1.2. Упражнения

1. В результате измерения получены приближённые значения величин: x  23,4 [0,2], y  0,00467 [0,00003], z  5638 [40]. Найти предельную относительную погрешность каждого из приближённых чисел.

2. Определить, какое равенство точнее: = 6,63; 19/41 = 0,463.

3. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные цифры: а) в узком, б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.

а) 22,553 [0,016]; б) 2,8546;  = 0,3%.

4. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: а) в узком смысле, б) в широком смысле.

a) 0,2387; б) 42,884.

5. Даны два приближённых числа: a = 3,4; b = 0,0124. Найти их произведение, сохранив в записи только верные в широком смысле цифры.

6. Вычислить x⁵, где x = 2,3284 – приближённое число, и оценить погрешности результата. Записать ответ, сохранив только верные в широком смысле цифры.

7. Вычислить и определить погрешности результата (a, b, h – приближённые числа, все цифры которых верны в узком смысле).

а) , б) ,

a = 0,562; b = 0,2518, h = 0,68.

8. Для следующих функций вычислить значения при указанных значениях переменных. Указать абсолютную и относительную погрешности результатов.

а) u = ln(x₁ + x₂³), x₁ = 0,97, x₂ = 1,132;

б) u = x₁x₂ + x₁sin(x₃) + x₃cos(x₂), x₁ = 2,104, x₂ = 1,678, x₃ = 0,324.

9. С каким числом верных знаков следует взять значение аргумента x, чтобы получить значения указанных функций с точностью до 0,110^-5?

а) u = x₁²sin(x₁) + 3x₁x₂, x₁ =, x₂ = ;

б) u = x₂ln(x₁) – 2x₂, x₁ = , x₂ = .

10. С каким числом верных знаков должен быть известен свободный член уравнения , чтобы получить корни с четырьмя верными в широком смысле знаками?

2. Практическое занятие №2. Решение слау. Вычисление определителей и обратных матриц. Вычисление норм векторов и матриц, чисел обусловленности матриц

2.1. Краткие теоретические сведения

Выделяют четыре основные задачи линейной алгебры: решение СЛАУ

(2)

или Ax = b, где A = (а_ij), i, j = 1, 2, …, n, – вещественная квадратная матрица коэффициентов системы, b = (b₁, b₂, …, b_n)^T – вектор свободных членов, x = (x₁, x₂, …, x_n)^T – вектор неизвестных; вычисление определителя; нахождение обратной матрицы; определение собственных чисел и собственных векторов матрицы.

2.1.1. Методы решения слау

Методы решения СЛАУ делятся на прямые и итерационные. Прямые методы приводят к точному (при отсутствии ошибок округления) решению за конечное число арифметических операций. С помощью итерационных методов точное решение может быть получено в результате бесконечного повторения набора определённых действий, т.е. реальное решение оказывается всегда приближённым. Далее кратко рассмотрены: прямые методы – Гаусса, Холецкого, квадратных корней, итерационные методы – простой итерации, Зейделя.

Прямые методы.

Наиболее распространённый способ решения СЛАУ – метод Гаусса, называемый также схемой единственного деления. Суть его заключается в приведении исходной системы уравнений к треугольному виду путём последовательного исключения x₁ из первого, второго, …, n-го, x₂ – из второго, …, n-го, x_n-1 – из n‑го уравнений системы (2) и вычислении решения по полученной системе. Процесс исключения неизвестных называется прямым ходом и предполагает выполнение расчётов по формулам:

(3)

где k = 1, 2, …, n-1, – номер этапа; i, j = k+1, …, n; .

Процесс получения решения называется обратным ходом и предполагает последовательное вычисление значений неизвестных, начиная с последнего:

, , …,, … .

Одна из простых схем контроля с целью исключения ошибок основана на том, что увеличение значений всех неизвестных на единицу равносильно замене данной системы контрольной системой, в которой свободные члены равны суммам всех коэффициентов соответствующей строки. Например, для n = 3 значение свободного члена контрольной системы вычисляется так: . Решение контрольной системы одновременно с системой (2) позволяет контролировать каждый шаг расчёта. Уменьшить влияние ошибок округлений позволяют модификации: метод Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента и метод главных элементов [5].

Другой подход к решению СЛАУ предполагает разложение (если все главные миноры матрицы А из (2) отличны от нуля) исходной матрицы А в произведение треугольных матриц D и C:

, , (4)

A = DC, и решении системы DCx = b. Эта схема называется схемой Холецкого. Элементы d_ij и c_ij определяются по формулам:

, ,

, .

Искомый вектор x может быть вычислен из цепочки уравнений Dy = b, Cx = y:

и .

Результаты могут быть записаны в одну таблицу (см. табл. 1).

Таблица 1

Схема Холецкого для n = 3

	x1		x2		x3		
I	a11 a21 a31		a12 a22 a32		a13 a23 a33	b1 b2 b3	b1к b2к b3к
II	d11	1		c12	c13	c14	c15
	d21	d22		1	c23	c24	c25
	d31	d32		d33	1	c34	c35
III						y1	x1
						y2	x2
						y3	x3

Примечание: элементы с_ij двух последних столбцов таблицы нужны для контроля и вычисляются так же, как и остальные элементы матрицы С.

Метод квадратных корней используется для решения СЛАУ (2), у которой матрица А – симметричная. Матрица А представляется в виде произведения двух взаимно транспонированных треугольных матриц A = T T,

, . (5)

Элементы t_ij определяются по формулам:

Решение сводится к последовательному решению двух систем Ty = b, Tx = y:

, .

Итерационные методы.

Пусть СЛАУ Ax = b приведена к виду x = Cx +f, где С – некоторая матрица, f – вектор-столбец, и задано начальное приближение:

.

Метод простой итерации (МПИ) предполагает построение итерационного процесса

(6)

для k = 0, 1, 2, … , в результате реализации которого можно получить последовательность векторов x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(k), … . Если матрица С удовлетворяет условию , процесс итерации сходится к точному решению системыx = (x₁, x₂, …, x_n)^T при k любом начальном векторе x⁽⁰⁾. Оценку погрешности приближённого решения x^(k) можно получить из соотношения

или .

Если диагональные элементы матрицы А отличны от нуля, систему (2) можно записать в виде (такая интерпретация МПИ называется методом Якоби)

При этом элементы матрицы С определяются следующим образом:

, и условием сходимости является диагональное преобладание в матрице A: ,i = 1, 2, …, n.

Метод Зейделя – модификация МПИ. Он предполагает использование вычисленных (k+1)-ыx приближений неизвестных x₁, x₂, …, x_i-1 при вычислении (k+1)-го приближения x_i. Итерации выполняются по формулам:

где c_ij, i, j = 1, 2, …, n, – элементы матрицы С, f_i – элементы вектора f из (6). Условие сходимости МПИ является верным для метода Зейделя.