Условие (12.6) называется условием нормировки. Функции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными. В дальнейшем мы всегда будем полагать, что рассматриваемые нами Ψ-функции являются нормированными. В случае стационарного силового поля справедливо соотношение

ΨΨ =ψ exp(i(E / )t)ψexp(−i(E / )t) =ψψ ,

т. е. плотность вероятности волновой функции равна плотности вероятности координатной части волновой функции и от времени не зависит.

Свойства Ψ-функции: она должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением, быть может, особых точек) и иметь непрерывную и конечную производную. Совокупность перечисленных требований носит название стандартных условий.

В уравнение Шредингера в качестве параметра входит полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида Hψ=Eψ имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых, а лишь при некоторых определенных значениях параметра (т. е. энергии Е). Эти значения называются собственными значениями. Решения, соответствующие собственным значениям, называются собственными функциями. Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, представляет собой весьма трудную математическую задачу. Рассмотрим некоторые наиболее простые частные случаи.

13. ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные волновые функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме (рис. 13.1, а). Предположим, что частица

46

может двигаться только вдоль оси х. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: х = 0 и х = l. Потенциальная энергия U = 0 внутри ямы (при 0 £ х £ l) и U = ∞ вне ямы (при х < 0 и х > l).

Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера. Поскольку Y-функ- ция зависит только от координаты х, то уравнение имеет вид

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю. Следовательно, и функция y за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следу-

Этому условию должны удовлетворять решения уравнения (13.1). В области II (0 £ х £ l), где U = 0 уравнение (13.1) имеет вид

d2ψ/ dx2 + (2m/ 2)Eψ = 0.

Используя обозначение k2 = 2mE/ 2, придем к известному из теории колебаний волновому уравнению

d2ψ/ dx2 + k2ψ = 0.

Решение такого уравнения имеет вид

Условию (14.2) можно удовлетворить соответствующим выбором постоянных k и a. Из равенства ψ(0) = 0 получаем ψ(0) = asinα = 0 Þ a = 0.

Далее из равенства ψ(l) = 0 получаем ψ(l) = asin(kl) = 0. Это условие выполняется при

47

n = 0 исключено, поскольку при этом ψ º 0, т. е. вероятность обнаружения частицы в яме равна нулю.

Из (13.4) получаем 2mEl2 / 2 = n2π2 (n = 1, 2, 3, ...), следовательно,

En = π2 2n2 /2ml2(n = 1, 2, 3, ...).

Таким образом получаем, что энергия частицы в потенциальной яме может принимать только дискретные значения. На рис.13.1, б изображена схема энергетических уровней частицы в потенциальной яме. На этом примере реализуется общее правило квантовой механики: если частица локализована в ограниченной области пространства, то спектр значений энергии частицы дискретен, при отсутствии локализации спектр энергии непрерывен.

Подставим значения k из условия (13.4) в (13.3) и получим

ψn(x) = asin(nπx/l).

Для нахождения константы а воспользуемся условием нормировки, которое в данном случае имеет вид

l

a2 òsin 2 (nπx / l)dx =1.

0

На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в нуль. Поэтому значение интеграла можно получить, умножив среднее значение sin2 (nπxl) (равное, как известно, 1/2) на длину промежутка. Таким образом, получаем a2l / 2 =1 Þ a = 2 / l . Окончательно собственные волновые функции имеют вид

ψn(x) = 2/l sin(nπx/l) (n = 1, 2, 3, ...).

Графики собственных значений функций при различных n изображены на рис. 13.2. На этом же рисунке показана плотность вероятности yy обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы.

48

Рис. 13.2

Графики показывают, что в состоянии с n = 2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, несовместимо с представлением о траектории. Отметим, что, согласно классическим представлениям, все положения частицы в яме равновероятны.

14. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ

Рассмотрим задачу о движении частицы в потенциальной яме со стенками конечной высоты U0 (рис. 14.1).

Найдем собственные волновые функции ψn и собственные значения энергии En, которые удовлетворяли бы граничному условию: при больших значениях x функция ψ(х) стремится к нулю.

Рис. 14.1

ψ2 = a2 exp(−βx) + b2 expβx,

где β = 2m(U0 − E) . При этом в области II (E − U 0 ) < 0. Граничному условию для области II удовлетворяет решение

В области I уравнение Шредингера записывается в виде

49

При x =x0 Ψ-функция должна удовлетворять стандартным условиям

ψ1(x0) = ψ2(x0); dψ1(x0)/dx= dψ2(x0)/dx. (14.4)

Для нечетных энергетических уровней, подставляя (14.1) и (14.2) в (14.4), получаем соотношения

Уравнение (14.5) является трансцендентным и может быть решено либо графически, либо методом итераций, либо методом «проб и ошибок». По найденному любым из этих способов собственному значению энергии En (значения положительных корней этого уравнения) можно определить собственные значения Ψ-функции, и соответственно,

βn = 2m (U 0 − E n ) / ; kn = 2mEn 2 .

Для четных значений n (14.3) запишем граничные условия (14.4) при x =x0:

a1sinkx0 = a2 exp(−βx0);

a1kcoskx0 = −a2βexp(−βx0).

Разделив эти соотношения, получим трансцендентное уравнение, которое позволит определить собственные значения энергии и Ψ-функции на четных энергетических уровнях:

50

ctg2mE 2 x0 = −(U0 − E)E .

Поскольку тангенс и котангенс периодические функции, частица в потенциальной яме может иметь лишь дискретные уровни энергии. Чем глубже яма, тем больше уровней энергии разрешены для частицы, причем уровни, которым отвечают четные и нечетные волновые функции, чередуются.

На рис. 14.2 показаны уровни энергии, а на рис. 14.3 – волновые функции, соответствующие первым трем энергетическим уровням для ямы конечной глубины (сплошные линии) и в бесконечно глубокой потенциальной яме (штриховые линии).

В заключение заметим, что общее решение задачи о частице, находящейся в прямоугольной яме конечной глубины, встречается при рассмотрении многих задач атомной физики, например, эмиссии электронов из металлов, радиоактивного распада и т. д.

51