5.1. Модель Максвелла

Последовательное соединение пружины и демпфера

Запишем систему уравнений, отражающую функциональную зависимость деформаций и напряжений в модели Максвелла, счи­тая, что и— напряжение и деформация в упругом элементе,и—— в вязком элементе, и — на всей модели:

Дифференцируя по времени второе и третье уравнение в и подставляя производные деформаций во второе продифференци­рованное уравнение, с учетом первого, получим дифференциаль­ное уравнение:

которое является реологическим уравнением модели Максвелла. Испытание модели Максвелла на ползучесть.

Начальные условия следующие : при t > 0; а = а₀. Решение дифференциального уравнения при данных на­чальных условиях будет:

Следовательно, графически вид отклика модели на воздействие будет таким, как показано на графике e(t):

Как видно из рисунка, модель мгновенно реагирует на воздей­ствие, т.е. растягивается на величину , проявляя упругие свой­ства, и далее монотонно растягивается, причем угол наклона пря­мой равен .

Видно, что при модель Максвелла превращается в ньюто­новскую жидкость, т.е. в чисто вязкий материал, а прив чис­то упругий материал.

При испытании модели Максвелла на релаксацию начальны­ми условиями воздействия будут: при t > 0, . Тогда решениемуравнения является выражение:

где - постоянная модель Максвелла, имеющая размерность времени (сек).

Постоянная 0 называется временем релаксации, которая пока­зывает, за какое время величина отклика уменьшится в е раз.

Графики воздействия и отклика модели показаны на рисунке.

Задача №8

Дано:

1.)

2.)

5.2. Модель Фойгта

Параллельное соединение вязкого и упругого элементов.

Система уравнений связи деформаций и напряжений для моде­ли Фойгта имеет вид:

Подставляя третье и четвертое уравнения во второе, с учетом первого уравнения, получим:

Выражение есть дифференциальное уравнение связи де­формаций и напряжений в модели Фойгта. Материал, подчиняю­щийся данной модели, ведет себя совсем иначе, чем модель Макс­велла.

При испытании на ползучесть, т.е. при задании воздействия t > 0, , решением уравнения будет:

где -постоянная модель Фойгта, имеющая размерность времени.

Однако в данном случае, являясь физической характеристикоймодели, характеризует время запаздывания модели на внешнеевоздействие. Графики воздействия и отклика модели Фойгта при испытании на ползучесть представлены на рисунке:

При испытании модели Фойгта на релаксацию напряжений в начальный момент времени необходимо мгновенно растянуть мо­дель на величину е₀. Однако воссоздать такой режим воздействия невозможно, т.к. слагаемое в уравнении при ступенчатом воз­действии должно принимать бесконечно большое значение. Поэто­му в модели Фойгта напряжение не релаксирует

Задача №9

Дано:

Пусть , где, тогда

5.3. Модель Кельвина

Приведенные выше модели можно усложнить, добавив третий элемент — упругий элемент к модели Фойгта. Такая модель вязко-упругой среды называется моделью Кельвина

Система уравнений связи деформаций и напряжений на концах модели Кельвина имеет следующий вид:

где— деформация и напряжение на модели Фойгта.Исключая из уравнений получим

Уравнение можно привести к виду:

Решением реологического уравнения модели Кельвина при испытании на ползучесть, т.е. при t > 0, , будет:

Решением при испытании на релаксацию напряжений, т.е. при t > 0, е = е₀, является:

Графики воздействия и откликов модели Кельвина представле­ны на рисунках.

Как видно из анализа вышеприведенных простейших моделей Максвелла, Фойгта и Кельвина, различные комбинации упругого и вязкого элементов позволяют по разному смоделировать истинное поведение вязкоупругих материалов, и варьируя в дальнейшем вяз­кими и упругими Е — свойствами, подобрать их оптимальными для требуемых условий. Например, получив из экспериментов по­стоянную времени релаксации материала бумаги, можно оценить скорость печати, чтобы материал бумаги успевал полностью вос­становить свою форму перед новым циклом печати.

Задача №10

Дано: ;

42