т. е. вероятность обнаружить частицу вдоль оси х везде постоянна.

Таким образом, если импульс частицы имеет определенное значение, то она, в соответствии с принципом неопределенности, с равной вероятностью может находиться в любой точке пространства. Иначе говоря, если импульс частицы точно известен, мы ничего не знаем о ее местонахождении.

В процессе измерения координаты частица локализуется измерительным прибором, поэтому область определения волновой функции (17.1) для свободной частицы ограничивается отрезком х. Плоскую волну уже нельзя считать монохроматической, имеющей одно определенное значение длины волны (импульса).

18.ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Взаключение рассмотрим задачу о колебаниях квантового гармонического осциллятора. Таким осциллятором являются частицы, совершающие малые колебания около положения равновесия.

На рис. 18.1, а изображен классический гармонический осциллятор в

виде шарика массой m, подвешенного на пружине с коэффициентом жесткости k. Сила, действующая на шарик и ответственная за его колебания, связана

скоординатой х формулой F = −kx. Потенциальная энергия шарика есть

d2ψ / dx 2 + (2m / 2 )(E −U (x))ψ =

=d 2ψ / dx 2 + (2m / 2 )(E − mω2 x 2 / 2)ψ = 0.

Решение этого уравнения приводит к квантованию энергии осциллятора. Собственные значения энергии осциллятора определяются выражением

En = (n +1/ 2)ω , n = 0, 1, 2, 3...

60

Как и в случае потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками, минимальная энергия осциллятора E0 = ω/ 2 отлична от нуля. Наименьшее возможное значение энергии при n = 0 называют энергией нулевых колебаний. Для классического гармонического осциллятора в точке с координатой x = 0 энергия равна нулю. Существование энергии нулевых колебаний подтверждается экспериментами по изучению рассеяния света кристаллами при низких температурах. Спектр энергий частицы оказывается эквидистантным, т. е. расстояние между уровнями энергии равно энергии колебаний классического осциллятора

En = En+1 − En = ω.

При передаче энергии через фотон его частота оказывается равной ω. Приведем (без вывода) выражения для нескольких первых собственных

функций гармонического осциллятора:

ψ0 = Aexp(−k 2 x / 2); ψ1 = 2akx exp(−k 2 x / 2);

ψ2 = A(4k 2 x2 −2)exp(−k 2 x / 2); ψ3 A(8k 3x3 −12kx)exp(−k 2 x / 2).

Графики для соответствующих плотностей вероятности изображены на рис. 18.2. Границы «классической» траектории осциллятора помечены как

− x0 и x0.

Проведем сравнение с классическим случаем. Очевидно, что в этом случае вероятность dP нахождения частицы в интервале dx обратно пропорциональна скорости частицы v = ωx0 cos(ωt +ϕ) = ωx02 − x2 , где x0 есть точка поворота частицы при колебаниях, т. е. dp≈ dx/ ωx02 − x2 .

61

График «классической» плотности вероятности изображен на рис. 18.3 пунктирной кривой. Видно, что, как и в случае потенциальной ямы, поведение квантового осциллятора существенным образом отличается от поведения классического.

Вероятность для классического осциллятора всегда максимальна вблизи точек поворота, а для квантового осциллятора вероятность максимальна в

На рис. 18.3 изображены графики для классической и квантовой плотностей вероятности при большом квантовом числе n. Хорошо видно, что усреднение квантовой кривой приводит к классическому результату.

62

63

Малышев Михаил Николаевич, Павловская Мария Владимировна, Попов Юрий Игоревич, Земцов Антон Валерьянович

Основы квантовой физики

Учебное пособие

Редактор Н. В. Рощина ЛР № 020617 от 24.06.98.

Подписано в печать 00.09.2003. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Times». Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 3,0.

64

Тираж 200 экз. Заказ Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

65