15. ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Критерий, при выполнении которого классическая физика дает достаточную точность и необязательно применять формулы квантовой механики, может быть записан в виде

L >> λ ,

где L – размеры системы, в которой движется частица; λ – длина волны де-Бройля.

Смысл его заключается в том, что при длинах волн, много меньших размеров системы, квантово-механические особенности в поведении частиц оказываются несущественными.

Продемонстрируем это утверждение на примере частицы в потенциальной яме (см. разд. 13). Ψ-функцию частицы (13.5), учитывая, что sin x = = (1 2i)(eix −e −ix ), можно записать в виде

Такое представление позволяет говорить о двух движущихся навстречу друг другу волнах де-Бройля. Сравнивая (15.1) с выражением для одномерной волны де-Бройля (9.2), получим выражение для импульса частицы для каждой из этих волн

p = πn/l

и для длины волны де-Бройля:

λ = 2π / p= 2l / n.

Очевидно, что при n → ∞, λ → 0 и поведение частицы должно быть близким к классическому.

Проследим, как это отразится на спектре энергии частицы и ее волновых функциях. Оценим расстояния между соседними уровнями энергии частицы:

En = En+1 − En = 2π2(2n+1)/2ml2.

Относительное расстояние между уровнями

En / En = (2n+ 1)/n2 → 0.

При n → ∞ спектр энергии частицы получается почти непрерывным.

52

Заметим, что решение вида exp(iαx) соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси х, а решение вида exp(−iαx) волне, распространяющейся в противоположном направлении.

В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент B3 в выражении для ψ3 следует принять равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся стандартными условиями, которым должна удовлетворять Ψ-функция,

ψ1(0) = ψ2(0) и ψ2(l) = ψ3(l);

dψ1(0)/dx= dψ2(0)/ dx и dψ2(l)/dx= dψ3(l)/dx.

Из этих условий вытекают соотношения

Количественно эффект туннелирования можно оценить, вычислив плотность вероятности ΨΨ обнаружения частицы в каждой из областей пространства. Оценим степень прозрачности потенциального барьера.

В случае пренебрежения отраженными волнами на границах I – II и II – III, отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волн определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и может быть названо коэффициентом отражения:

R = B1 2 A1 2 = b1 2.

55

Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности):

D = A3 2 A1 2 = a3 2.

Коэффициенты отражения и прозрачности связаны соотношением

D + R = 1.

В результате решения системы уравнений (16.4), получается

a3 = (4niexp(−iαl))((n+ i)2 exp(−βl) − (n− i)2 expβl).

Значение βl = l2m(U0 − E) / 2 обычно бывает больше единицы, поэтому, учитывая, что n −i =n2 +1, получим

D = a3 2 = (16n2(n2 +1)2)exp(−2βl) .

Отношение 16n2(n2 +1)2 имеет значение порядка единицы. Поэтому окончательно можно считать, что

D ≈ exp(−2βl) = exp(− (2l / )2m(U0 − E)).

Из полученного выражения следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер зависит от ширины барьера l и от разности энергий (U0 − E ).

Если при какой-либо ширине барьера коэффициент прохождения D равен 0,01, то при увеличении ширины в два раза D станет равным

0,012 = 0,0001, т. е. уменьшится в 100 раз. Тот же эффект вызвало бы возрас-

56

Рис. 16.2

На рис. 16.2 изображены: в области I – действительная часть падающей волны ( ReA1exp(iαx)); в области II – экспоненциально убывающая Y-функ- ция (ψ2 = A2 exp(−βx)) и в области III – действительная часть прошедшей волны ( ReA3 exp(iαx) ). Построение выполнено при условии пренебрежения отраженными волнами на границах I – II и II – III, при этом и

.

В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 16.3) коэффициент прозрачности определяется более общей формулой

D ≈ exp(−(2 / ))bò2m(U (x) − E)dx ).

a

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере, в связи с чем рассмотренное нами явление называют туннельным эффектом. На основе этого эффекта построены многие современные приборы, например туннельные диоды и транзисторы.

Рассмотрим случай, когда E > U0 (рис. 16.4). Для области I уравнение Шредингера имеет вид

Общие решения уравнений (16.5) и (16.6) имеют следующий вид: ● для области I

ψ1 = A1exp(iαx) + B1exp(−iαx);

● для области II

ψ2 = A2exp(iα2x) + B2exp(− iα2x) ,

57

где α=2mE 2 и α2 = 2m(E −U0) 2 .

Заметим, что, как и в случае высокого потенциального барьера, решение вида exp(iαx) соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси х, а решение вида exp(−iαx) – волне, распространяющейся в противоположном направлении.

В области II имеется только волна, прошедшая над барьером и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент B2 в выражении для ψ2 следует принять равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов можно воспользоваться стандартными условиями, которым должна удовлетворять функция ψ:

При U0 = 0 длина волны (волновое число α2) действительной части Ψ-функции в области II совпадает с длиной волны действительной части волновой функции в области I. С ростом U0 значение волнового числа α2 уменьшается (длина волны увеличивается), и в пределе при U0 = E действительная часть волновой функции в области II перестает быть гармонической.

58