3.5. Критерий согласия Пирсона

Одна из возможных реализаций критерия согласия для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины была предложена Пирсоном. Применение критерия Пирсона возможно, если выборка представлена в виде сгруппированного вариационного ряда (см. таблицу 1.2.3).

Рассмотрим сначала случай, когда проверяется гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами и . Для нормального закона распределения (см. параграф 2.3), можно найти предполагаемые вероятности попадания случайной величины в любой промежуток :

.

Отметим, что для промежутков ; ; , вероятность не изменится [3]. Чтобы выполнялось равенство , крайние промежутки и делают полубесконечными: и . В каждом интервале эмпирические частоты не должны существенно отличаться от теоретических вероятностей , вычисленных в предположении о нормальном распределении генеральной совокупности. Следовательно, если верна нулевая гипотеза, то сумма величин  n_j/n – p_j  не должна быть слишком большой. Пирсон предложил для проверки нулевой гипотезы использовать случайную величину

,

где r – количество интервалов сгруппированного вариационного ряда.

Значение U зависит от общей степени расхождения эмпирических частот и теоретических вероятностей во всех интервалах. Возведение в квадрат исключает возможность взаимного погашения отрицательных и положительных разностей. Поправочный коэффициент меняет вес слагаемых в зависимости от вероятности попадания Х в данный интервал. В интервалах с большей вероятностью , и, следовательно, с увеличенными значениями , допускаются большие отклонения эмпирической частоты от теоретической вероятности. Для выборок большего объема n разности должны быть меньше, чтобы критерий Пирсона принял то же самое значение. Следует отметить, что величина U для конкретной выборки зависит не только от значений вариант, но она изменится при другом выборе границ промежутков .

Пирсон доказал, что в случае справедливости основной гипотезы , случайная величина U при большом объеме выборки имеет распределение, близкое к распределению χ² с k = r – 3 степенями свободы [3]. Поэтому критерий Пирсона часто называют критерием «хи-квадрат». Числом степеней свободы в данном случае называется разность между числом столбцов r в таблице 1.2.3 (т.е. количеством интервалов, на которые разбит весь диапазон изменения вариант) и количеством формул, связывающих между собой значения вариант. Элементы выборки использовались при вычислении точечных оценок и s, а, кроме того, . Критические значения сведены в таблицу (см. приложение 3). Если в конкретной выборке и при этом , то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности отвергается.

Критерий Пирсона для нормального распределения можно применять, когда количество результатов наблюдений больше 50. При этом рекомендуется в каждом интервале иметь не менее пяти наблюдений. Если частоты отдельных интервалов малы, то следует объединять соседние интервалы. Существуют методы [5] проверки нормальности распределения при числе наблюдений от 16 до 50, а при меньшем количестве наблюдений принадлежность их к нормальному распределению не проверяется.

Отметим, что критерий Пирсона можно применять для функций распределения отличных от нормального закона. В этом случае выводы справедливы, если значения достаточно велики, что возможно при выборках большого объема .