- •Теория функций комплексной переменной
- •1. Элементарные функции комплексного переменного
- •2. Условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •3. Интегрирование аналитических функций
- •4. Теорема единственности. Аналитическое продолжение
- •5. Особые точки. Ряды Лорана
- •6. Вычеты
- •7. Вычисление интегралов
- •Список литературы
- •Оглавление
2. Условия дифференцируемости функции комплексного переменного
Выясним условия, гарантирующие наличие производной у функции комплексного переменного, т. е. наличие предела
Рассмотрим эквивалентное «вещественное» описание этого вопроса
.
Если устремить приращения аргументов к нулю, то получится следующее соотношение для дифференциалов
Требуется выяснить, при каких условиях найдется комплексное число такое, что, т. е.
Заметим, что умножение вектора на комплексное число означает растяжение с коэффициентоми поворот на угол. Воспользуемся матричным описание этих действий и получим равенство
Из этого равенства следует требуемое условие, которое можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема (условие Коши-Римана).Функция комплексного переменного дифференцируема тогда и только тогда, когда выполнены равенства
– условия Коши-Римана.
Определение.Функцияназывается аналитической в области, если в каждой точке области выполнено условие Коши-Римана.
Напомним, что областью называется любое подмножество комплексной плоскости такое, что каждая точка входит в него вместе с окрестностью (достаточно малым кругом с центром в этой точке).
Легко привести примеры функций удовлетворяющих условию Коши-Римана в одной единственной точке, но важными являются именно аналитические функции. Только о них и будет идти речь в дальнейшем.
Из анализа доказательства условий Коши-Римана вытекает полезная геометрическая интерпретация: в малой окрестности точки аналитическая функция действует как линейная, при этом – сдвиг,– локальный коэффициент растяжения, а– локальный угол поворота, осуществляемый отображениемв точке.
Следствие.Пусть функцияаналитическая в областитогда
1) если кривая в области, и, то длина кривойравна(криваяполучается из кривой«растяжением», коэффициент растяжение в точкеравен).
2) если область содержится в области, и, то площадь областиравна, (локальный коэффициент растяжения одинаков во всех направлениях, поэтому квадрат со сторонойперейдет в квадрат со стороной).
3) если две кривые лежат в области, пересекаются в точкепод углом(т. е. касательные к кривым в этой точке образуют угол), то образы этих кривых при отображениипересекаются в точкепод тем же углом.
Задача.Покажите, что элемент дуги кривойравен. Указание. Рассмотрите параметрическое описание кривой.
Примеры.1) Вычислим длину образа отрезкапри отображении.
Решение. , для вычисления интеграла надо ввести параметризацию кривой
Теперь можно вычислить длину образа
.
2) Вычислим площадь образа квадрата при отображении.
Решение.,
площадь равна .
3) Образ квадрата при дробно-линейном отображении
Чтобы контролировать отображения надо выяснить, во что перейдут прямые, составляющие границы квадрата. Эта задача сводится к рассмотренной ранее инверсии, если предварительно разложить дробно-линейную функцию на компоненты
Обозначим. Действительная часть -xи мнимая часть -yс соответствующими индексами являются координатами образов точкиz, получаемых в результате последовательных преобразований.
П
Рис.1
Шаг 1. Формулы преобразования координат:
.
Это преобразование задает параллельный перенос исходного квадрата вниз и влево на единицу.
Шаг 2. Формулы преобразования координат:
.
Данное преобразование задает инверсию. Заметим, что отрезки , и переходят в дуги окружностей, а отрезок сохраняется прямолинейным, точка остается неподвижной.
Шаг 3. Формулы преобразования:
Это преобразование задает поворот вокруг начала координат на угол против часовой стрелки и растяжение враз.
Шаг 4. Формулы преобразования координат:
Это преобразование задает сдвиг на единицу вверх по оси y.
4) Вычислим периметры последовательных изображений квадрата из предыдущего примера, обозначения сохраняются.
Периметр изображения 1 равен периметру изображения 0: .
Вычислим периметр изображения 2 – криволинейного квадрата :
Изображение 3 получается из изображения 2 поворотом и растяжением в раз, а изображение 4 – сдвигом изображения 3. Поэтому
.