Закатов Вища геодезія 1

прибору данной конструкции. Точность определения относительного ускорения сили тяжести в атом случае зависит только от случайньїх ошибок в определении периода качання маятников и и з м е н е н и й систематических ошибок и постоянннх прибора, которме могут произойти после наблюдений на исходном пункте.

Применением соответствующей методики и конструкции прибора ослабляется влияние и атих ошибок.

Точность окончательного вивода периода качання маятника после учета всех поправок характеризуется ошибкой около ±0,00000004 с; соответствующая ошибка в определении ускорения сили тяжести равна приблизительно

± 0,2 мгал.

Для уяснения идеи статического метода изложим принципиальную схему измерения сили тяжести прибором, в котором используется упругая сила пружини.

Пусть ми имеем тело с некоторой постоянной массой; вес атого тела определяется силой тяжести. Определим вес атого тела р в некотором исходном пункте, для которого известно значение сили тяжести g 0.

Вес атого тела в другой точке, для которой требуется определить силу тяжести, будет иной; назовем его через р 1? а искомую силу тяжести в опреде-

(Ag) = /(Ap),

gi = go+(&g)-

Простейшая возможная зависимость между (Ag) и (Ар) имеет вид

(/±g) = aAp+b.

Определение постоянннх а и b может бить произведено посредством изме­ рения веса тела в трех точках А, В и С сила тяжести для которьіх известна. Если обозначить:

(Ag1) = aA p 1+&,

(Ag2) = а Ар 2 + Ь,

из которнх легко находятся неизвестние коаффициентн а и Ь.

Измерение веса тела должно бить произведено при помощи прибора, работа которого не зависит от сили тяжести; таким прибором могут служить пружиннне весьі, так как упругая сила пружини не зависит от сили тяжести.

Определение сили тяжести при помощи гравиметров занимает мало времени и производится с внсокой точностью.

§ 53. Потенциал сили притяжения

Пусть в пространстве имеем две материальнне точки А и В с координатами а, Ь, с жх, у, z (рис. 103). Обозначим массу точки А через т, массу точки В примем равной единице. Расстояние между точками обозначим через г.

230

Согласно закону всемирного тяготения, сила взаимного притяжения точек

(на рис. 103 для простотьі построения начало координат совмещено с одним из концов вектора F без изменения направлення осей).

Но

Fz = F cos у = fm

Сила притяжения и создаваемое ею напряжение является в е к т о р о м , которьій определяется как величиной, так и направлением в пространстве. Позтому характеристика силового поля в пространстве вьіражается тремя уравнениями (53.5).

Однако при определенньїх условиях поле сил может бьіть виражено одной

и найдем частньїе производнне ее по координатам х, у и z, явно входящим в нее через г,

231

следовательно,

Ф у н к ц и я V, ч а с т и м є п р о и з в о д н ь ї е к о т о р о й п о п р я м о у г о л ь н и м к о о р д и н а т а м п р и т я г и в а е м о й т о ч - ки р а в н ь ї с о с т а в л я ю щ и м с и л ь ї п р и т я ж е н и я п о о с я м к о о р д и н а т , н а з и в а є м с я п о т е н ц и а л ь н о й ф у н к ц и е й ,

создающее вокруг себя силовое поле притяжения. Определим напряжение атого поля в точке А. Разобгем обт>ем тела т на алементарньїе обт>емм.

Обозначим через б плотность в единице массьі текущей точки М, т. е.

232

В (53.16) интегрирование вьшолняется по всему обьему тела т. Следовательно, пределн интегрирования определяются в зависимости от форми тела.

Если под телом понимать Землю, то внражение (53.16) будет представлять потенциал притяжения Земли на внешнюю точку; в зтом случае интегрирова­ ние должно внполняться по всему обьему Земли.

При бесконечном удалении тела от притягиваемой точки, т. е. когда расстояние г неограниченно велико по сравнению с размерами тела, вираження для сили притяжения и потенциальной функции напишутся:

До сих пор ми полагали, ч т о притягиваемая точка находится внепритягиватощего тела. Допустим теперь, что притягиваемая точка расположена внутри

233.

притягивающего тела. Тогда величина г в виражений (53.15) может принять мальїе значення и стремиться к нулю. При г, стремящемся к нулю, его значение будет становиться величиной первого порядна малости. Следовательно, внражение

d o d b dc

r

будет величиной второго порядна малости. Первьіе производньїе от потенциала, содержащие интеграл вида

в зтом случае будут конечними и непрерьівньїми, так как, если (а — х) будет стремиться к нулю, числитель станет величиной четвертого порядна малости,

З е м л и и е г о п е р в ь і е п р о и з в о д н ь ї е в с ю д у к о н е ч н ь ї и о д н о з н а ч н а ; можно доказать, что они будут также непрернвннми.

