2.2. Упражнения

1. Решить систему, пользуясь схемой Холецкого.

, .

2. Решить систему методом квадратных корней. Вычисления вести с тремя знаками после запятой.

, .

3. Используя метод Гаусса или метод квадратных корней, вычислить определители.

,  = 0,5*n, n = 0, 1, 2.

4. Используя метод Гаусса, найти матрицу, обратную заданной:

.

5. Решить систему методом простой итерации с точностью  = 10^-2.

, .

6. Решить систему методом Зейделя с точностью  = 10^-2.

, .

7. Найти нормы матрицы А: ||A||₁, ||A||_, ||A||_E.

.

8. Найти число обусловленности cond_(A) матрицы .

3. Практическое занятие №3. Определение собственных чисел и собственных векторов матрицы

3.1. Краткие теоретические сведения

Пусть A – вещественная nn матрица. На практике часто требуется решать задачи отыскания таких чисел  (собственных чисел), для которых существуют нетривиальные решения однородной СЛАУ Ax = x, и отыскания этих решений – ненулевых векторов x или собственных векторов матрицы А. При малых размерах матриц А для ее решения можно отыскивать корни характеристического уравнения det(A‑E) = 0 (E – единичная nn матрица). При n  4 рекомендуется применять специальные численные методы решения. Выделяют частичную и полную проблемы собственных значений. В первом случае отыскиваются некоторые (максимальное, минимальное по модулю) собственные числа и соответствующие собственные векторы, а во втором – все собственные числа и векторы. Далее кратко рассмотрены степенной и обратный степенной методы (СМ), метод скалярных произведений (МСП), метод вращений Якоби (МВЯ) [1].

СМ применим, когда матрица A размерности nn представляет собой матрицу простой структуры, имеющую всего n линейно независимых собственных векторов:

, , ...,.

Пусть нумерация векторов отвечает следующему упорядочению соответствующих модулей собственных чисел: |₁| > |₂|  …  |_n|. СМ предполагает приближенное вычисление наибольшего по модулю собственного числа ₁ и соответствующего собственного вектора x₁. Для этого берется произвольный вектор y⁽⁰⁾ ( 0), простыми итерациями y^(k) = Ay^(k-1) строится последовательность векторов y^(k). Параллельно вычисляются отношения соответствующих компонент векторов k-й и (k-1)-й итерации (за исключением отношений с очень малыми по модулю знаменателями): ,i = 1, …, n, которые при k дают приближение собственного числа ₁. Поэтому после выполнения всех приближенных равенств  , можно считать, что найдены наибольшее по модулю собственное число (например), с точностью, определяемой последним установившимся в отношениях знаком, и соответствующий ему собственный векторy^(k). Если |₁| > |₂| > |₃|  …  |_n|, приближенное значение числа ₂ можно найти по формуле .

Если собственные числа упомянутой при описании СМ матрицы А можно упорядочить следующим образом: |₁|  |₂|  |₃|  …  |_n-1| > |_n|, то для вычисления наименьшего по модулю собственного числа _n и соответствующего собственного вектора можно воспользоваться так называемым обратным СМ. В этом случае |1/_n| > |1/_n-1|  …  |₁|, и величина 1/_n – есть наибольшее по модулю собственное число матрицы А^-1, которое может быть получено применением СМ к А^-1. Из 1/_n определяется _n.

СМ имеет недостатки, например, в знаменателе вычисляемых отношений возможно появление малых чисел. На практике вместо СМ используется модификация ­– МСП, который состоит в следующем. Исходные данные те же, что и в СМ. Строятся две последовательности векторов: y^(k) = Ay^(k-1), y ^(k) = A^Тy ^(k-1), где y ⁽⁰⁾ = y⁽⁰⁾, A^Т – транспонированная матрица A. Приближенное значение собственного числа ₁ вычисляется по формуле:

.

При реализации МСП можно задавать требуемую точность  и сравнивать ее с модулем разности двух последовательных приближений ₁, т.е. проверять условие . При его выполнении можно положить₁ = , x₁ = y^(k).

Для решения полной проблемы собственных значений симметричной вещественной матрицы А применяется МВЯ. Матрица А представляется в виде А = QQ^-1, где Q – ортогональная матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы А,  – диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят собственные числа матрицы А. Для ортогональной матрицы Q^-1 = Q^T, поэтому справедливо равенство  = Q^TAQ. МВЯ предполагает отыскание матрицы  с помощью итерационных процедур. Классический МВЯ предполагает построение последовательности матриц B₀ (=A), B₁, B₂, …, B_k, ... , подобных (т.е. имеющих тот же набор собственных чисел) матрице А, с помощью преобразований подобия типа:

, (7)

где T_ij – матрица плоских вращений, получаемая из единичной матрицы заменой двух единиц и двух нулей на пересечениях i-х и j-х строк и столбцов числами с и s, такими, что с²+s² = 1:

.

Матрица T_ij ортогональна при любых i, j  {1, 2, …, n}. Числа c и s интерпретируются как косинус и синус некоторого угла . Следует учесть, что cs = sin2/2, c²-s²=cos2. Упомянутая последовательность матриц такова, что на k-м шаге обнуляется максимальный по модулю элемент матрицы B_k-1 предыдущего шага и симметричный ему элемент. Матрица B будет иметь нулевые внедиагональные элементы, если использовать преобразование плоского вращения на угол , такой, что tg 2 = 2a_ij/(a_ii-a_jj), для определенности считают   (-/4, /4]. Пусть a_ij – ключевой элемент преобразуемой матрицы А. Алгоритм одного этапа МВЯ для формирования матрицы B включает следующие шаги:

1. Вычислить p = 2a_ij, q = a_ii-a_jj, d =  (p²+q²).

2. Если q  0, r = |q|/2d, c = (0,5+r), s = sign(pq)(0,5-r)

(если |p| << |q|, s = |p| sign(pq)/(2cd)), а если q = 0, то c = s = 2/2.

3. Вычислить новые диагональные элементы: b_ii = c²a_ii+s²a_jj+2csa_ij, b_jj = s²a_ii+c²a_jj-2csa_ij.

4. Положить b_ij = b_ji = 0 или для контроля – b_ij = b_ji = .

5. При m = 1, 2, …, n, таких, что m  i, m  j, вычислить внедиагональные элементы: ,.

6. Для всех остальных пар индексов m, l принять b_ml = a_ml.

Если в качестве ключевого элемента на каждом шаге преобразования подобия брать максимальный по модулю элемент преобразуемой матрицы, в пределе получится диагональная матрица.