Свойства линии тока

1 .Через каждую точку пространства проходит только одна ли­ния тока, т.е. линии тока не пересекаются.

2. Для стационарного движения линия тока является траектори­ей частиц, т.е. частица не может перейти с одной линии тока на дру­гую линию.

Трубка тока — часть движущейся сплошной среды, заключен­ной внутри поверхности, образованной линиями тока, проведенны­ми через каждую точку замкнутого контура.

Если замкнутый контур бесконечно мал, то такую конфигура­цию называют струйкой.

Следует отметить, что поверхность трубки тока является непро­ницаемой для частиц сплошной среды, т.к. нет составляющих век­тора скорости, направленных перпендикулярно поверхности труб­ки тока.

Дивергенция или расхождение векторного поля скоростей оп­ределяется формулой скалярного произведения:

и определяет наличие или отсутствие источников или стоков в дви­жущейся сплошной среде. Так, если

divV = 0 — отсутствуют источники и стоки;

divV > 0 — имеются источники; (2.5)

divV < 0 — имеются стоки.

Если в результате вычислений по формуле (2.4) получилась фун­кция координат, то, решив неравенства (2.5), можно определить области пространства, где присутствуют источники и стоки.

Ротор или вихрь в данной точке определяет наличие и величину угловой скорости, определяющей вращательную составляющую движения.

Ротор вычисляется по следующей формуле:

Если rotV= 0 — имеет место вращательное движение, имеются

вихри; rotV = 0 —движение безвихревое, отсутствует элемент вра­щательного движения.

Само векторное поле угловых скоростей определяется выра-

жением:

Следует отметить, что еслиrotV = 0 ,то движение может быть потенциальным, т.е. существует скалярное поле, задаваемое функ­цией Ф(х,у,z), такое, что

gradФ = V. (2.8)

Сама функция Ф определяется выражением:

Если найденное выражение по формуле (2.9) удовлетворяет ус­ловию (2.8), то функция Ф является потенциалом поля скоростей. Определение поверхности (линии) равного уровня приведено в лекции 1.

Следствие. Линия равного уровня потенциала поля скоростей и линия тока пересекаются в каждой точке под прямым углом. Это следует из формулы (2.8).

Расход сплошной среды через поверхность

Расход Q_v сплошной среды через поверхность S при заданном поле скоростей определяется формулой:

где dS — элементарная площадка поверхности S, имеющая вне­шнюю нормаль n (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2

Выражение (2.10) определяет, согласно размерности, объемный расход сплошной среды

Массовый расход — масса сплошной среды, проходящая через поверхность S за единицу времени:

где ρ — функция плотности сплошной среды.

Весовой расход — вес сплошной среды, проходящей через по­верхность S за единицу времени:

где g — ускорение свободного падения g = 9,81 м/с².

Для определения расхода сплошной среды через замкнутую по­верхность удобно пользоваться формулой Гаусса-Остроградского:

где V — объем пространства, ограниченный замкнутой поверхнос­тью S.

Для определения потока вихря скорости через некоторую повер­хность сплошной среды необходимо вычислить циркуляцию Г век­тора скорости по замкнутому контуру, используя формулу Стокса:

где S — поверхность, ограниченная замкнутым контуром I_ABCD (см. рис. 2.2), a dl — элемент замкнутого контура с заданным направле­нием обхода.