МИНОБРНАУКИ РОССИИ

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Методы решения геометрических задач средствами линейной алгебры

Методические указания

к решению задач

Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2011

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Методы решения геометрических задач средствами линейной алгебры

Методические указания

к решению задач

Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2011

УДК 514.12

Методы решения геометрических задач средствами линейной алгебры: Методические указания к решению задач / Сост.: М. В. Буслаева, Л. А. Бровкина, А. С. Колпаков, В. А. Смирнова. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2011. 32 с.

Содержат простейшие формулы и примеры решения задач различными способами по теме «Плоскость и прямая в пространстве».

Предназначены для студентов первого курса дневной формы обучения.

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

Редактор Н. В. Лукина

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Подписано в печать . .11. Формат 6084 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 2.0.

Гарнитура «Times New Roman». Тираж 110 экз. Заказ .

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2011

Цель настоящих методических указаний заключается в том, чтобы представить набор типовых задач по следующим разделам аналитической геометрии: «Плоскость», «Прямая в пространстве», «Плоскость и прямая». Предложенный набор упражнений ориентирован на освоение ключевых теоретических понятий и утверждений посредством приобретения практических навыков решения стандартных задач по курсу. При этом не требуется применения каких-либо нетрадиционных приемов или теоретических утверждений, выходящих за рамки курса.

1. Плоскость

1. Основные сведения из теории

В декартовой системе координат плоскостьможет быть задана уравнением одного из следующих видов.

1. Общее уравнение плоскости:

Вектор перпендикулярен плоскости.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно нормальному вектору, имеет вид

(1.2)

3. Уравнение плоскости в отрезках на осях:

(1.3)

Здесь величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осяхсоответственно, т. е. плоскость проходит через три точки:,,.

Кроме того, понадобятся следующие формулы, доказательство которых можно найти в теоретическом курсе.

4. Угол между двумя плоскостями

и

равен углу между нормальными векторами и:

;(1.4)

Плоскости ипараллельны тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны ():

.

Плоскости иперпендикулярны тогда и только тогда, когда векторыиортогональны ():

5. Расстояние от точки до плоскости: равно

(1.5)

6. Уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей

и

,

следует искать в виде

, (1.6)

где инекоторые числа.

Множество плоскостей, проходящих через линию пересечения двух заданных плоскостей, называется пучком плоскостей.