3.2. Упражнения

1. Дана матрица .

А) Степенным методом найти несколько последовательных приближений к доминирующему собственному числу матрицы А и к соответствующему собственному вектору.

Б) Методом обратных итераций найти младшую собственную пару {₃, x₃}.

2. Найти приближения к собственным числам матрицы А степенным методом.

.

3. Найти приближение к доминирующему собственному числу матрицы А и к соответствующему собственному вектору методом скалярных произведений.

.

4. Методом вращений Якоби решить задачу нахождения всех собственных пар матрицы А, если

1) , 2) .

5. Для n×n матрицы сделать приблизительный подсчет количества арифметических операций, приходящихся на:

а) один шаг степенного метода;

б) один шаг метода обратных итераций;

в) один полный цикл метода вращений Якоби.

4. Практическое занятие №4. Численное дифференцирование

4.1. Краткие теоретические сведения

Источником формул численного дифференцирования является полиномиальная интерполяция. Зная значения y_i = f(x_i) заданной функции f(x) в точках x_i = x₀+ih (i = 0, 1, …, n) при некотором h > 0, можно найти конечные разности ^ky_i (=^k-1y_i+1­ – ^k-1y_i­) и записать для нее, например, первый интерполяционный многочлен Ньютона P_n(x) (см. далее). Дифференцируя приближенное равенство f(x)  P_n(x), можно строить формулы приближенного дифференцирования различной точности [1]. Пусть q = (x – x₀)/h. Приближенное представление f(x) по первой формуле Ньютона имеет вид:

. Тогда конечноразностная формула численного дифференцирования имеет вид:

,

. (8)

Для приближенного вычисления производной функции в заданной точке x* из некоторой окрестности x₀ следует найти соответствующее значение q* и подставить в формулу (8).

В частных случаях: на основе линейной интерполяции , для x(x₀-, x₁+), на основе квадратичной интерполяции для x(x₀-, x₂+) и т.д. Т.к. точкам x₀, x₁, x₂, ... соответствуют значения q = 0, 1, 2, …, при n = 1, для линейной интерполяции получаются следующие формулы первого порядка точности:

.

Использование таких аппроксимаций дает ошибку O(h). Для формул второго порядка точности имеется ошибка O(h²).

Повторное дифференцирование приближенного равенства (8), т.е. взятие производной по x от правой части (8) с учетом dq/dx = 1/h, приводит к конечноразностной формуле вычисления второй производной

, (9)

из которой аналогично следует приближенная формула третьей производной

и т.д.

Для построения простой аппроксимации второй производной из разложения функции f(x) в окрестности точки x_i

при x = x_i+1 и x = x_i-1 можно записать:

,

,

откуда после почленного сложения получается формула симметричной аппроксимации c остаточным членом:

. (10)

По формуле Тейлора для второй производной

. После подстановки сюда правой части (10) вместо получается равенство:

. Из него при x = x_i+1 и x = x_i-1 следуют формулы несимметричной аппроксимации второй производной с остаточными членами:

и

.

4.2. Упражнения

1. Вывести частные формулы аппроксимации второй производной в равноотстоящих узлах, основываясь на квадратичной интерполяции.

2. Вывести частные формулы аппроксимации второй производной в равноотстоящих узлах, основываясь на кубической интерполяции.

3. Записать симметричную формулу четвертого порядка точности для аппроксимации и вывести ее остаточный член, используя формулу Тейлора.

4. Вывести общую формулу численного дифференцирования, используя формулу Ньютона для неравных промежутков:

где – разделенная разность первого порядка,

–разделенная разность второго порядка и т.д.

5. Вывести частные формулы аппроксимации второй производной в неравноотстоящих узлах, основываясь на квадратичной интерполяции.