electrodynamics

Согласно выражению (3.9), напряженность электрического поля может быть разделена на вихревую и потенциальную части, причем вихревая часть имеет место только в случае изменяющихся во времени полей.

Таким образом, напряженности поля E и H выражаются через электродинамические потенциалы A и ϕ с помощью соотношений (3.6) и (3.9), и для описания электромагнитных полей достаточно знать четыре потен-

53

Условие (3.12) называется условием калибровки Лоренца. Используя калибровку Лоренца, можем систему уравнений (3.11) переписать в более простом виде:

Эти уравнения описывают те же физические процессы, которые описываются уравнениями Максвелла. Система уравнений (3.13) образована двумя уравнениями. Такое разделение уравнений оправдано физически: в уравнение для A входит плотность тока (токи являются источниками магнитных полей), а в уравнение для ϕ входит плотность зарядов (заряды являются источниками и стоками электрического поля). Уравнения (3.13) могут быть записаны как четыре скалярных дифференциальных уравнения

В отсутствие временной зависимости (ω → 0) уравнения (3.14) переходят, соответственно, в уравнения магнитостатики и уравнения Пуассона:

εε0

При отсутствии источников ( j = 0 и ϕ = 0 ) уравнения Пуассона превращаются в уравнения Лапласа:

A = 0; Δϕ = 0.

В отсутствие временной зависимости (ω → 0) калибровка Лоренца (3.12) примет следующий вид:

div A = 0,

который носит название «калибровка Кулона».

54

При решении задач техники СВЧ, как правило, бывает достаточно решить задачу относительно одной из четырех функций координат: ϕ , Ax , Ay , Az . Выбранная функция является скаляром, что сильно упрощает

решение используемых дифференциальных уравнений. Подчеркнём здесь, что решение дифференциальных уравнений требует формулировки граничных условий. В следующих главах настоящего курса лекций будут рассмотрены различные волноведущие структуры и найдены их свойства решением дифференциальных уравнений относительно одной из названных ранее четырех функций координат ( ϕ , Ax , Ay , Az ). При решении этих задач

будут сформулированы необходимые граничные условия. Получив решение относительно избранного электродинамического потенциала, компоненты векторов электрического и магнитного полей можно найти с помощью приведенных соотношений (3.6) и (3.9).

Рассмотрим еще один векторный потенциал. При решении некоторых задач техники СВЧ заранее известно, что электрическое поле носит вихревой характер, т. е. скалярный потенциал ϕ = 0. При этом из (3.9) и (3.12) получим

Здесь вектор F представляет собой «электрический» векторный потенциал в отличие от традиционного «магнитного» векторного потенциала A . Подставив (3.17) в уравнения Максвелла, найдем, что вектор F , как и вектор A , удовлетворяет волновому уравнению. Найдя решение волнового уравнения для одного из компонентов Fx , Fy , Fz , определим компоненты

вектора напряженности электрического поля с помощью соотношения (3.17) и далее компоненты вектора напряженности магнитного поля с помощью соответствующего уравнения Максвелла. В конкретных случаях использование «электрического» векторного потенциала F облегчает решение соответствующих электродинамических задач.

55

4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДАХ

Волновод – канал с резкими границами, по которому распространяется волна. Волноводы бывают оптические, акустические и радиоволноводы. Радиоволноводы представляют собой металлические трубы или диэлектрические стержни (диэлектрические волноводы). В своем рассмотрении ограничимся волноводами в виде металлических труб и начнем с простейшего примера – прямоугольного волновода с основным типом поля.

4.1. Основной тип поля в прямоугольном волноводе

На рис. 4.1 показан прямоугольный волновод, представляющий собой прямоугольную металлическую трубу с тщательно отполированной внутренней поверхностью.

Положим, что в волноводе нет диэлектрических или магнитных вкладышей, поэтому диэлектрическая и магнитная проницаемости в волновом уравнении представлены проницаемостями свободного пространства (вакуума).

