electrodynamics

линии – это сопротивление единицы ее длины. Рассмотрим поверхностный слой нижнего проводника толщиной t полосковой линии передачи длиной l и шириной w (рис. 5.15).

При условии, что плотность тока не зависит от поперечной координа-

проводника. Сопротивление тонкой пленки длиной l

R(l) = 1 l .

σ tw

Погонное сопротивление тонкой пленки:

R1 = 1 1 .

σ tw

Итак, погонное сопротивление полоски шириной w при равномерном распределении тока по ширине полоски:

Сопоставив выражения для поверхностного сопротивление (3.18) и скиновой глубины (3.20), можно переписать (5.23) в следующем виде:

93

Для полосковой линии, образованной достаточно толстыми проводниками, для которых t > δск , в предположении равномерного распределения тока по сечению линии и в пренебрежении полями рассеяния имеем:

• погонное сопротивление одного проводника в составе линии

• погонную индуктивность линии, состоящей из двух проводников;

h L1 = µ0 w .

Тогда

1ωµ0

пределение плотности тока в поперечном сечении полоска и проводящего основания микрополосковой линии. Из рисунка можно заключить, что поперечное сечение полоска используется не эффективно: ток течет только по части поперечного сечения, и вклад полоска в потери реально больше,

94

чем это учтено при сделанных ранее оценках. Зато эффективное сечение проводящего основания в данном случае реально больше, чем при условном однородном распределении плотности тока. Это уменьшает вклад в вклад проводящего основания в суммарные потери линии. В результате, сделанная ранее оценка потерь оказывается не такой уж грубой.

Пример:

6.Объемные и планарные резонаторы

Втеории электрических цепей изучаются свойства LCR-коле- бательных контуров, которые используется как основные элементы радиочастотных генераторов или составляющая часть радиочастотных фильтров

вразличных системах передачи и приема радиосигналов. Естественно, что на частотах радиодиапазонов конструктивные элементы LCR-коле- бательных контуров имеют размеры намного меньшие, чем длина волны используемых колебаний. В случае необходимости иметь LCR-коле- бательный контур в СВЧ-диапазоне, сохранив при этом катушку индуктивности и конденсатор как сосредоточенные элементы, их геометрические размеры должны быть много меньше длины волны в окружающей среде. Размеры элементов контура должны не превышать единиц или долей миллиметров. При этом размеры проводников становятся соизмеримыми с глубиной проникновения электромагнитного поля в проводники, а добротность такого колебательного контура становится малой.

Для реализации колебательного контура (резонатора) с достаточно большой добротностью на СВЧ используются отрезки передающих линий, имеющие ограниченную длину и заданные граничные условия на концах такой линии передачи. В качестве указанного резонатора может быть использован отрезок волновода, концы которого закрыты проводящими поверхностями. Таким образом, можно рассмотреть поведение электромагнитного поля в объеме, со всех сторон ограниченном проводящими по-

95

верхностями. Данный конструктивный элемент представляет собой объем- ный резонатор. Можно также использовать отрезки микрополосковой или копланарной линии ограниченной длины с заданными импедансом нагрузок на концах отрезков. В этом случае получают планарные резонаторы, которые находят применение в современной микроэлектронике СВЧ.

6.1. Электромагнитное поле в объемном резонаторе

Рассмотрим отрезок прямоугольного волновода с волной H10 , закороченного металлическими стенками с двух сторон (рис. 6.1).

Составляющие электрического поля в волноводе:

рассмотрение две волны в анализируемом отрезке волновода – отраженную и падающую:

Ey = E0 sin πax (e−iβz + eiβz ).

Положим = −1, тогда

πx

Ey = 2E0 sin a sin βz.

Первая часть условия (6.2) удовлетворяется, так как sin βz = 0 и

Ey z =0 = 0 при z = 0 .

96

Чтобы выполнялось условие

Ey z =c = 0 ,

необходимо положить, чтобы βc = pπ (где p = 1, 2, 3…), отсюда β = pπc . В задаче появилось третье квантовое число, поэтому электромагнитное поле в объемном резонаторе характеризуется тремя квантовыми чис-

лами:

•n – число полуволн вдоль оси x;

•m – число полуволн вдоль оси у;

•р – число полуволн вдоль оси z.

E y

x

x x x x x x

x x x

H z

z

Рис. 6.2. Силовые линии электрического и магнитного полей в прямоугольном резонаторе с типом по-

ля H102

В рассматриваемом частном случае имеем дело с волной Н10 . Пусть р = 2. Тогда

Распределение поля, отвечающее формулам (6.3), показано на рис. 6.2.

97

Врезонаторе существует стоячая волна: компоненты поля H x и H z изменяются во времени синфазно. Напряженность поля Ey по отношению

кH x и H z сдвинута по фазе на 90°.

Вволноводе компоненты Ey и H x совпадают в пространстве, образуя

вектор Пойнтинга. В резонаторе максимумы Ey и H x разнесены, а потому

в резонаторе с идеально проводящими стенками вектор Пойнтинга равен нулю, и переноса энергии в резонаторе нет. В резонаторе электромагнитное поле только запасает энергию.

В общем случае в прямоугольном объемном резонаторе можно выделить волны двух классов – продольно-магнитные Hnmp и продольно-

электрические Enmp . Имеется в виду, что в первом случае продольная

компонента магнитного поля направлена вдоль оси z, а во втором случае вдоль оси z направлена продольная компонента электрического поля.

Представим себе, что в объеме резонатора произошел кратковременный электрический разряд. В резонаторе после окончания разряда возникнут колебания электромагнитного поля на частоте, которая носит название

«собственная частота объемного резонатора». Естественно, что после окончания возбуждающего импульса колебания будут медленно затухать – причём тем медленнее, чем меньше потери энергии в проводящих стенках резонатора.

Найдем собственную частоту прямоугольного объемного резонатора. Возьмем функцию Z, описывающую какой-нибудь вектор поля в объемном резонаторе:

В рассматриваемом случае в качестве функции координат в равной мере могут быть использованы как sin, так и cos. Конкретный выбор функции определяется граничными условиями на стенках резонатора. Подставим взятую функцию в волновое уравнение:

Z+ ω2ε0µ0Z = 0,

=∂2 + ∂2 + ∂2 . ∂x2 ∂y2 ∂z2

98

Волновое уравнение имеет ненулевое решение только в том случае, если равно нулю выражение, стоящее в квадратных скобках. Отсюда следует, что

Это и есть собственная частота колебаний объемного резонатора, отвечающая типу колебаний с квантовыми числами n, m, p. Собственная частота колебаний объемного резонатора – его резонансная частота. Если внешнее воздействие (ток) имеет такую же частоту, то в резонаторе возбуждается поле самой большой амплитуды. Эту же формулу можно переписать для собственной частоты резонатора, выраженной в герцах:

6.2. Добротность объемного резонатора

Добротность объемного резонатора, как и добротность любого колебательного контура, это численная мера отношения запасенной энергии к

99

Δω – отклонение частоты внешнего источника колебаний от резонансной частоты контура, или, другими словами, – расстройка контура.

где Req = RLQ2 – эквивалентное резонансное сопротивление контура.

Теперь можно окончательно выделить вещественную и мнимую части импеданса контура:

принято называть полосой пропускания контура. Характерные точки на рис. 6.4 определяются равенством

100

2Δω

ω0

Q = 1,

в котором ω1 − ω0 = Δω, ω0 − ω2 = Δω.

Добротность LCR-контура Q была определена формулой (6.6).

S1

c

Обобщенная формула для добротности. Умножим числитель и зна-

менатель (6.6) на 12 Im2 , где Im – амплитуда тока в контуре. Получим

Заметим, что LIm2 2 = W , RIm2 2 = P , где W – максимальная энергия, запасенная в контуре; Р – мощность, поглощаемая в контуре на частоте резонанса.

Тогда

или

Q = 2π PTW ,

где РТ – энергия, поглощенная за один период колебаний тока в контуре.

101

Добротность объемного резонатора. Максимальные энергии, запа-

саемые в резонаторе магнитным полем при H (t) = H m и электрическим полем приE(t) = Em , равны, соответственно,

где Eτ , Hτ – касательные составляющие векторов электрического и магнитного полей на стенках резонатора; Rsur – поверхностное сопротивление материала стенок.

Исключив из (6.9) Eτ , получим выражение для мощности, поглощаемой в стенках, и в соответствии с (6.8) и (6.9) найдем добротность объемного резонатора:

S

Добротность резонатора определяется интегралами от напряженности магнитного поля по объему резонатора и по поверхности стенок, а также поверхностным сопротивлением материала стенок. Из (6.10) следует, что добротность зависит от геометрических размеров резонатора. Принято обозначать:

Q = G Rsur ,

где G – геометрический фактор, или

102