Введение понятия потенциала приводит к тому, что вместо получения и исследования трех функций, вьіражающих компонентьі сильї по осям коорди­ нат, стало возможньїм находить и исследовать одну функцию. Вияснилось, что потенциальная функция обладает замечательннми свойствами, использование которнх оказалось чрезвнчайно плодотворним для решения многих научннх

ментарной массой dm.

Обозначим расстояния от точек А и М до начала координат О соответственно г и р.

234

Но координатні центра массьі тела (центра инерции) определяются формулой

j1х dm

(54.11)

f dm

235

Аналогичньїе формули получаются по другим осям координат. Тогда перннй интеграл правой части (54.10) будет

Интегралн вида J xydm називаются произведениями инерции. При рас-

положении координатних осей, совпадающих с главннми осями инерции, они равнн нулю. Позтому (54.15) можно представить в виде

Соединяя вместе члени, содержащие а2, затем Ь2 и с2, разбиваем интеграл на три части, из которих первую напишем так:

Аналогично две другие части представятся интегралами:

^(2у2 — х2 —z2) dm,

^(2z2 — х2 —у2) dm.

Из механики известно, что главние моменти инерции А, В, С относительно осей координат ннражаются формулами:

236

Позтому, принимая во внимание (54.18) и (54.20), интеграл (54.15) примет вид

Введем теперь геоцентрические координати — широту Ф и долготу L, отсчитьіваемую от плоскости xz. Тогда на оснований (4.15) и (4.32) будем иметь:

с2 = г2 sin2 Ф

Заменяя в (54.21) величини а2, Ь2 и с2 через их вираження (54.23), группи-

руя члени, содержащие cos 2L, после некоторнх преобразований получаем вираження для третьего интеграла в (54.9)

Первнй член полученного вираження (54.25) представляет собой потенциал шара с массой, равной массе Земли.

Второй член, зависящий от широти, представляет собой влияние сжатия Земли или, иначе говоря, влияние возрастания масс от полюса к зкватору. Третий член представляет собой влияние неравномерного распределения масс по долготе.

Таким образом, полученная формула (54.25) справедлива и для трехосной Земли.

Если рассматривать Землю как тело вращения и моменти инерции относительно осей, расположенннх в плоскости зкватора, положить равннми между •собой, т. е. А = В, то третий член в формуле (54.25) пропадает; соответственно изменится в зтой формуле и второй член, и для данного случая формула (54.25)

237

Вьіше бьіли упомянутьі сферические функции, которне находят себе широкое применение во многих вопросах математической физики, в частности, в теории потенциала и решении основних задач внсшей геодезии на основе астро- номо-геодезических и гравиметрических измерений и спутниковнх наблюдений.

Перепишем (54.8) так:

функцией cos ф порядна п , представляет собой один из видов сферических функций; зто многочлени степени п от cos ф. Они назнваются многочленами

или, учитнвая вираження для первнх трех членов ряда, данньїе формулой

Последовательное изучение вопросов программн данного курса дается без использования сферических функций. Приведеннне самьіе начальнне и злементарнне понятия об зтом виде специальннх функций и их применение даются для общего ознайомлення, которое может бить полезно при более детальном изучении теоретических вопросов геодезии по первоисточникам и специальньїм трудам (например, [1], [12]; [39] и многие другие).

238

n

§ 55. Основньїе свойства потенциала притяжения

Пусть задана материальная точка В с координатами х, у , z; на бесконечно малом расстоянии ds от В возьмем другую материальную точку В г с координа­ тами х + dx, у + dy и z + dz.

Очевидно,

где (s, х), (s, у) и (s, z) — угльї, образуемне направлением ds с осями коорди­ нат х , у, z.

Тогда потенциал У силн притяжения, как функция координат х , у, z, получит приращение при перемещении из точки В в точку В г, равное полному дифференциалу

Ho вьіражение, стоящее в фигурньїх скобках, єсть косинус угла между направлением силн тяжести F и направлением злемента ds, т. е. cos (F, s). Позтому

Из равенств (55.6) и (55.7) внтекает ряд важних свойств потенциальной функции.

Как известно из механики, злементарная работа сили F при перемещении точки на расстояние ds будет Fds; отсюда следует, что бесконечно малое при­ ращение потенциала єсть работа, которую совершает сила F при перемещении единицьі массн на расстояние ds.

При конечном перемещении единицн массн между некоторнми точками

239