1.3. Эмпирическая функция распределения

В теории вероятности случайную величину Х можно задать [3] функцией распределения или (в случае непрерывной величины Х) плотностью распределения . В статистике функция распределения генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения. По вариационному ряду (см. таблицу 1.2.1) можно построить эмпирическую функцию распределения , которая определяется как относительная частота события . Таким образом,

,

где – число вариант, меньших в данной выборке.

Функция обладает следующими свойствами:

1) если – наименьшая варианта, то при ,

2) если – наибольшая варианта, то при ;

3) – неубывающая функция;

4) .

Из теоремы Бернулли [3] следует, что для всех х относительная частота события стремится по вероятности к значению теоретической функции распределения . Это означает, что

при любом значении . Другими словами, значения и мало отличаются одно от другого при больших .

Для построения исходный вариационный ряд (см. таблицу 1.2.1) нужно дополнить двумя графами: накоплений частот ( ) и относительных частот ( ).

Таблица 1.3.1

Данные, приведенные в таблице 1.3.1, дают возможность задать все значения функции :

График подобной функции представлен на рисунке 1.3.1.

Рис. 1.3.1

Перед построением графика эмпирической функции распределения сгруппированного вариационного ряда надо также добавить две строки в таблицу 1.2.3.

Таблица 1.3.2

Интервал

В случае непрерывной теоретической функции распределения график строится приближенно по точкам , которые соединяются отрезками, как это показано на рисунке 1.3.2. Чтобы показать, что для всех и для всех , надо провести две горизонтальных линии.

Рис. 1.3.2

При большом количестве промежутков со значительным числом вариант в них , т.е. ломаная дает представление о гладкой кривой .

1.4. Числовые характеристики выборки

В случае вариационного ряда выборочный начальный момент -го порядка определяется следующим образом:

;

Выборочной средней называется среднее арифметическое значений выборки. Величина совпадает с начальным моментом первого порядка

.

Выборочная медиана – значение, приходящееся на середину вариационного ряда в таблице 1.2.1, значит

если если

Выборочная мода – варианта с наибольшей частотой . Таких значений в выборке может быть несколько. Характеристики положения , , примерно указывают расположение вариант на числовой оси, т.к. каждая из них не превышает наибольшего значения и не может быть меньше наименьшего значения .

Выборочные центральные моменты m-го порядка вычисляются по формуле

.

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений от их среднего значения . Величина совпадает с центральным выборочным моментом второго порядка

.

Раскрывая скобки и учитывая, что , получаем

,

где – начальный момент второго порядка.

Выборочным среднеквадратическим отклонением называется квадратный корень из выборочной дисперсии, т.е. .

Величина , вычисленная по формуле

,

называется исправленной выборочной дисперсией, а – исправленным выборочным среднеквадратическим отклонением.

Характеристики рассеивания , , , определяют величину разброса вариант относительно центра расположения .

В случае сгруппированного вариационного ряда сначала таблица 1.2.3 преобразуется в обычный вариационный ряд, в котором в первой строке помещены значения середины промежутков .

Таблица 1.4

Все выборочные моменты в этом случае вычисляются по тем же формулам для вариационного ряда с учетом значений, приведенных в таблице 1.4. Например, выборочное среднее

.

Группировка и усреднение исходных данных вносят определенную ошибку в расчет моментов, особенно заметную при малом количестве интервалов. Для уменьшения ошибок можно применить поправки Шеппарда [6]. Если все промежутки имеют одинаковую ширину , то выборочная дисперсия с учетом поправки Шеппарда вычисляется по формуле:

.

При выполнении условия поправкой Шеппарда можно пренебречь.

Используя свойства выборочных моментов, можно упростить расчеты численных характеристик выборки.

1) Если все выборочные значения уменьшить на одно и то же постоянное число , то выборочное среднее уменьшится на это же число , а все центральные выборочные моменты не изменятся. Это свойство используется при вычислении выборочных моментов: из каждого значения вычитается величина близкая к среднему (ложный нуль), что равносильно изменению начала отсчета.

2) Если все выборочные значения умножить на одно и то же постоянное число , то начальные и центральные выборочные моменты -го порядка умножаться на .

В реальных задачах (см. параграф 2.4) оба свойства обычно используют одновременно.