1.3. Определение наличия источников и стоков

Дивергенция вектора скорости, определяющая скорости отно­сительного объемного расширения сплошной среды в точках непод­вижного пространства определяется по формуле:

где векторный оператор дифференцрования

«набла».

Дивергенция скорости для несжимаемой жидкости в каждой точке пространства характеризует при:

div v > 0 — наличие источников, div v < 0 — наличие стоков,

div v = 0 — отсутствие источников и стоков (соленоидальное поле).

1.4. Определение параметров вращательного движения

Вращательное движение определяется векторным полем угло­вых скоростей, т.е. ротором поля скоростей. Ротор вычисляется по формуле:

Если, то поле скоростей является вихревым, т.е. не потенциальным.

Если же rot v(f) = 0 во всем пространстве, то поле называется безвихревым.

Вектор-функция поля угловых скоростей На чертеже трубки тока выполняется построение вектора уг­ловой скорости в выбраннном масштабе в точке единичного куба (см. рис. 1.1).

1.5. Поток вектора скорости среды через поверхность единичного куба

Поток вектора скорости несжимаемой сплошной среды равен объему сплошной среды, протекающему через поверхность в еди­ницу времени и имеет размерность м³/с.

Поток вектора скорости сплошной среды через замкнутую повер­хность куба определяется по формуле Остроградского — Гаусса:

Для куба с ребром, равным 1, пределы интегрирования по осям берутся от 0 до 1. Если О > 0, то через поверхность куба втекает сплошной среды меньше, чем вытекает. Если О < 0, то через по­верхность куба втекает сплошной среды больше, чем вытекает. Если О = 0, то сколько сплошной среды в куб втекает, столько из него и вытекает.

Потоки Q_t через грани единичного куба вычисляются по формуле:

где v — поле скоростей; dS_i — вектор элементарной площадки, лежащей в грани, через которую подсчитывается поток сплошной среды.

Вектор dS_i определяется по формуле:

где — вектор единичной внеш­ней нормали к грани, через которую подсчитывался поток сплошной

среды; dS — элементарная площад­ка, лежащая в грани, через которую подсчитывается поток сплошной среды.

Расход через грани ВС^ВД и СВАО будет равен 0, т.к. отсутству­ет проекция скорости на ось Oz.

Если Q_f > 0, то сплошная среда вытекает через грань;

если О. < 0, то сплошная среда втекает через грань;

если Q_f = 0, то сплошная среда скользит по грани, не пересе­кая ее.

Правильность расчетов проверить по чертежу, а также провес­ти проверку равенства:

то есть суммарный поток сплошной среды через поверхность куба должен быть равен сумме потоков через грани, перпендикулярные плоскости течения.

Задача №2(1.3)

V(x,y,z)=

1

1.

C(0,0,1): dx/1=dz/-z

∫1dx=∫dz/-z

x=-lnz+C

x=-lnz

x=-lnz

x=1-lnz

x=1-lnz

2.

3.

В данном пространстве векторного поля нет ни стоков, ни источников

rot= =

1 0 -z

=

rot=0 -- равен нулю, а значит вращения нет

4.

5.

6.

Cкорости относительных удлинений бесконечно малых отрезков(диагональные элементы), выходящих из данной точки и параллельных осям координат, равны функции .

Угловые скорости равны нулю.