Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Липецкий государственный технический университет»

Кафедра автоматизированных систем управления

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для студентов

к практическим занятиям и ИДЗ по курсу «Вычислительная математика»

Составитель: М. Г. Журавлева

Липецк 2010

1. Практическое занятие №1. Вычисления с учётом погрешностей

1.1. Краткие сведения из теории учёта погрешностей вычислений

Исходными данными численного решения математических и прикладных задач, как правило, являются приближённые числа. При осуществлении действий над ними появляются погрешности. Их оценка предполагает использование перечисленных ниже основных понятий и правил из теории учёта погрешностей вычислений.

Пусть A – точное значение некоторой величины, а – её приближённое значение. Величина (а), про которую известно, что она не меньше, чем |A-а|, называется абсолютной погрешностью приближённого числа а, а величина (а), про которую известно, что она не меньше, чем а/|A| или а/|а|, – его относительной погрешностью. Предельной (граничной) абсолютной погрешностью приближённого числа а называется положительное число _а такое, что (а)  _а. Предельной относительной погрешностью приближённого числа а называется положительное число _а такое, что (а)  _а. Обычно истинные погрешности неизвестны, поэтому на практике имеют дело с предельными погрешностями, при этом _а и _а часто называют просто абсолютной и относительной погрешностями. Принята следующая форма записи: A  a[_a].

Значащими цифрами приближённого числа называются все его верные цифры, кроме нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры, если приближённое число – десятичная дробь, и нулей, стоящих в округлённых разрядах, если приближённое число – целое. Значащая цифра  приближённого числа а называется верной в широком (узком) смысле, если абсолютная погрешность числа а не превосходит единицы (половины единицы) того разряда, к которому принадлежит цифра . Цифры, для которых данное правило не выполняется, называются сомнительными. Если приближённое число записано без указания погрешности, все его значащие цифры считаются верными.

Пример. Показать, что 3,142 является приближённым значением числа  с четырьмя верными в узком смысле значащими цифрами.

Действительно, | – 3,142| = |3,14159… – 3,142| < 0,0005, откуда следует высказанное утверждение.

На практике используется следующая грубая оценка погрешности результатов при вычислении значения дифференцируемой функции u = f(x₁, x₂, …, x_n) приближённых аргументов x₁, x₂, …, x_n с известными значениями предельных абсолютных погрешностей :

.

Обратная задача, состоящая в определении погрешностей аргументов по заданной погрешности функции, имеет однозначное решение только для функции одной переменной u = f(x): если она дифференцируема и f(x)  0,

_x = _y/| f(x)|.

Пусть а₁, a₂, …, a_n – приближённые числа, m – рациональное число. Справедливы следующие формулы подсчёта погрешностей:

a);

б), в частности, ;

в) , здесь и далее ;

г) , в частности, ;

д); е);

ж); з). (1)

Пример. Найти сумму чисел 3,22 [0,02] и 1,048 [0,0002] и 9,6 [0,1] и определить абсолютную погрешность результата.

В соответствии с (1, а) в сумме получается 13,8348 [0,1202]. Выписывать результат в таком виде не имеет смысла, т. к. его абсолютная погрешность превышает 0,1 и, следовательно, все десятичные знаки являются сомнительными цифрами. Замена числа 13,8348 приближённым значением 13,8 предполагает увеличение погрешности результата на абсолютную величину ошибки округления |13,8348 – 13,8| = 0,0348. Таким образом, окончательный результат равен 13,8 [0,16].

Правило для отыскания предельной относительной погрешности любого приближённого числа, написанного при помощи десятичной дроби: предельную относительную погрешность можно принять равной дроби, числитель которой единица, а знаменатель – целое число, написанное при помощи всех значащих, верных в широком смысле цифр данного числа. Если известно, что в десятичной записи цифры верны в узком смысле, относительная погрешность вдвое меньше полученной по указанному правилу.