2.3. Исследование напряженного состояния в точке абсолютно-упругого тела

Для определения напряженного состояния тела необходимо по величинам уже известных деформаций определить компоненты тензора напряжений Р и построить вектор полного напряжения, действующего по наклонной площадке, задаваемой единичным век­тором ОМ. Компоненты тензора Р вычисляются по формулам обобщенного закона Гука с использованием уже рассчитанных относительных деформаций.

—нормальные напряжения, действующие перпендику­лярно координатным плоскостям yOz, xOz, xOy соответственно. Индекс при о показывает ту координатную ось, которой это напря­жение параллельно; вектор положительного нормального напряже­ния совпадает с положительным направлением внешней нормали к площадке, вектор отрицательного нормального напряжения направ­лен против внешней нормали;

—касательные к площадке напряжения. Первый индекс в обозначении касательного напряжения соответствует оси, кото­рая является нормалью к плоскости, по которой действует напря­жение. Второй индекс обозначает ось, параллельно которой действу­ет касательное напряжение. Размерность напряжений — Н/м².

Тензорное поле напряжений записывается в виде матрицы с численными значениями элементов:

Компоненты тензора имеют рассчитанные по формулам (2.5), (2.6) числовые значения в точке М.

Наклонная площадка проходит через точку М перпендикулярно вектору

единичной нормали ОМ с направляющими косину­сами 1, т, п. Поэтому эта площадка отстоит от нача­ла координат на расстоя­нии единицы длины и отсе­кает на координатных осях отрезки соответственно а, Ь, с, которые могут быть вычислены через 1, т, п

следующим образом: а = 1/1 на оси Ox, b = 1/m на оси Оу, с=1/л на оси Oz (рис. 2.2,а).

Если какая-либо из компонент 1, т, п равна нулю, то это означа­ет, что площадка соответствующую ось не пересекает, то есть па­раллельна ей. Чертеж наклонной площадки выполняется так, как

показано на рис. 2. 2, б. Найдем вектор полного напряжения р_п в точ­ке М на данной наклонной площадке. Для этого вычислим проек­ции этого вектора через компоненты тензора напряжения (2.7) по формуле:

Вектор полного напряжения а точке М на наклонной поверхности равен:

На чертеже выполнить построение вектора полного напряжения в точке М по его проекциям на оси так, как показано на рис. 2.2. При этом положительные проекции откладываются в выбранном масштабе, в положительном направлении оси отточки М, а отрица­тельные — в отрицательном направлении.

Произведем разложение вектора полного напряжения р_п ,в точ­ке М на наклонной площадке на нормальное и касательное напря­жения.

Нормальное напряжение о_п равно:

Величина касательного напряжения т_п определяется по формуле:

На рис. 2.3 откладываем в выбранном масштабе положительное нормальное напряжение а_п от точки М в положительную сторону

нормали ОМ , если отрицательно нормальное напряжение о_п — то

против нормали ОМ . Затем с рис. 2.2 на рис. 2.3 переносится век­тор р_n и достраивается параллелограмм напряжений

Таким образом изображается на рисунке вектор касательного напряжения т_n, действую­щий на наклонной площадке, задаваемой п.

Примечание. Можно координатные оси, на­клонную площадку, вектора п, т_n, а_п и р_n вы­полнять разными цветами или линиями раз­личной толщины. Все построения можно выполнить и на одном чертеже.

Задача №3(2.3)

Заданы проекции вектора напряжения в точке М по наклонной площадке, направляющие косинусы 1,m, n углов единичного вектора внешней нормали к этой площадке .

Требуется:

2. Записать тензор напряжения, если известно, что

1. Найти нормальное и касательноенапряжения, дей­ствующие по этой площадке. Найти угол между векторамии. Графически изобразить наклонную площадку и векторы,,и .

3. Записать и построить на нужных гранях единичного куба вектор: р_х (для вариантов 61-70), Р_у (для вариантов 71-80), p_z (для вариантов 81-90).

Тензор напряжения равен: