electrodynamics

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

H12 и E12: λc =

1 (2a )2 +1 (2b)2

1 (2a )2 +1 (2b)2

.pdf

Скачиваний:

275

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

1.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

vgr =

βc2

∂β

= c

1 −

(4.17)

∂ω

Используя понятие критической частоты, выражение (4.13) для фазо-

вой скорости можно записать как

vph =

(4.18)

1 −

Тогда из (4.17) и (4.18) получим

= c2.

(4.19)

При понижении частоты фазовая скорость в волноводе растет, а груп-

повая

–

падает

при

ω → ωc ,

→∞,

→ 0 . Это означает, что

vgr,ver

сигнал в волноводе при ω < ωc

рас-

vph

пространяться не может.

На рис. 4.5 показаны зависимо-

сти фазовой и групповой скоростей

волн в волноводе при вакуумном за-

полнении от частоты.

vgr

Заметим, что связь между фазо-

вой и групповой скоростями, которая

определяется

соотношением (4.19),

ωc

Область непрозрачности волновода

не универсальна. Она справедлива

Рис. 4.5. Фазовая и групповая скорости

только в частном случае волновода,

волны в волноводе в функции от час-

несущего электромагнитную волну.

тоты

Поток мощности через поперечное сечение волновода. Воспользу-

емся вектором Пойнтинга (рис. 4.6). Согласно теореме Пойнтинга, средний

по времени поток активной мощности Р, проходящей через поперечное се-

чение S волновода в направлении его оси, может быть вычислен из соот-

ношения

a b r

P = ∫ ∫

ΠdS ,

0 0

		r	1		r	r		r
где	Π – вектор Пойнтинга	( Π =		Re E		H	* );	H	*	– комплексно-
									m
					m		m

сопряженная амплитуда вектора напряженности магнитного поля.

H Π

Рис. 4.6. Вектор Пойнтинга в прямоугольном волноводе с основным типом поля.

Для основного типа поля имеем:

−iβz

Ey = Em sin

x e

; H x = −

sin

x e

;

Z g

sin2

Π(x) = e

2Z g

Z g = ωµ0 – волновое сопротивление волновода.

Тогда из (4.10) и (4.11) следует, что

Z g =		120π			.	(4.20)



			λ	2
	1 −
	1 −
			λc

Вычислив интеграл от вектора Пойнтинга по поперечному сечению волновода, получим поток мощности вдоль оси волновода:

a b

sin2

E 2

P = ∫ ∫

x dxdy ;

P =

(4.21)

0 0

2Z g

где Em – амплитуда напряженности электрического поля.

На рис. 4.7 показано распределение векторов напряженности электрического поля, магнитного поля и вектора Пойнтинга в поперечном сечении волновода.

r	π
Ey (x) sin		x

	a

	r		π x
	Hx(x) sin		π x
			a
0	a	x	0

r	2 π	x
Π(x) sin	a	x
	a
a	x	0	a	x

r r

Рис. 4.7. Векторы E , H и Π в поперечном сечении волновода в функции координаты

Преобразуем выражение (4.21). Используя (4.20), получим

2 ab

λ 2

P =

−

ε0µ0

λc

С использованием выражения для групповой скорости (4.17) полученное соотношение для потока мощности через поперечное сечение волновода можно переписать так:

	ε	0	E	2	ab
P =		0		m		vgr .	(4.22)
P =						vgr .	(4.22)

Соотношение (4.22) можно интерпретировать следующим образом:

• при распространении волны объемная плотность энергии электромаг- нитного поля переносится через поперечное сечение волновода с группо-

вой скоростью. В случае, когда vgr → 0 , перенос энергии по волноводу

прекращается.

Если изменить знак у β , то изменятся знаки у vph и vgr , а также на-

правление вектора Пойнтинга. Таким образом, если изменить направление распространения волны в смысле направления движения поверхности постоянной фазы, то изменится и направление потока мощности.

4.2. Высшие типы поля в прямоугольном волноводе

Классификация типов поля прямоугольного волновода. Основным признаком типа поля принято считать наличие силовых линий поля, имеющих продольную компоненту. Рассмотренные в 4.1 решения уравнений Максвелла имеют продольную компоненту H , поэтому их принято назы-

вать волнами магнитного типа, или волнами H-типа. Для обозначения ти-

па поля берется в расчет число полуволн изменения полей на поперечном сечении вдоль оси х и оси у. Волна, описываемая решением

Ay = A0 sin nπ x e−iβx ,

содержит n полуволн вдоль оси х. В общем случае вводится символ Hnm , который означает, что в рассматриваемой волне имеется продольная компонента магнитного поля (при этомEz = 0 ; по оси х – укладывается n полуволн, по оси y укладывается m полуволн). Рассмотренный в 4.1 простейший тип поля прямоугольного волновода обозначался символом H10 .

