6. Вычеты

Наиболее востребованное приложения рядов Лорана связано с формулой для вычисление коэффициента , здесь– контур, обходящий особую точкув положительном направлении и не содержащий внутри других особых точек. Дело в том, что коэффициенты ряда часто удается определить из косвенных соображений, и тогда формула становиться мощным инструментом для вычисления контурных интегралов. Если известен коэффициент, то известен и интеграл. Для устранимых особых точек этот коэффициент равен нулю и получается уже известная теорема Коши. Будет показано, что в точках полюсов вычисление коэффициентадело чисто техническое. Это дает аппарат для вычисления множества интегралов. В существенно особых точках мало шансов получитьиз косвенных соображений, но если это все-таки удается, то результаты получаются наиболее эффектные. Роль коэффициентав этих вопросах так велика, что для него существует стандартное обозначение.

Определение.Пусть-- изолированная особая точка функции, тогда вычетом функциив точкеназывают, и обозначают это символом.

Используя это обозначения можно записать формулу

здесь, как и прежде, -- контур, обходящий особую точкув положительном направлении и не содержащий внутри других особых точек. Чтобы сделать эту формулу содержательной, надо указать косвенный способ вычисления вычетов. Как было отмечено, это можно сделать, еслиявляется полюсом. Для этого нам потребуется уточнение определения, фактически содержащееся в доказательстве теоремы о классификации особых точек.

Определение.Пусть– полюс функции, тогда порядком полюса

называется число такое, чтои.

Теорема (формула вычисления вычетов в полюсах).Если– полюс функциипорядка, то

Доказательство.Из определения полюса следует, что

.

Следовательно .

Следствие (формула для вычетов в полюсах первого порядка).

1) Если – полюс функциипервого порядка, то

2) Если функции ианалитчны в окрестности точки,то.

Примеры.

1) Вычеты позволяют проводить разложение дробно-рациональной функции на простейшие. Рассмотрим для примера,

Функцию можно разложить на простейшие

Коэффициенты разложения можно вычислить как вычеты в полюсах. Точка является полюсом первого порядка, точка-- полюс второго порядка, , точка-- полюс третьего порядка для функции, что позволяет вычислить. Точка– полюс первого порядка для функции. что позволяет вычислить, аналогично функцияпозволяет найтии функцияпозволяет найти.

2) Полученное в примере 1 разложение можно использовать для вывода формулы общего члена рекуррентной последовательности

Эта последовательность определяет степенной ряд

,

который принято называть производящей функцией.

Обозначим .

Можно проверить, что , где

,

, ,.

Если , то , т. е. в силу рекуррентного соотношения. Следовательно, .

Далее, для определенности, будем считать, что знаменатель имеет такое же разложение на множители, как в первом примере, т. е.. Тогда

.

Для получения нужной формулы достаточно разложить в степенные ряды слагаемые, и затем собрать вместе слагаемые с одинаковыми степенями .

Разложения для слагаемых получаются из формул:

, ,,

Первая формула – сумма геометрической прогрессии, две другие получаются почленным дифференцированием первой.