2.4. Примеры статистических расчетов

1. Результаты независимых измерений некоторой физической величины представлены в таблице 2.4.1.

Таблица 2.4.1

	7	10	13	16	19	22	25
	1	1	4	6	5	2	1

Требуется:

1. построить полигон относительных частот;

2. построить график эмпирической функции распределения;

3. найти выборочное среднее, выборочное среднеквадратическое отклонение, несмещенную оценку среднеквадратического отклонения;

4. построить доверительный интервал для математического ожидания при доверительной вероятности 0,9;

5. построить доверительный интервал для среднеквадратического отклонения при доверительной вероятности 0,95.

1. Вычислим объем выборки n = 1 + 1 + 4 + 6 + 5 + 2 + 1 = 20. Дополним таблицу 2.4.1 строкой с относительными частотами .

Таблица 2.4.2

	7	10	13	16	19	22	25
	1	1	4	6	5	2	1
	0,05	0,05	0,2	0,3	0,25	0,1	0,05

По первой и третьей строке таблицы 2.4.2 построим полигон относительных частот, представленный на рисунке 2.4.1.

Рис. 2.4.1

2. Для построения графика эмпирической функции распределения дополним таблицу 2.4.1 строками накопленных частот.

Таблица 2.4.3

	7	10	13	16	19	22	25
	1	1	4	6	5	2	1
	1	2	6	12	17	19	20
	0,05	0,1	0,3	0,6	0,85	0,95	1

Следовательно, эмпирическая функция распределения может быть определена следующим образом:

График этой функции представлен на рисунке 2.4.2.

Рис. 2.4.2

3. Выборочная медиана вариационного ряда, приведенного в таблице 2.4.1, равна 16. Используя свойства выборочных моментов (см. параграф 1.4), можно построить новый вариационный ряд, данные которого упростят дальнейшие вычисления.

Таблица 2.4.4

	7	10	13	16	19	22	25
	1	1	4	6	5	2	1
	– 9	– 6	– 3	0	3	6	9
	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3
	– 3	– 2	– 4	0	5	4	3
	9	4	4	0	5	8	9

Выборочное среднее вычисляется по формулам:

;

;

Выборочная дисперсия, выборочное среднеквадратическое отклонение и несмещенная оценка среднеквадратического отклонения вычисляются по формулам:

;

;

.

.

4. Доверительный интервал для задает границы истинного значения математического ожидания генеральной совокупности. Необходимую для расчетов величину t можно найти в таблице приложения 2. Эта таблица имеет два входа. По строкам меняется число степеней свободы k = n – 1, столбцы связаны с уровнем значимости . На пересечении соответствующих строки и столбца расположены требуемые значения t. В рассматриваемом примере число степеней свободы , а уровень значимости , поэтому . Подставив найденные значения в формулу , получаем интервальную оценку (14,8; 18,1) величины математического ожидания с заданной надежностью 0,9.

5. Доверительный интервал при определим из неравенства . Сначала необходимо при =19 и =0,05 по таблице приложения 3, определить (0,05; 19) = 0,37.

Тогда 4,27(1 – 0,37) 4,27(1 + 0,37) или 2,69 5,85.

2. В этом примере рассмотрим случай, когда выборка представлена в виде сгруппированного вариационного ряда, приведенного в таблице 2.4.5.

Таблица 2.4.5

Интервал	[30; 40]	(40; 50]	(50; 60]	(60; 70]	(70; 80]	(80; 90]	(90; 100]	(100; 110]
	4	11	26	50	54	29	13	3

Требуется:

1. построить гистограмму выборки;

2. построить график эмпирической функции распределения;

3. найти выборочное среднее, выборочное среднеквадратическое отклонение, несмещенную точечную оценку среднеквадратического отклонения;

4. построить доверительный интервал для математического ожидания при доверительной вероятности ;

5. построить доверительный интервал для среднеквадратического отклонения при доверительной вероятности .

1) Для построения гистограммы дополним исходную таблицу 2.4.5 тремя строками: , и .

Таблица 2.4.6

Интервал	[30; 40]	(40; 50]	(50; 60]	(60; 70]	(70; 80]	(80; 90]	(90; 100]	(100; 110]
	4	11	26	50	54	29	13	3
	10	10	10	10	10	10	10	10
	0,02	0,06	0,14	0,26	0,28	0,15	0,07	0,02
	0,002	0,006	0,014	0,026	0,028	0,015	0,007	0,002

Последняя строка таблицы 2.4.6 определяет высоты столбцов гистограммы, приведенной на рисунке 2.4.3.

Рис. 2.4.3

2. Для построения графика эмпирической функции в таблицу 2.4.5 надо добавить две строки, в которых следует записать и .

Таблица 2.4.7

Интервал	[30; 40]	(40; 50]	(50; 60]	(60; 70]	(70; 80]	(80; 90]	(90; 100]	(100; 110]
	4	11	26	50	54	29	13	3
	4	15	41	91	145	174	187	190
	0,02	0,08	0,22	0,48	0,76	0,92	0,98	1

По данным, приведенным в таблице 2.4.7 можно найти узловые точки эмпирической функции распределения .

При построении графика функции , приведенного на рисунке 2.4.4, узловые точки соединяются отрезками прямых. Затем полученная ломаная дополняется двумя горизонтальными линиями при и .

Рис. 2.4.4

2. Также как и в предыдущем примере построим новый вариационный ряд, чтобы, используя свойства выборочных моментов, упростить дальнейшие вычисления.

Таблица 2.4.8

Интервал	[30; 40]	(40; 50]	(50; 60]	(60; 70]	(70; 80]	(80; 90]	(90; 100]	(100; 110]
	4	11	26	50	54	29	13	3
	10	10	10	10	10	10	10	10
	35	45	55	65	75	85	95	105
	– 30	– 20	– 10	0	10	20	30	40
	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3	4
	– 12	– 22	– 26	0	54	58	39	12
	36	44	26	0	54	116	117	48

Выборочное среднее вычисляется по формулам

;

;

.

Выборочная дисперсия и выборочное среднеквадратическое отклонение вычисляются по формулам

;

;

.

Поправки Шеппарда дают возможность получить несмещенные оценки дисперсии и среднеквадратического отклонения

;

.

4) Оценку истинного значения параметра а дает доверительный интервал для математического ожидания, который для случая большой выборки определяется формулой . В таблице значений функции Лапласа, приведенной в приложении 1, находим число 0,4505, наиболее близкое к . Это число расположено в строке, именованной «1,6», и столбце с названием «5». Искомое значение =1,6 + 0,05 = 1,65, так как 2 (1,65)  0,9. При 70,42 и точности оценки 1,67 доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,9 имеет вид (68,75: 72,09).

5) Оценку истинного значения параметра дает доверительный интервал для среднеквадратического отклонения, который для случая большой выборки определяется по формуле

.

По заданной доверительной вероятности по таблице значений функции Лапласа, находим , следовательно, . Тогда доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью 0,95 имеет вид (12,72;15,59).