В волноводе также возможны волны, у которых продольная компонента электрического поля Ez отлична от нуля, тогда как продольная компонента магнитного поля равна нулю ( H z = 0 ). Такие типы поля обозначают символом Enm . Этот символ означает, что в рассматриваемой волне имеется продольная компонента электрического поля, по оси х укладывается n полуволн, по оси y укладывается m полуволн.

Волны Е-типа называют продольно-электрическими волнами; их так-

	же называют волнами ТМ-типа, или поперечно-магнитными волнами.
	y	Аналогично, волны Н-типа называют про-
	y	дольно-магнитными волнами; их также на-
		дольно-магнитными волнами; их также на-
	b	зывают волнами ТЕ-типа, или поперечно-
		электрическими волнами.

		Волны электрического типа в пря-
	a	моугольном	волноводе	(Emn -волны, или
0		x	На рис. 4.8	показаны система
z		ТМ-волны).
		координат и размеры поперечного сечения
Рис. 4.8. Система координат
и размеры волновода		прямоугольного волновода.

Нужно найти такое решение уравнений Максвелла, при котором H z = 0 , что по определению соответствует Е-типу волн. Данное решение можно сформировать с помощью векторного потенциала. Известно, что

H= rot A; E = −iωµ0 A − grad ϕ; div A = −iωε0ϕ.

Впустом волноводе ток проводимости отсутствует ( j = 0 ). Исключим

φ, тогда

H = rot A; E =

(ω2ε0µ0 A + grad div A).

(4.23)

iωε0

• Если выбрать

векторный потенциал A таким,

что он имеет

только продольную компоненту

A = ez A( x, y, z ), то

= 0

благодаря

свойствам операции rot .

Действительно, из (4.23) следует:

H x

∂A

;

∂y

H y

= −

∂A

;

∂x

H z = 0;

∂2 A

(4.24)

;

iωε0 ∂x∂z

∂2 A

;

iωε0 ∂y∂z

ω2ε µ

∂

A +

0 0

∂z

iωε0

Дифференциальное уравнение для A известно – это волновое уравне-

ние:

∂2 A( x, y, z )

∂2 A(x, y, z )

∂2 A( x, y, z )

+ ω2ε µ

A( x, y, z ) = 0 . (4.25)

∂x2

∂y2

∂z2

Рассмотрим граничные условия. Нужно найти решения в виде бегу-

щей вдоль волновода волны, поэтому

A( x, y, z ) = f ( x, y )e−iβz .

Тогда вы-

бранный вектор A пропорционален продольной компоненте электрического поля Ez . Ez касательна стенкам и поэтому на них равна нулю, т. е.

f (x, y) x=0,a = f (x, y) x=0,b = 0 .

Решение волнового уравнения при таких граничных условиях имеет

вид

A( x, y, z ) = A

sin

nπx

sin

mπy

e−iβz .

(4.26)

Граничные условия выполняются при n = 1, 2, 3...; m = 1, 2, 3. Подста-

вим решение (4.26) в (4.25). Получим дисперсионное уравнение

β2 = ω2ε0µ0

nπ 2

mπ

−

(4.27)

или

2π 2

2π

−

(4.28)

λc

λ g

где

1 2

m 2

(4.29)

λc

Чем больше значения n и m, тем меньше критическая длина волны λc . Подставим найденное решение (4.26) в (4.24). Получим:

H x = Anm

mπ

nπx

mπy

−iβz

sin

cos

;

H y = Anm

nπ

nπx

mπy

−iβz

cos

sin

;

H z = 0;

(E) nπ

nπx

mπy

−iβz

Ex = − AnmZ g

cos

sin

;

(E) mπ

nπx

mπy

−iβz

Ey = − AnmZ g

sin

cos

;

nπ

mπ 2

nπx

mπy

−iβz

(E) a

Ez = iAnmZ g

sin

где Z g(E) – это волновое сопротивление волновода в случае волны Е-типа:

Z g(E) = Ez H y = Ey H x .

Из (4.24) следует, что

Z g(E) = β .

ωε0

Заметим, что из (4.27) – (4.29) следует, что β = ωε0µ0 1 − (λλc )2 ,

		µ0
тогда Z	(E) =	µ0	1 − (λ λ	c	)2 .
тогда Z	(E) =		1 − (λ λ		)2 .
	g	ε0
		ε0

На рис. 4.9 показаны силовые линии электрического и магнитного полей волны типа Е11 (n = 1, m = 1).

r
H
y
b		r
b		E
		λ g
		2
sin π x
a		x
0	a	x	π y
z		sin	π y
z			b
			b

Рис. 4.9. Силовые линии электрического и магнитного полей типа поля E11 в прямоугольном волноводе

Волны магнитного типа в прямоугольном волноводе ( Hnm -волны,

или TEnm -волны). Для получения решения вводят симметричный вектор-

ный потенциал A → A' , соответствующий замене ε0 на −µ0 . Для волны

Enm :	r
	r	r		A(x, y, z );
	A = e		z	A(x, y, z );
			z
						r	r
	r			1		r	r
E	E =				(ω2ε µ	A + grad div A);
E	E =				(ω2ε µ	A + grad div A);
nm		iωε0			0 0
	r			r
	H = rot A.

