Скалярное поле

По аналогии с полем векторных величин возможно задать с по­мощью скалярной функции Ф(x,y,z,t) значения скалярной величи­ны (например: плотность, температура, давление, потенциал поля скоростей и т.д.) в каждой точке неподвижного пространства.

Если функция Ф(х,у,z,t) не зависит от времени, т.е.

,то такое скалярное поле называется стационарным.

Наглядное представление о скалярном поле можно получить, построив в общем случае поверхности равного уровня, т.е. повер­хность, в каждой точке которой значение Ф(х,у,z,t) = С, т.е. какой-либо постоянной величине.

Для построения поверхности равного уровня, проходящей че­рез заданную точку, необходимо подставить координаты этой точ­ки в функцию Ф(х,у,z,t) и определить значение постоянной С. Да­лее приравнять саму функцию этой постоянной

Ф(х,у,z)=С. (1.6)

Полученное уравнение (1.6) и есть выражение, описывающее поверхность равного уровня.

Через каждую точку пространства проходит только одна по­верхность равного уровня!

В случае задания функции Ф(х,у), т.е. двух переменных, мы по­лучим линию равного уровня. Из физики известны линии равного уровня, например: изотерма, изобара и т.д.

Градиент — вектор, определяющий направление и величину быстрейшего возрастания Ф(х,у,z) в окрестности данной точки. Значение градиента Ф(х,у,z) определяется выражением:

(1.7)

где — оператор Гамильтона «набла» .

Свойства вектора градиента

1 . Вектор градиента всегда перпендикулярен к касательной плос­кости в точке поверхности равного уровня (или касательной к ли­нии равного уровня в точке).

2. Для построения вектора градиента в данной точке необходи­мо подставить координаты этой точки в вычисленное по формуле ( 1 .7) выражение и в выбранном масштабе отложить проекции век­тора от данной точки, а проекции сложить.

Задача №1(1.1)

Ф(x,y,z)=е

1.

1. Ф(1,1,1)=е

е=

у= е+0,63

2. Ф(2,2,2)=е

3. Ф(3,3,3)=

4. Ф(4,4,4)

2.

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА. ЛИНИЯ ТОКА. ТРУБКА ТОКА.

ДИВЕРГЕНЦИЯ. РОТОР. ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ.

РАСХОД СПЛОШНОЙ СРЕДЫ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ.

ЦИРКУЛЯЦИЯ

Пусть стационарное движение сплошной среды задано с помо­щью вектор-функции поля скоростей v(x,y,z). Для описания ха­рактеристик движения и графического изображения самого дви­жения необходимо определить приводимые ниже характеристики.

Линия тока — линия, проведенная в движущейся среде, в каж­дой точке которой вектор скорости направлен по касательной к этой линии (см. рис. 2.1).

Рис. 2.1

Фактически для частицы, находящейся на линии тока, сама ли­ния будет траекторией этой частицы.

Пусть частица сплошной среды, находящаяся в т. А на линии тока,

за промежуток времени dt прошла путь dl= idx + jdy + kdz . Однако

путь dl можно представить как dI=Vdt т.е.

Два вектора равны, если равны их проекции, т.е.

Фактически для частицы, находящейся на линии тока, сама ли­ния будет траекторией этой частицы.

Пусть частица сплошной среды, находящаяся в т. А на линии тока,

за промежуток времени dt прошла путь dl= idx + jdy + kdz . Однако путь dl можно представить как dT=Vdt т.е.

Поскольку промежуток времени dt одинаков, то можно записать, исключив dt:

Полученное выражение (2.3) называют дифференциальным уравнением линии тока.

Разделив переменные в (2.3) и проинтегрировав его, получим общее решение с постоянной интегрирования С. Для нахождения уравнения линии тока, проходящей через данную точку, необходи­мо подставить координаты этой точки в общее решение и опреде­лить численное значение С, после этого записать решение, подста­вив вместо С ее численное значение.