх строительств. Приведем простейшие примерн.

Допустим, что инженер, проектирующий железную дорогу, задается целью ироложить ее в данном участке пути без уклонов, с тем чтобьі сила локомотива не тратилась на их преодоление, а расходовалась только для преодоления тормозящих сил трения. Для атого, очевидно, трасса дороги должна располагаться на одной уровенной поверхности, для которой потенциал сили тяжести W — = пост.; расположение дороги на разньїх уровенннх поверхностях не соответствует условиям поставленной задачи, однако проектировщик, сохранякяций одинаковне висоти трассн (нормальнне, ортометрические), получит проект дороги на разних уровенннх поверхностях. Для достижения поставленной цели било би необходимо предварительно вичислить нормальнне висоти точек на той уровенной поверхности, на которой намечено проложить проектируемнй путь железной дороги.

Рассмотрим частннй пример из практики гидротехнического строительства. Необходимо запроектировать по данннм нивелирования границу затопле­ ння при создании нового большого водоема. Не учитнвая непараллельности уровенннх поверхностей, можно сделать ошибочний вив од, что такой границей будет горизонталь, соответствующая єдиному числовому значенню нормальной висоти. В действительности граница затоплення будет представлять на земной поверхности контур, имеющий в разних частях различнне нормальнне (или ортометрические) висоти. Ошибочно также принимать, что уровень какого-либо водного бассейна в спокойном состоянии имеет одинаковне нормальнне висоти, и урезн води на берегах везде ймеют равнне висоти.

Можно предположить, что влияние непараллельности уровенннх поверхно­ стей мало, а потому пренебрегаемо. 9то, конечно, справедливо во многих случаях и, например, при топографических сьемках непараллельность уровенннх поверхностей не учитнвается. Но когда точность определения висот имеет важное значение (например, при строительстве больших гидротехнических комплексов) и для проектирования используются ч и с л о в н е д а н н н е (в отличие от графических), то зти обстоятельства в необходимнх случаях слеДует учитнвать.

Приведем, например, разности нормальних висот северннх и южннх точек

333

Из табл. 20 следует, что во всех приведенннх случаях (H ys — HJj) > ^> Дh, и зту закономерность следует признать общей, особенно для водоемов, имеющих протяженность с севера на юг и большие висоти Ю .

Такие примерьі можно распространить на другие видьі строительств. Изложеннне вьіше соображения должньї учитнваться при строительстве сооружений, больших по размеру используемой территории или предт>явля-

ствуюіпих точек Земли. Позтому, по-прежнему, принимая за исходное вьіражение

можно подразумевать под g нормальное ускорение сили тяжести для средней широти Земли, т. е. 45°. Тогда основная формула для внчисления динамических висот примет вид

Связь между нормальними и динамическими висотами получится из сопоставления виражений (72.15) и (72.30), т. е.

М=

334

Возьмем вместо точки А точку О, совпадающую с футштоком, принятнм для начала счета висот. Тогда (72.35) для произвольной точки М примет вид

м

(72.36)

о

или

от другой.

Напомним, что зтим свойством не обладают нормальнне и ортометрические висоти.

Из (72.39) внтекает, что при использовании результатов нивелирования для инженерно-технических расчетов, связанннх с учетом работн, совершаемойв гравитационном поле Земли, внгодно использовать систему динамических

Обозначим

тогда

(72.41)

оо

336

данного вида нивелирования просто покажем и различие между обоими мето­ дами.

Пусть А (рис. 139) — начальная точка триангуляции, для которой £0 = 0. Для получения приближенной формули допустим, что профиль земнойповерх­ ности совпадает с некоторой уровенной поверхностью W А = С, т. е. Н у ^ пост. Возьмем точку А х, бесконечно близкую к точке А. Прямая A xn t — нормаль к зллипсоиду, прямая А хп^ — отвесная линия.

Геодезическая висота уровенной поверхности W А = С над зллипсоидом в точке В, находящейся на конечном расстоянии s от точки А , изменится на величину

Н у ~ const. Для общего случая Н у ф const интеграл j $ds будет главннм

А В

членом формули астрономического нивелирования; поправочний член будет виражать влияние непараллельности уровенннх поверхностей.

Как видно, принципиальная схема нивелирования данного вида чрезвнчайно проста; существеннне затруднения возникают при внчислении интеграла

Но, согласно формуле (73.2)\ для внчисления Суклонение "О1должно бить известно в каждой точке нивелирования; позтому, если расстояние между точ­ ками нивелирования принимается конечним, а закон изменения Ф неизвестен, то приходится задаться некоторнм условием или предположением о характере нзменения *0*в пределах зтого расстояния s. Наиболее простим и важним усло-

:338

виєм будет линейность изменения'О. Из зтого условия одновременно следует, что* смежнне точки нивелирования должньї бнть достаточно близки.

Опнтньїе даннне позволили установить, что поставленное условие во многих случаях будет вьшолняться с некоторой приемлемой точностью, если расстоянйе s между смежннми точками нивелирования будет порядки 10—20 км,, в равнинной местности с плавними и равномечннми изменениями уклонений отвесннх линий и 3—5 км в горних и аномальних районах.

Однако и при таких расстояниях могут бнть заметнне отступления от пред~ положенного закони линейного изменения уклонения O’, снижающие точность. нивелирования.

Рабочие формули для внчисления превншений точек квазигеоида при некотором конечном значений s в рассматриваемом случае получатся следующим образом.

Возьмем некоторую линию астрономического или астрономо-гравиметри- ческого нивелирования от прежней начальной точки А до некоторой точки В. Пусть М М г — две произвольнне смежнне точки атой линии нивелирования (рис. 140).

Введем обозначения:

OS' и О'г — уклонения отвесннх линий в точках М жМ х, sM — расстояние М М г.

Остановимся на специфических особенностях и различии обоих методов. нивелирования.

В методе а с т р о н о м и ч е с к о г о н и в е л и р о в а н и я уклоне­

ния '0і получаются из астрономических и геодезических измерений, т. е. по фор-

муле