Тогда для волны Hnm :

A'(x, y, z );

A' = e

H =

(ω2ε µ

A'+ grad div A');

iωµ0

E = rot A'.

В этом случае

Ex =

∂A'

;

∂y

Ey =

∂A'

;

∂x

Ez = 0;

= −

∂2 A'

H x

;

iωµ0 ∂x∂z

= −

∂2 A'

H y

;

iωµ0 ∂y∂z

∂

= −

ω2ε µ

A'+

∂z

iωµ0

A'(x,y,z) удовлетворяет

такому же

волновому уравнению, что и

A(x,y,z). Граничные условия:

∂A'

y=0,b = 0; Ey =

∂A'

y=0,a = 0.

∂y

∂x

Решение волнового уравнения:

nπx

mπy

−iβz

A' = A'nm cos

cos

;

β2 = ω2ε0µ0

nπ 2

mπ 2

−

Далее проводят действия, аналогичные для случая Е-волны, с той

лишь разницей, что

(H )

µ0

H y

H x

ε0

1 − (λ λc )

Квантовые числа для Н-волны могут начинаться от нуля (n = 0, 1, 2,..; m = 0, 1, 2,…). Решение уравнений Максвелла для случая n = 1, m = 0 волны H10 подробно разобрано в 4.1. На рис. 4.10 показаны электрические и магнитные силовые линии для волны типаH11 .

		r
		H
	y
r	b
E
sin π x
a
	0	a	x
z			sin	π y
				b

Рис. 4.10. Силовые линии электрического и магнитного полей типа Н11 в прямоугольном волноводе

этом

случае

продольная

компонента магнитного поля

H z cos

x cos

касательна

стенкам волновода и максимальна на

них.

H10

H01

Пример вычисления критической дли-

ны волны различных типов поля. Найти λc

высших

типов,

ближайших

к основному

H20

типу поля, при а = 23 мм, b = 10 мм.

Основной тип поля: H10 , для него λc

= = 2а = 4,6 см.

Соседний магнитный тип поля:

H01;

Рис. 4.11. Сопоставление распреде-

для него λc = 2b = 2,0 см.

ления силовых линий электрического

поля для волн H10 , H01 , H20

Другие типы поля:

H11 и E11: λc =

= 1,83

см;

1 (2a )2 +1 (2b)2

H20: λc = а = 2,3 см;

H21 и E21: λc = = 1,52 см; 1 (2a )2 +1 (2b)2

На рис. 4.11 показаны силовые линии электрического поля для трех вариантов волны Н-типа.

4.3.Основной тип поля в круглом волноводе

Вволноводе, образованном трубой в форме круглого цилиндра, также могут распространяться электромагнитные волны. Решение уравнений Максвелла в этом случае потребует использования цилиндрических координат ϕ, r, z и получается в виде комбинаций синусов или косинусов и

функций Бесселя. На рис. 4.12 приведено распределение полей в поперечном сечении круглого волновода с волной H11.

Принятое обозначение H11 соответствует тому, что волна имеет продольную компоненту магнитного поля, одну вариацию по углу ϕ и одну вариацию по радиусу r. Критическая длина волны типа H11 определяется диаметром трубы d:

λc = 1,71d .

Критическую длину волны типа H11 в круглом волноводе можно сопоставить с критической длиной волны типа Н10 в прямоугольном волноводе: λc = 2a .

При d = а средняя ширина круглой трубы несколько меньше ширины прямоугольного волновода. Это обусловливает некоторое уменьшение критической длины волны круглого волновода по сравнению с таковой прямоугольного волновода при d = а.

Конфигурация силовых линий E и H в круглом волноводе с волной H11 и конфигурация силовых линий E и H в прямоугольном с волной H01 топологически подобны. Эти типы поля легко переходят один в другой при плавном трансформировании поперечного сечения прямоугольно-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.03.2016221.18 Кб18EKOLOGIYa_ShPORA.doc
#
08.09.20192.57 Mб1Ekonomichesky_analiz.docx
#
08.09.2019446.98 Кб1ekonomika (1).doc
#
01.08.201950.55 Кб1Ekonomika_gori_v_adu.docx
#
22.04.2019615.42 Кб17Ekzamenatsionnye_voprosy_po_TOE.doc
#
09.02.20151.51 Mб275electrodynamics.pdf
#
18.09.20193.08 Mб19EM.docx
#
23.05.2015393.86 Кб12English448.pdf
#
18.09.20192.29 Mб4EP_redaktirovannye_pod_ch_b_printer.docx
#
09.02.20152.07 Mб10EP_Test_3.rtf
#
18.09.2019555.01 Кб9EUO_NA.doc