5.2. Упражнения
1. Методом
последовательных приближений найти
приближенное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
y(0) = 1. Оценить погрешность полученного
приближения.
2. Пользуясь методом Эйлера, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y' = (xy)/2, удовлетворяющего начальным условиям: x = 0, y = 1 на отрезке [0,1] с шагом h = 0,1.
3. Показать, что для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами y' = py + q результат применения метода Рунге-Кутта второго порядка не зависит от выбора значения параметра ( 0).
4. Пользуясь исправленным методом Эйлера, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y' = x2+y2, удовлетворяющего начальному условию y(0) = 0 на отрезке [0,1] с шагом h=0,1.
5. На задаче
протестировать методы Рунге-Кутта
второго порядка при=1/2,
=1,
а также исправленный метод Эйлера.
6. Записать вид
функции
,
при котором равенство (13) определяет
классический метод Рунге-Кутта четвертого
порядка.
6. Индивидуальное домашнее задание
6.1. Темы и порядок выбора задания
Задание: разработать программу, позволяющую решить одну из следующих задач [6]:
Метод Гаусса с выбором главного элемента и LU-разложением матрицы на множители.
Решение систем уравнений с трёхдиагональной матрицей методом прогонки.
Решение систем уравнений с эрмитовой матрицей методом квадратного корня (метод Холецкого).
Решение СЛАУ методом вращений.
Решение СЛАУ методом отражений.
Решение СЛАУ итерационным методом Зейделя (метод Гаусса-Зейделя, метод последовательных замещений).
Решение СЛАУ методом верхней релаксации (SOR-метод, метод сверхрелаксации).
Определение одного собственного значения и соответствующего ему собственного вектора матрицы методом линеаризации.
Определение одного собственного значения эрмитовой матрицы и соответствующего ему собственного вектора методом обратных итераций с отношениями Релея (RQI(RQ)-алгоритм).
Определение собственного вектора матрицы методом обратных итераций со сдвигом.
Получение максимального по модулю собственного значения матрицы и соответствующего ему собственного вектора степенным методом, ускоренным процессом Эйткена (PM-алгоритм).
Получение максимального по модулю собственного значения симметричной положительно определенной матрицы и соответствующего ему собственного вектора методом скалярных произведений (SP-алгоритм).
Определение минимального по модулю собственного значения матрицы и соответствующего ему собственного вектора методом обратных итераций (INVIT-алгоритм).
Последовательное вычисление всех собственных значений матрицы и соответствующих им собственных векторов методом скалярных произведений.
Определение собственных значений матрицы прямым методом интерполяции.
Получение собственных значений трехдиагональных и почти треугольных матриц прямыми методами с использованием эффективных методов определения корней многочлена (метод парабол, метод Мюллера и т.п.).
Получение собственных значений и собственных векторов трехдиагональных матриц методом бисекций.
Получение собственных значений и собственных векторов трехдиагональных матриц методом QR-итераций.
Получение собственных значений и собственных векторов трехдиагональных матриц методом «разделяй-и-властвуй».
Получение собственных значений и собственных векторов трехдиагональных матриц методом бисекции с обратной итерацией.
Получение всех собственных значений и собственных векторов эрмитовой матрицы прямым методом отражения.
Получение всех собственных значений и собственных векторов произвольной матрицы прямым методом отражения.
Получение всех собственных значений и собственных векторов эрмитовой матрицы прямым методом вращений.
Получение всех собственных значений и собственных векторов произвольной матрицы прямым методом вращений.
Получение всех собственных значений и собственных векторов эрмитовой матрицы итерационным методом вращений (метод Якоби).
Получение всех собственных значений и собственных векторов эрмитовой матрицы алгоритмом Ланцоша с выборочной ортогонализацией.
Получение всех собственных значений и собственных векторов произвольной матрицы двухходовым методом элементарных преобразований.
Получение всех собственных значений произвольной матрицы при помощи LU (LR)-алгоритма.
Получение всех собственных значений произвольной матрицы при помощи QR-алгоритма со сдвигом и с преобразованием матрицы к форме Хессенберга.
Сравнительные исследования итерационных методов решения нелинейного уравнения с одним неизвестным (методы дихотомии (бисекции, половинного деления), простых итераций, Ньютона (касательных), секущих, хорд (ложного положения, линейной интерполяции), Стеффенсона, парабол (обратной квадратичной интерполяции), квадрирования, гибридные методы).
Получение интерполяционных многочленов для равноотстоящих узлов (многочлены Ньютона с конечными разностями, Гаусса, Стирлинга, Бесселя.
Получение интерполяционных многочленов для неравноотстоящих узлов (многочлены Лагранжа, Ньютона с разделенными разностями, схема Эйткена).
Получение интерполяционных многочленов для кратных узлов (многочлены Эрмита).
Интерполяция функции с узлами в нулях многочленов Чебышева.
Интерполяция сплайнами (кубические, параболические, базисные, эрмитовы).
Аппроксимация периодических функций тригонометрическим рядом Фурье.
Аппроксимация функций алгебраическим многочленом (степенными функциями).
Аппроксимация функций ортогональными многочленами (Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита).
Построения наилучшего равномерного приближения Чебышева.
Многомерная интерполяция.
Сравнительное исследование простейших формул численного дифференцирования и метода Рунге-Ромберга для равномерной и неравномерной сетки.
Сравнительное исследование квадратурных формул численного интегрирования (формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона, 3/8, Эйлера, Грегори, Чебышева, Гаусса-Кристоффеля, Ньютона-Котеса, экстраполяция по Ричардсону, адаптивные процедуры).
Вычисление интегралов в нерегулярных случаях (наличие разрывов, быстро осциллирующие функции т.п, формулы Филона, Эрмита, составные формулы).
Вычисление несобственных интегралов (формулы Лагерра, Эрмита).
Вычисление интегралов с переменным пределом интегрирования.
Применение метода статистических испытаний (метода Монте-Карло) для вычисления одномерных и кратных интегралов.
Вычисление кратного интеграла (метод ячеек, кубатурные формулы, метод последовательного интегрирования).Сравнительный анализ решения задачи Коши одношаговыми методами (методы Эйлера, Рунге-Кутты).
Сравнительный анализ решения задачи Коши линейными многошаговыми методами (методы Адамса, Милна, прогноза и корекции).
Сравнительный анализ методов решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Номер варианта задания студента группы АС определяется по формуле i = n % 50, студента группы АИ - i = (n+25) % 50, где n – номер по журналу, % – операция взятия остатка от деления. Реализация задания предполагает программирование одного из вычислительных методов. Для выполнения индивидуального задания рекомендуется изучить литературу по численным методам, например [1-5].