Решение уравнений Максвелла для прямоугольного волновода при

Ey ≠ 0 , Ez = Ex = 0 . Будем искать простейшее решение. Положим вектор-

ный потенциал равным

56

r = r iωt

A e y Ay (x, z)e ,

а скалярный потенциал независящим от координат и времени. Заданному таким образом векторному потенциалу соответствует div A = 0 .

Связь потенциалов и напряженностей полей:

H = rot A.

Отсюда получим:

Ez = Ex = 0;

Ey = −iωµ0 Ay ( x, z );

∂2 Ay = −βA0 f (x)e−iβz ,

∂ z2

то уравнение (4.3) можно переписать в виде

57

волновое число волны в свободном пространстве); β – продольное волновое число для волновода или фазовая постоянная распространяющейся волны:

Полученное уравнение (4.6) носит название дисперсионного уравне-

ния.

Для волновода принято обозначение β = 2πλ g , где λ g – длина волны

в волноводе, так что дисперсионное уравнение связывает длину волны в волноводе с длиной волны в свободном пространстве на той же частоте.

Найдем f (x) из (4.5). Решение (4.5) ищем в виде

f (x) = C1e−ikx x + C2eikx x.

Используя граничные условия (4.6), получим систему алгебраических уравнений относительно C1 и C2:

Система однородных алгебраических уравнений имеет решение, если определитель системы равен нулю:

11

e−ikxa eikxa = 0,

откуда eikxa − e−ikxa = 0 или sin kxa = 0 .

Это условие может быть выполнено, если kxa = nπ , где n = 1, 2,3,... .

Разные n дают различные картины распределения поля в поперечном сечении волновода. Это – условие квантования решений уравнений Максвелла: kx = nπa .

58

Вспомним, что k = 2πλ , где λ – длина волны в свободном пространстве. Тогда

При n = 1 функция f (х) определяет простейший тип поля прямоугольного волновода.

Распределение поля в прямоугольном волноводе в случае простей-

шего типа поля. Объединив (4.3) и (4.8), получим для случая n = 1

Ay = A0 sin π x e−iβz .

a

Используя (4.1), (4.2) и (4.7) получим:

Ez = Ex = 0 ;

Ey = −iωµ0 Ay sin π x e−iβz ;

a

кое решение принято называть магнитным типом поля и обозначать символом Hn,m , где n и m – порядок квантования полученных решений вдоль

осей x и y . Полученное решение отвечает магнитному типу поля при n = 1

и m = 0.

Эпюры полей в прямоугольном волноводе при волне типа H1,0 при-

ведены на рис. 4.2.

Назовем отношение Ey к H x волновым сопротивлением волновода:

59

На рис. 4.2 показано распределение поля в фиксированный момент времени. Картина поля смещается вдоль оси z со скоростью vg :

vg = ω = vph .

β

Здесь vg – скорость движения поверхности равных фаз или фазовая скорость волны в волноводе.

Рис. 4.2. Силовые линии электрического и магнитного полей основного типа поля в прямоугольном волноводе

60

где λ – длина волны в свободном пространстве.

В случае заполнения волновода средой с проницаемостью εr > 1 λ соответствует длине волны в среде, т. е.

2πλ = ωε0εrµ0 .

На рис. 4.4, а показана зависимость длины волны в волноводе λ g от

длины волны в свободном пространстве в случае вакуумного заполнения волновода.

• Электромагнитная волна, у которой длина волны в вакууме больше критической длины волны волновода ( λ > λ c ), не может распростра-

няться в волноводе. Для основного типа поля в прямоугольном волноводе

λc = 2a .

Фазовая постоянная волны в волноводе

не представляет собой волну, а экспоненциально затухает без изменения фазы.

Групповая скорость волны в волноводе. Итак, фазовая скорость вол-

ны в волноводе найдена:

61

Полученные соотношения иллюстрируются рис. 4.4, б. Они устанавливают ту же связь между частотой и фазовой постоянной, что и дисперсионное уравнение (4.6). Продифференцируем (4.16):

и подставим в (4.14). Тогда зависимость групповой скорости волны в волноводе от частоты примет вид

62