Обобщенный закон Гука

Теория упругости устанавливает и определяет связь между напря­жениями и деформациями, возникающими в материале под действи­ем внешних сил. Эта связь осуществляется с помощью закона Гука.

Для изотропного упругого тела зависимость между деформаци­ями и напряжениями имеет более простую форму.

Пусть прямоугольный параллелепипед вещества с ребрами, рав­ными единице, находится под действием нормальных растягиваю­щих напряжений (см. рис. 5.2)

Опыт показывает, что в области упругих свойств напряжение и деформация пропорциональны между собой, т.е.

(5.12)

где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости и являющийся физической характеристикой упругих свойств материала,

Однако, вместе с тем, эксперименты показывают, что удлине­ние под действием напряжения вдоль оси z приводит к пропор­циональному укорочению вдоль двух других осей, т.е. (см. рис. 5.2)

(5.13)

где v — коэффициент пропорциональности, называемый коэффи­циентом Пуассона и являющийся физической характеристикой уп­ругих свойств материала, причем 0 < v < 0,5.

Таким образом, при действии нормальных напряжений суще­ствуют два коэффициента пропорциональности Е и V.

Рассмотрим суммарную деформацию вдоль оси z от одновремен­ного действия сразу трех нормальных напряжений. Суммарная де­формация будет складываться из трех деформаций, получаемых от действия сразу трех напряжений (см. рис. 5.2):

(5.14)

где нижний индекс показывает, вдоль какой оси деформация, а вер­хний — от какого напряжения.

От действия напряжения получим деформацию вдоль оси z,

; от напряжения получим; от напряжения получим .

Складывая все составляющие деформации е_г, в (5.14) получим формулу для £_ги, рассматривая аналогично для осей х и у, запишем:

Хорошо доказана экспериментально пропорциональность меж­ду касательными напряжениями и угловыми деформациями:

где G = — модуль упругости при сдвиге, он, как минимум в 2 раза меньше, чем Е.

Формулы (5.16) выражают закон Гука при сдвиге.

Все шесть выражений (5.15) и (5.16), определяющих связь меж­ду напряжениями и деформациями, носят название обобщенного закона Гука.

Примечание.

1) Из формул (5.15) и (5.16) легко можно выразить величины на­пряжений через деформации.

2) Формулы закона Гука применимы только в области упругих свойств материала.

Полная система уравнений теории упругости

Для решения задач теории упругости имеется полная система уравнений, которая включает в себя:

1. Три уравнения равновесия, получаемые из уравнений движе­ния сплошной среды (см. (3.26)) при

где F_x об — проекция объемной силы на ось х.

2. Шесть уравнений Коши связи перемещений и деформаций:

3. Шесть уравнений обобщенного закона Гука связи напряжений и деформаций:

Всего имеем 15 уравнений, при заданных объемных силах, Е и v с пятнадцатью неизвестными:

Для однозначного решения системы в дополнение к системе дол­жны задаваться граничные условия на поверхности тела:

— на всей поверхности тела заданы поверхностные силы или за­даны перемещения;

— на части поверхности заданы поверхностные силы, а на ос­тальной перемещения.

Примечание. Система уравнений при заданных граничных ус­ловиях имеет единственное решение.

Задача 5(4.1)

Тензор напряжений равен:

Тензор деформаций равен:

С единичным кубом происходят угловая и линейная деформации.

Задача 6(5)