7. Вычисление интегралов

Возможность «исправлять» контур интегрирования позволяет получить важную формулу для вычисления интегралов.

Теорема о вычетах.Пусть функцияаналитична в областиза исключением конечного числа изолированных особых точек. Замкнутый положительно ориентированный контурлежит внутри области, не проходит через особые точки функциии внутри контура содержатся особые точки. Тогда справедливо равенство

.

Доказательство.Рассмотрим вспомогательный контур, образованный контуром, маленькими (не пересекающимися) окружностямис центрами в точкахи непересекающимися кривыми, соединяющими окружности с контуром, кривые проходятся по два раз в противоположных направлениях. Контурне содержит внутри себя особых точек и по теореме Коши. Рассуждая далее как в доказательстве теоремы о разложении в ряд Тейлора, можно показать, что

.

Остается заметить, что .

Примеры вычисления интегралов

1)

– простой полюс,,

–, так как это полюс третьего порядка, следовательно,.

2)

– простой полюс,.

– существенно особая точка, надо вычислять коэффициентиз разложения в ряд Лорана. Это можно сделать, разлагая в ряды сомножители

,

это сумма произведений коэффициентов с индексами, дающими в сумме, следовательно,.

Прямое применение теоремы о вычетах возможно для очень специального класса интегралов – по замкнутому контуру. Но, иногда замена переменой позволяет использовать эту технику для интегралов иного вида. Например, такая возможность появляется при интегрировании периодических функций по отрезку равному длине периода (замена переменной позволяет перевести интегрирование на окружность).

Интегрирование дробно-рациональных тригонометрических функций

Замена переменной позволяет свести задачу к теореме о вычетах. Действительно, при такой замене, интегрирование будет происходить по окружности, а функция под интегралом превратится в отношение многочленов, поскольку на окружности. Возникший интегралможно вычислить с помощью теоремы о вычетах (все особые точки оказываются полюсами). Заметим, что это предполагает отсутствие корней на единичной окружности у многочлена, но если это условие нарушается, то возникающий несобственный интеграл расходится.

Пример.

Хотя область применения этого методе довольно обширна, он скорее эффектен, чем эффективен и не дает существенных преимуществ в сравнении с универсальной тригонометрической заменой, кроме того, что сводит разложение на простейшие к вычислению вычетов.

Методы вычисления несобственных интегралов

Возможность применять вычеты для вычисления несобственных интегралов чрезвычайно важны, так как они дают уникальный инструмент для вычисления преобразований Фурье и Лапласа.

Неочевидна сама возможность применения теоремы о вычетах, для вычисления несобственных интегралов – отсутствует замкнутый контур. Но для того чтобы несобственный интеграл сходился необходимо, что бы функция была мала при больших значениях аргумента. Это дает надежду на то, что замыкание конура дугой окружности большого радиуса, мало изменит значение интеграла. Мы рассмотрим два класса функций, для которых легко обосновать возможность применение такого приема.

Интегралы от дробно рациональных функций

Здесь сумма распространяется по всем корням многочленав верхней полуплоскости.

Доказательство. Пусть окружность достаточно большого радиуса, такого, что все корни многочленалежат внутри нее, тогда на окружности будет выполнено неравенство. Обозначим через

,

тогда , следовательно.

Причем бесконечно малая добавка обращается в 0 при , так как с этого момента прекращается изменение числа особых точек внутри контура, т.о.

Примеры

1) .

Проверим условия применимости формулы .

Единственный корень многочлена в верхней полуплоскости.

Следовательно .

2)

Единственный корень многочлена в верхней полуплоскости. Для интегрируемой функции это полюс четвертого порядка. Следовательно

.

Вычисление преобразования Фурье от дробно рациональных функций

,

здесь сумма распространяется по всем корням многочленав верхней полуплоскости. Небольшое отличие от первой формулы состоит в ослаблении требований к степеням многочленов, что существенно расширяет класс допустимых функций, продвигая формулу в трудном направлении.

Доказательство формулы опирается на вспомогательную оценку, которая имеет устоявшееся название.

Лемма Жордана. Пусть функциянепрерывна в областии, тогда.

Доказательство. Введем параметризацию на .

Заметим, что и, следовательно

.

Теперь доказательство формулу, может быть проведено также как в предыдущем случае.

Заметим, что условиеможно заменить на, но при этом надо замыкать контур полуокружностью, лежащей в нижней полуплоскости.

Пример..

Рассмотрим , тогда, а интегралможно вычислить по формуле

Следовательно .

Формула обращения преобразования Лапласа

Напомним определение преобразования Лапласа

функция должна удовлетворять следующими условиями:

1) на любом ограниченном интервале функция имеет конечное число разрывов первого рода и экстремумов,

2) ,

3) .

Преобразование Фурье и преобразование Лапласа тесно связаны. Теперь известная формула обращения преобразования Фурье может быть переписана для преобразования Лапласа

здесь предполагается, что . Поскольку формулу можно применять к любой функции (лишь бы интеграл сходился), то важно знать условия, гарантирующие, что функцияпринадлежит классу допустимых функций. Это обстоятельство важно при решении уравнений с помощью преобразования Лапласа. Зная лемму Жордана нетрудно получить достаточные условия [4] .

Теорема.Если функцияаналитична в полуплоскостии

1) ,

2) ,

то является изображением функции.

Следствие. (Формула восстановления оригинала.)Если

,

то является изображением функции

Если все корни простые (), то.